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1. (2024·长春)2024 年 5 月 29 日 16 时 12 分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射。当火箭上升到点 A 时，位于海平面 R 处的雷达测得点 R 到点 A 的距离为 a 千米，仰角为 θ，则此时火箭距海平面的高度 AL 为(
A.$a\sinθ$ 千米
B.$\frac{a}{\sinθ}$ 千米
C.$a\cosθ$ 千米
D.$\frac{a}{\cosθ}$ 千米
A
)A.$a\sinθ$ 千米
B.$\frac{a}{\sinθ}$ 千米
C.$a\cosθ$ 千米
D.$\frac{a}{\cosθ}$ 千米
答案
1. A
解析
在直角三角形$ALR$中，$∠ ALR = 90°$，$AR = a$千米，$∠ AR L=θ$。
$\sinθ=\frac{AL}{AR}$
$AL = AR·\sinθ = a\sinθ$千米
A
$\sinθ=\frac{AL}{AR}$
$AL = AR·\sinθ = a\sinθ$千米
A
2. (2023·南通)如图，从航拍无人机 A 看一栋楼顶部 B 的仰角 α 为 $30^{\circ}$，看这栋楼底部 C 的俯角 β 为 $60^{\circ}$，无人机与楼的水平距离为 120 m，则这栋楼的高度为(
A.$140\sqrt{3}$ m
B.$160\sqrt{3}$ m
C.$180\sqrt{3}$ m
D.$200\sqrt{3}$ m
B
)A.$140\sqrt{3}$ m
B.$160\sqrt{3}$ m
C.$180\sqrt{3}$ m
D.$200\sqrt{3}$ m
答案
2. B
解析
解：过点A作AD⊥BC于点D，
则AD=120m，∠BAD=α=30°，∠CAD=β=60°，
在Rt△ABD中，BD=AD·tan30°=120×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=40$\sqrt{3}$m，
在Rt△ACD中，CD=AD·tan60°=120×$\sqrt{3}$=120$\sqrt{3}$m，
∴BC=BD+CD=40$\sqrt{3}$+120$\sqrt{3}$=160$\sqrt{3}$m，
答案：B
则AD=120m，∠BAD=α=30°，∠CAD=β=60°，
在Rt△ABD中，BD=AD·tan30°=120×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=40$\sqrt{3}$m，
在Rt△ACD中，CD=AD·tan60°=120×$\sqrt{3}$=120$\sqrt{3}$m，
∴BC=BD+CD=40$\sqrt{3}$+120$\sqrt{3}$=160$\sqrt{3}$m，
答案：B
3. (2024·德阳)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 CD 的高度，在建筑物旁边有一高度为 10 米的小楼房 AB，小李同学在小楼房楼底 B 处测得 C 处的仰角为 $60^{\circ}$，在小楼房楼顶 A 处测得 C 处的仰角为 $30^{\circ}$(AB，CD 在同一平面内，B，D 在同一水平面上)，则建筑物 CD 的高为(
A.20 米
B.15 米
C.12 米
D.$(10 + 5\sqrt{3})$米
B
)A.20 米
B.15 米
C.12 米
D.$(10 + 5\sqrt{3})$米
答案
3. B
解析
解：设建筑物$CD$的高度为$h$米，$BD = x$米。
在$Rt△ BCD$中，$\tan60°=\frac{CD}{BD}=\frac{h}{x}$，即$h = x\tan60°=\sqrt{3}x$。
过点$A$作$AE⊥ CD$于点$E$，则$AE = BD = x$，$CE = CD - AB = h - 10$。
在$Rt△ ACE$中，$\tan30°=\frac{CE}{AE}=\frac{h - 10}{x}$，即$h - 10 = x\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
联立方程：$\sqrt{3}x - 10=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，解得$x = 5\sqrt{3}$。
则$h=\sqrt{3}×5\sqrt{3}=15$。
答：建筑物$CD$的高为$15$米。
在$Rt△ BCD$中，$\tan60°=\frac{CD}{BD}=\frac{h}{x}$，即$h = x\tan60°=\sqrt{3}x$。
过点$A$作$AE⊥ CD$于点$E$，则$AE = BD = x$，$CE = CD - AB = h - 10$。
在$Rt△ ACE$中，$\tan30°=\frac{CE}{AE}=\frac{h - 10}{x}$，即$h - 10 = x\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
联立方程：$\sqrt{3}x - 10=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，解得$x = 5\sqrt{3}$。
则$h=\sqrt{3}×5\sqrt{3}=15$。
答：建筑物$CD$的高为$15$米。
4. 如图，B 为地面上一点，测得 B 到树底部 C 的距离为 10 m，在 B 处放置 1 m 高的测角仪 BD，测得树顶 A 的仰角为 $60^{\circ}$，则树高 AC 为
$(1 + 10\sqrt{3})$
m(结果保留根号)。答案
4. $(1 + 10\sqrt{3})$
解析
解：过点D作DE⊥AC于点E，则四边形BCDE为矩形，
∴DE=BC=10m，CE=BD=1m。
