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一、选择题
1. 在式子$\sqrt{4}$，$\sqrt{a^{2}+1}$，$\sqrt{a^{2}-1}$，$\sqrt{1 - x}(x ＜ 0)$，$\sqrt{x^{2}-6x + 9}$中，一定有意义的有(
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
1. 在式子$\sqrt{4}$，$\sqrt{a^{2}+1}$，$\sqrt{a^{2}-1}$，$\sqrt{1 - x}(x ＜ 0)$，$\sqrt{x^{2}-6x + 9}$中，一定有意义的有(
C
).A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案
1. C
解析
要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数。
$\sqrt{4}$：被开方数$4＞0$，有意义；
$\sqrt{a^{2}+1}$：因为$a^{2}≥0$，所以$a^{2}+1≥1＞0$，有意义；
$\sqrt{a^{2}-1}$：当$a^{2}-1＜0$，即$-1 ＜ a ＜ 1$时，被开方数为负数，无意义；
$\sqrt{1 - x}(x ＜ 0)$：因为$x ＜ 0$，所以$-x ＞ 0$，则$1 - x ＞ 1 ＞ 0$，有意义；
$\sqrt{x^{2}-6x + 9}=\sqrt{(x - 3)^{2}}$：因为$(x - 3)^{2}≥0$，有意义。
综上，一定有意义的是$\sqrt{4}$，$\sqrt{a^{2}+1}$，$\sqrt{1 - x}(x ＜ 0)$，$\sqrt{x^{2}-6x + 9}$，共4个。
C
$\sqrt{4}$：被开方数$4＞0$，有意义；
$\sqrt{a^{2}+1}$：因为$a^{2}≥0$，所以$a^{2}+1≥1＞0$，有意义；
$\sqrt{a^{2}-1}$：当$a^{2}-1＜0$，即$-1 ＜ a ＜ 1$时，被开方数为负数，无意义；
$\sqrt{1 - x}(x ＜ 0)$：因为$x ＜ 0$，所以$-x ＞ 0$，则$1 - x ＞ 1 ＞ 0$，有意义；
$\sqrt{x^{2}-6x + 9}=\sqrt{(x - 3)^{2}}$：因为$(x - 3)^{2}≥0$，有意义。
综上，一定有意义的是$\sqrt{4}$，$\sqrt{a^{2}+1}$，$\sqrt{1 - x}(x ＜ 0)$，$\sqrt{x^{2}-6x + 9}$，共4个。
C
2. 式子$\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x + 2}}$有意义的条件是(
A.$x ≠ - 2$
B.$x ≤ 0$
C.$x ＞ - 2$
D.$- 2 ＜ x ≤ 0$
D
).A.$x ≠ - 2$
B.$x ≤ 0$
C.$x ＞ - 2$
D.$- 2 ＜ x ≤ 0$
答案
2. D
解析
要使式子$\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x + 2}}$有意义，需满足：
1. 分子中被开方数非负：$-x ≥ 0$，即$x ≤ 0$；
2. 分母中被开方数为正：$x + 2 ＞ 0$，即$x ＞ -2$。
综上，$-2 ＜ x ≤ 0$。
D
1. 分子中被开方数非负：$-x ≥ 0$，即$x ≤ 0$；
2. 分母中被开方数为正：$x + 2 ＞ 0$，即$x ＞ -2$。
综上，$-2 ＜ x ≤ 0$。
D
3. 已知$y = \sqrt{3 - 2x} + \sqrt{2x - 3} + 5$，则$3xy$的值为(
A.45
B.$- 45$
C.$\frac{45}{2}$
D.$- \frac{45}{2}$
C
).A.45
B.$- 45$
C.$\frac{45}{2}$
D.$- \frac{45}{2}$
答案
3. C
解析
要使$y = \sqrt{3 - 2x} + \sqrt{2x - 3} + 5$有意义，则$\begin{cases}3 - 2x ≥ 0 \\ 2x - 3 ≥ 0\end{cases}$，解得$x = \frac{3}{2}$。将$x = \frac{3}{2}$代入$y$，得$y = 0 + 0 + 5 = 5$。所以$3xy = 3×\frac{3}{2}×5 = \frac{45}{2}$。
$\frac{45}{2}$
$\frac{45}{2}$
二、填空题
4. 若$\sqrt{3x - 2y + 9}$与$(x - y - 3)^{2}$互为相反数，则$2x - y$的值为
4. 若$\sqrt{3x - 2y + 9}$与$(x - y - 3)^{2}$互为相反数，则$2x - y$的值为
$-12$
.答案
4. $-12$
解析
因为$\sqrt{3x - 2y + 9}$与$(x - y - 3)^{2}$互为相反数，所以$\sqrt{3x - 2y + 9} + (x - y - 3)^{2} = 0$。
由于$\sqrt{3x - 2y + 9} ≥ 0$，$(x - y - 3)^{2} ≥ 0$，则有：
$\begin{cases}3x - 2y + 9 = 0 \\ x - y - 3 = 0\end{cases}$
由第二个方程得$x = y + 3$，代入第一个方程：
$3(y + 3) - 2y + 9 = 0$
$3y + 9 - 2y + 9 = 0$
$y + 18 = 0$
$y = -18$
则$x = -18 + 3 = -15$
所以$2x - y = 2×(-15) - (-18) = -30 + 18 = -12$
$-12$
由于$\sqrt{3x - 2y + 9} ≥ 0$，$(x - y - 3)^{2} ≥ 0$，则有：
$\begin{cases}3x - 2y + 9 = 0 \\ x - y - 3 = 0\end{cases}$
由第二个方程得$x = y + 3$，代入第一个方程：
$3(y + 3) - 2y + 9 = 0$
$3y + 9 - 2y + 9 = 0$
$y + 18 = 0$
$y = -18$
则$x = -18 + 3 = -15$
所以$2x - y = 2×(-15) - (-18) = -30 + 18 = -12$
$-12$
5. 已知$a ＞ 2b ＞ 0$，化简：$(\sqrt{a - b})^{2} + |2b - a| =$
$2a - 3b$
.答案
5. $2a - 3b$
解析
$(\sqrt{a - b})^{2} + |2b - a|$
$=a - b + |2b - a|$
因为$a＞2b＞0$，所以$2b - a＜0$，则$|2b - a|=a - 2b$
$=a - b + a - 2b$
$=2a - 3b$
$=a - b + |2b - a|$
因为$a＞2b＞0$，所以$2b - a＜0$，则$|2b - a|=a - 2b$
$=a - b + a - 2b$
$=2a - 3b$
6. 已知$a$，$b$，$c$在数轴上的位置如图所示，化简：
