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1. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()
A.$4x^{2}-1$
B.$4x^{2}+4x + 1$
C.$x^{2}-xy + y^{2}$
D.$x^{2}-x+\frac{1}{2}$
A.$4x^{2}-1$
B.$4x^{2}+4x + 1$
C.$x^{2}-xy + y^{2}$
D.$x^{2}-x+\frac{1}{2}$
答案
B
解析
完全平方公式为$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$。
选项A：$4x^{2}-1=(2x)^{2}-1^{2}$，不符合完全平方公式的形式，不能用完全平方公式分解因式。
选项B：$4x^{2}+4x + 1=(2x)^{2}+2×2x×1 + 1^{2}=(2x + 1)^{2}$，符合完全平方公式的形式，可以用完全平方公式分解因式。
选项C：$x^{2}-xy + y^{2}$，中间项不是$2xy$，不符合完全平方公式的形式，不能用完全平方公式分解因式。
选项D：$x^{2}-x+\frac{1}{2}$，因为$(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$，不符合完全平方公式的形式，不能用完全平方公式分解因式。
选项A：$4x^{2}-1=(2x)^{2}-1^{2}$，不符合完全平方公式的形式，不能用完全平方公式分解因式。
选项B：$4x^{2}+4x + 1=(2x)^{2}+2×2x×1 + 1^{2}=(2x + 1)^{2}$，符合完全平方公式的形式，可以用完全平方公式分解因式。
选项C：$x^{2}-xy + y^{2}$，中间项不是$2xy$，不符合完全平方公式的形式，不能用完全平方公式分解因式。
选项D：$x^{2}-x+\frac{1}{2}$，因为$(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$，不符合完全平方公式的形式，不能用完全平方公式分解因式。
2. 把多项式$x^{2}-4x + 4$分解因式，所得的结果是()
A.$x(x - 4)+4$
B.$(x + 2)(x - 2)$
C.$(x + 2)^{2}$
D.$(x - 2)^{2}$
A.$x(x - 4)+4$
B.$(x + 2)(x - 2)$
C.$(x + 2)^{2}$
D.$(x - 2)^{2}$
答案
D
解析
多项式$x^{2}-4x + 4$，其中$-4x$可看作$-2× x×2$，$4 = 2^{2}$，符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，这里$a = x$，$b = 2$，所以$x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}$。
3. $x^{2}+ax + 25=(x - 5)^{2}$，则$a$的值为()
A.$5$
B.$-5$
C.$10$
D.$-10$
A.$5$
B.$-5$
C.$10$
D.$-10$
答案
D
解析
将$(x - 5)^{2}$根据完全平方公式展开，得$x^{2}-10x + 25$。
因为$x^{2}+ax + 25=x^{2}-10x + 25$，所以$a = - 10$。
因为$x^{2}+ax + 25=x^{2}-10x + 25$，所以$a = - 10$。
4. 分解因式：
(1) $4-4x+x^{2}=$.
(2) $-2x^{2}y + 16xy-32y=$.
(1) $4-4x+x^{2}=$.
(2) $-2x^{2}y + 16xy-32y=$.
答案
(1) $(x-2)^{2}$
(2) $-2y(x-4)^{2}$
解析
(1) 对于 $4 - 4x + x^2$，观察是否为完全平方公式，可写成 $x^2 - 4x + 4$，符合 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，其中 $a = x$，$b = 2$，因此 $4 - 4x + x^2 = (x - 2)^2$。
(2) 对于 $-2x^2y + 16xy - 32y$，首先提取公因式 $-2y$，得到 $-2y(x^2 - 8x + 16)$；再观察括号内是否为完全平方公式，$x^2 - 8x + 16$ 符合 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，其中 $a = x$，$b = 4$，因此 $-2x^2y + 16xy - 32y = -2y(x - 4)^2$。
5. 分解因式：
(1) $-a^{2}+6ab-9b^{2}$.
(2) $x^{2}y-2y^{2}x + y^{3}$.
(1) $-a^{2}+6ab-9b^{2}$.
(2) $x^{2}y-2y^{2}x + y^{3}$.
答案
解：
(1) $-a^{2}+6ab-9b^{2}$
$=-(a^{2}-6ab+9b^{2})$
$=-(a-3b)^{2}$
(2) $x^{2}y-2y^{2}x + y^{3}$
$=y(x^{2}-2xy+y^{2})$
$=y(x-y)^{2}$
(1) $-a^{2}+6ab-9b^{2}$
$=-(a^{2}-6ab+9b^{2})$
$=-(a-3b)^{2}$
(2) $x^{2}y-2y^{2}x + y^{3}$
$=y(x^{2}-2xy+y^{2})$
$=y(x-y)^{2}$
6. 用简便方法计算：
(1) $39.8^{2}-2×39.8×49.8 + 49.8^{2}$.
(2) $3^{2}×2024 + 42×2024 + 7^{2}×2024$.
(1) $39.8^{2}-2×39.8×49.8 + 49.8^{2}$.
(2) $3^{2}×2024 + 42×2024 + 7^{2}×2024$.
答案
(1)
$39.8^{2} - 2 × 39.8 × 49.8 + 49.8^{2}$
$=(39.8 - 49.8)^{2}$
$ = (-10)^{2} $
$= 100$
(2)
$3^{2} × 2024 + 42 × 2024 + 7^{2} × 2024$
$= 2024 × (3^{2} + 42 + 7^{2})$
$ = 2024 × (9 + 42 + 49) $
$= 2024 × 100 $
$= 202400$
$39.8^{2} - 2 × 39.8 × 49.8 + 49.8^{2}$
$=(39.8 - 49.8)^{2}$
$ = (-10)^{2} $
$= 100$
(2)
$3^{2} × 2024 + 42 × 2024 + 7^{2} × 2024$
$= 2024 × (3^{2} + 42 + 7^{2})$
$ = 2024 × (9 + 42 + 49) $
$= 2024 × 100 $
$= 202400$
7. 下列因式分解正确的是()
A.$a(a - b)-b(a - b)=(a - b)(a + b)$
B.$a^{2}-9b^{2}=(a - 3b)^{2}$
C.$a^{2}+4ab + 4b^{2}=(a + 2b)^{2}$
D.$a^{2}-ab + a=a(a - b)$
A.$a(a - b)-b(a - b)=(a - b)(a + b)$
B.$a^{2}-9b^{2}=(a - 3b)^{2}$
C.$a^{2}+4ab + 4b^{2}=(a + 2b)^{2}$
D.$a^{2}-ab + a=a(a - b)$
答案
C
解析
A. $a(a - b) - b(a - b) = (a - b)(a - b) = (a - b)^2$，与选项A的$(a - b)(a + b)$不一致，故A错误；
B. $a^2 - 9b^2 = (a + 3b)(a - 3b)$，与选项B的$(a - 3b)^2$不一致，故B错误；
C. $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$，与选项C一致，故C正确；
D. $a^2 - ab + a = a(a - b + 1)$，与选项D的$a(a - b)$不一致，故D错误。
B. $a^2 - 9b^2 = (a + 3b)(a - 3b)$，与选项B的$(a - 3b)^2$不一致，故B错误；
C. $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$，与选项C一致，故C正确；
D. $a^2 - ab + a = a(a - b + 1)$，与选项D的$a(a - b)$不一致，故D错误。