在Rt△ADE中，∠ADE=60°，
tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$，
∴AE=DE·tan60°=10×$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$m。
∴AC=AE+CE=10$\sqrt{3}$+1=(1+10$\sqrt{3}$)m。
故树高AC为$(1 + 10\sqrt{3})$m。
∴DE=BC=10m，CE=BD=1m。
在Rt△ADE中，∠ADE=60°，
tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$，
∴AE=DE·tan60°=10×$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$m。
∴AC=AE+CE=10$\sqrt{3}$+1=(1+10$\sqrt{3}$)m。
故树高AC为$(1 + 10\sqrt{3})$m。
5. (2024·泰安)在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度。他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机。如图，无人机在河上方距水面高 60 米的点 P 处测得瞭望台正对岸 A 处的俯角为 $50^{\circ}$，测得瞭望台顶端 C 处的俯角为 $63.6^{\circ}$，已知瞭望台 BC 高 12 米(图中点 A，B，C，P 在同一平面内)。那么大汶河此河段的宽 AB 为
74
米。(参考数据：$\sin40^{\circ}\approx\frac{3}{5}$，$\sin63.6^{\circ}\approx\frac{9}{10}$，$\tan50^{\circ}\approx\frac{6}{5}$，$\tan63.6^{\circ}\approx2$)答案
5. 74
解析
解：过点 $ P $ 作 $ PD ⊥ AB $ 于点 $ D $，交 $ BC $ 延长线于点 $ E $。
由题意得：$ PD = 60 $ 米，$ BC = 12 $ 米，$ ∠ PAD = 50° $，$ ∠ PCE = 63.6° $，四边形 $ BDE C $ 为矩形，$ \therefore DE = BC = 12 $ 米，$ BE = CD $。
$ \therefore PE = PD - DE = 60 - 12 = 48 $ 米。
在 $ \mathrm{Rt}△ PAD $ 中，$ \tan∠ PAD = \frac{PD}{AD} $，$ \tan50° \approx \frac{6}{5} = \frac{60}{AD} $，$ \therefore AD = \frac{60 × 5}{6} = 50 $ 米。
在 $ \mathrm{Rt}△ PCE $ 中，$ \tan∠ PCE = \frac{PE}{CE} $，$ \tan63.6° \approx 2 = \frac{48}{CE} $，$ \therefore CE = 24 $ 米，$ \therefore BE = CE = 24 $ 米。
$ \therefore AB = AD + BE = 50 + 24 = 74 $ 米。
74
由题意得：$ PD = 60 $ 米，$ BC = 12 $ 米，$ ∠ PAD = 50° $，$ ∠ PCE = 63.6° $，四边形 $ BDE C $ 为矩形，$ \therefore DE = BC = 12 $ 米，$ BE = CD $。
$ \therefore PE = PD - DE = 60 - 12 = 48 $ 米。
在 $ \mathrm{Rt}△ PAD $ 中，$ \tan∠ PAD = \frac{PD}{AD} $，$ \tan50° \approx \frac{6}{5} = \frac{60}{AD} $，$ \therefore AD = \frac{60 × 5}{6} = 50 $ 米。
在 $ \mathrm{Rt}△ PCE $ 中，$ \tan∠ PCE = \frac{PE}{CE} $，$ \tan63.6° \approx 2 = \frac{48}{CE} $，$ \therefore CE = 24 $ 米，$ \therefore BE = CE = 24 $ 米。
$ \therefore AB = AD + BE = 50 + 24 = 74 $ 米。
74
6. (2024·通辽)在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度。如图，从 C 点测得杨树底端 B 点的仰角是 $30^{\circ}$，BC 长 6 米，在距离 C 点 4 米处的 D 点测得杨树顶端 A 点的仰角为 $45^{\circ}$，求杨树 AB 的高度（精确到 0.1 米，AB，BC，CD 在同一平面内，点 C，D 在同一水平线上，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$）。
答案
6. 延长AB交DC的延长线于点H，则$∠AHD = 90^{\circ}$，$\because ∠BCH = 30^{\circ}$，$BC = 6$米，$\therefore BH = \frac{1}{2}BC = 3$米，$CH = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = 3\sqrt{3}$米。$\because ∠ADC = 45^{\circ}$，$\therefore AH = DH = CD + CH = (4 + 3\sqrt{3})$米，$\therefore AB = AH - BH = 4 + 3\sqrt{3} - 3 = 1 + 3\sqrt{3} ≈ 6.2$（米），答：杨树AB的高度约为6.2米。