$\sqrt{a^{2}} + \sqrt{(c - a)^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}} =$
$\sqrt{a^{2}} + \sqrt{(c - a)^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}} =$
$-a + b + c$
.答案
6. $-a + b + c$
解析
解：由数轴可知，$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |a|$，
$\therefore a ＜ 0$，$c - a ＞ 0$，$a + b ＜ 0$，
$\sqrt{a^{2}} + \sqrt{(c - a)^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}}$
$= |a| + |c - a| - |a + b|$
$= -a + (c - a) - [-(a + b)]$
$= -a + c - a + a + b$
$= -a + b + c$
$-a + b + c$
$\therefore a ＜ 0$，$c - a ＞ 0$，$a + b ＜ 0$，
$\sqrt{a^{2}} + \sqrt{(c - a)^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}}$
$= |a| + |c - a| - |a + b|$
$= -a + (c - a) - [-(a + b)]$
$= -a + c - a + a + b$
$= -a + b + c$
$-a + b + c$
三、解答题
7. 设$a$，$b$，$c$表示$△ ABC$的三边长，化简：$(\sqrt{a + b + c})^{2} + \sqrt{(a - b - c)^{2}} - \sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$.
7. 设$a$，$b$，$c$表示$△ ABC$的三边长，化简：$(\sqrt{a + b + c})^{2} + \sqrt{(a - b - c)^{2}} - \sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$.
答案
解：
因为$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边长，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，即$a + b＞c$，$a + c＞b$，$b + c＞a$。
1. 对于$(\sqrt{a + b + c})^{2}$：
根据$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$，因为$a + b + c＞0$，所以$(\sqrt{a + b + c})^{2}=a + b + c$。
2. 对于$\sqrt{(a - b - c)^{2}}$：
因为$b + c＞a$，即$a-(b + c)＜0$，根据$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert=\begin{cases}m(m≥0)\\-m(m＜0)\end{cases}$，所以$\sqrt{(a - b - c)^{2}}=\vert a-(b + c)\vert=-(a - b - c)=b + c - a$。
3. 对于$\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$：
因为$b + c＞a$，所以$3b+4c-2a=(b + c)+(2b + 3c - a)＞0$，根据$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert=\begin{cases}m(m≥0)\\-m(m＜0)\end{cases}$，所以$\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}=3b + 4c - 2a$。
则$(\sqrt{a + b + c})^{2}+\sqrt{(a - b - c)^{2}}-\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$
$=(a + b + c)+(b + c - a)-(3b + 4c - 2a)$
$=a + b + c + b + c - a - 3b - 4c + 2a$
$=2a - b - 2c$。
综上，化简结果为$2a - b - 2c$。
因为$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边长，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，即$a + b＞c$，$a + c＞b$，$b + c＞a$。
1. 对于$(\sqrt{a + b + c})^{2}$：
根据$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$，因为$a + b + c＞0$，所以$(\sqrt{a + b + c})^{2}=a + b + c$。
2. 对于$\sqrt{(a - b - c)^{2}}$：
因为$b + c＞a$，即$a-(b + c)＜0$，根据$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert=\begin{cases}m(m≥0)\\-m(m＜0)\end{cases}$，所以$\sqrt{(a - b - c)^{2}}=\vert a-(b + c)\vert=-(a - b - c)=b + c - a$。
3. 对于$\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$：
因为$b + c＞a$，所以$3b+4c-2a=(b + c)+(2b + 3c - a)＞0$，根据$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert=\begin{cases}m(m≥0)\\-m(m＜0)\end{cases}$，所以$\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}=3b + 4c - 2a$。
则$(\sqrt{a + b + c})^{2}+\sqrt{(a - b - c)^{2}}-\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$
$=(a + b + c)+(b + c - a)-(3b + 4c - 2a)$
$=a + b + c + b + c - a - 3b - 4c + 2a$
$=2a - b - 2c$。
综上，化简结果为$2a - b - 2c$。
解析
【分析】
首先，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断原式中各根号内式子的正负性；接着利用二次根式的两个核心性质：$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$和$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert$，分别对每一项进行化简；最后将化简后的各项代入原式，合并同类项即可得到化简结果。具体思考步骤：1. 先确定$a+b+c$、$a-b-c$、$3b+4c-2a$的正负；2. 依据二次根式性质去根号；3. 合并同类项计算最终结果。
【解析】
因为$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边长，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，即$a + b＞c$，$a + c＞b$，$b + c＞a$。
1. 对于$(\sqrt{a + b + c})^{2}$：
根据$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$，由于三角形三边长均为正数，故$a + b + c＞0$，因此$(\sqrt{a + b + c})^{2}=a + b + c$。
2. 对于$\sqrt{(a - b - c)^{2}}$：
由$b + c＞a$，可得$a - b - c = a - (b + c)＜0$，根据$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert=\begin{cases}m(m≥0)\\-m(m＜0)\end{cases}$，所以$\sqrt{(a - b - c)^{2}}=\vert a - b - c\vert=-(a - b - c)=b + c - a$。
3. 对于$\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$：
由$b + c＞a$，可得$3b + 4c - 2a=(b + c)+(2b + 3c - a)$，因为$2b + 3c - a = b + (b + 3c - a)＞b + (b + c - a)＞0$（利用$b + c＞a$），所以$3b + 4c - 2a＞0$，根据$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert$，可得$\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}=3b + 4c - 2a$。
将上述化简结果代入原式：
$(\sqrt{a + b + c})^{2} + \sqrt{(a - b - c)^{2}} - \sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$
$=(a + b + c)+(b + c - a)-(3b + 4c - 2a)$
$=a + b + c + b + c - a - 3b - 4c + 2a$
$=2a - b - 2c$
【答案】
$2a - b - 2c$
【知识点】
三角形三边关系，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题综合考查三角形三边关系与二次根式的性质，解题的核心是利用三角形三边关系准确判断根号内式子的正负性，进而正确运用二次根式的性质去根号。通过本题可强化对三角形三边关系的理解，提升二次根式运算的能力。
【难度系数】
0.6
首先，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断原式中各根号内式子的正负性；接着利用二次根式的两个核心性质：$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$和$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert$，分别对每一项进行化简；最后将化简后的各项代入原式，合并同类项即可得到化简结果。具体思考步骤：1. 先确定$a+b+c$、$a-b-c$、$3b+4c-2a$的正负；2. 依据二次根式性质去根号；3. 合并同类项计算最终结果。
【解析】
因为$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边长，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，即$a + b＞c$，$a + c＞b$，$b + c＞a$。
1. 对于$(\sqrt{a + b + c})^{2}$：
根据$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$，由于三角形三边长均为正数，故$a + b + c＞0$，因此$(\sqrt{a + b + c})^{2}=a + b + c$。
2. 对于$\sqrt{(a - b - c)^{2}}$：
由$b + c＞a$，可得$a - b - c = a - (b + c)＜0$，根据$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert=\begin{cases}m(m≥0)\\-m(m＜0)\end{cases}$，所以$\sqrt{(a - b - c)^{2}}=\vert a - b - c\vert=-(a - b - c)=b + c - a$。
3. 对于$\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$：
由$b + c＞a$，可得$3b + 4c - 2a=(b + c)+(2b + 3c - a)$，因为$2b + 3c - a = b + (b + 3c - a)＞b + (b + c - a)＞0$（利用$b + c＞a$），所以$3b + 4c - 2a＞0$，根据$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert$，可得$\sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}=3b + 4c - 2a$。
将上述化简结果代入原式：
$(\sqrt{a + b + c})^{2} + \sqrt{(a - b - c)^{2}} - \sqrt{(3b + 4c - 2a)^{2}}$
$=(a + b + c)+(b + c - a)-(3b + 4c - 2a)$
$=a + b + c + b + c - a - 3b - 4c + 2a$
$=2a - b - 2c$
【答案】
$2a - b - 2c$
【知识点】
三角形三边关系，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题综合考查三角形三边关系与二次根式的性质，解题的核心是利用三角形三边关系准确判断根号内式子的正负性，进而正确运用二次根式的性质去根号。通过本题可强化对三角形三边关系的理解，提升二次根式运算的能力。
【难度系数】
0.6
