登录
一、选择题
1. 化简$\sqrt{(\sqrt{3}-2)^{2}}$的结果是(
A.$\sqrt{3}-2$
B.$-\sqrt{3}-2$
C.$\sqrt{3}+2$
D.$-\sqrt{3}+2$
1. 化简$\sqrt{(\sqrt{3}-2)^{2}}$的结果是(
D
).A.$\sqrt{3}-2$
B.$-\sqrt{3}-2$
C.$\sqrt{3}+2$
D.$-\sqrt{3}+2$
答案
1. D
解析
$\sqrt{(\sqrt{3}-2)^{2}}=|\sqrt{3}-2|$，因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，所以$\sqrt{3}-2＜0$，则$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}=-\sqrt{3}+2$。D
2. 下列判断正确的是(
A.对任意实数$a$，都有$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$
B.只有当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$
C.只有当$a＞0$时，$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$
D.当$a$为有理数时，$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$
B
).A.对任意实数$a$，都有$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$
B.只有当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$
C.只有当$a＞0$时，$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$
D.当$a$为有理数时，$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断等式$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$是否成立，需分别分析等式左右两边式子的定义域与运算结果：
1. 对于左边$(\sqrt{a})^{2}$：二次根式有意义的条件是被开方数非负，因此$a$的取值范围是$a≥0$，此时$(\sqrt{a})^{2}=a$；
2. 对于右边$\sqrt{a^{2}}$：任意实数$a$都能使式子有意义，运算结果为$|a|$，即当$a≥0$时，$\sqrt{a^{2}}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^{2}}=-a$。
对比可知，当且仅当$a≥0$时，左右两边的结果相等且左边式子有意义，据此逐一判断选项即可。
【解析】
选项A：当$a＜0$时，左边$(\sqrt{a})^{2}$无意义，等式不成立，故A错误；
选项B：当$a≥0$时，左边$(\sqrt{a})^{2}=a$，右边$\sqrt{a^{2}}=a$，等式成立；当$a＜0$时左边无意义，因此只有$a≥0$时等式成立，故B正确；
选项C：当$a=0$时，$(\sqrt{0})^{2}=0$，$\sqrt{0^{2}}=0$，等式也成立，并非只有$a＞0$，故C错误；
选项D：当$a$为负有理数时，左边$(\sqrt{a})^{2}$无意义，等式不成立，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的定义域
【点评】
本题主要考查二次根式的基本性质，关键在于明确不同二次根式表达式的定义域与运算结果，尤其要注意根号下被开方数的非负性以及绝对值的化简，是对二次根式基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
要判断等式$(\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a^{2}}$是否成立，需分别分析等式左右两边式子的定义域与运算结果：
1. 对于左边$(\sqrt{a})^{2}$：二次根式有意义的条件是被开方数非负，因此$a$的取值范围是$a≥0$，此时$(\sqrt{a})^{2}=a$；
2. 对于右边$\sqrt{a^{2}}$：任意实数$a$都能使式子有意义，运算结果为$|a|$，即当$a≥0$时，$\sqrt{a^{2}}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^{2}}=-a$。
对比可知，当且仅当$a≥0$时，左右两边的结果相等且左边式子有意义，据此逐一判断选项即可。
【解析】
选项A：当$a＜0$时，左边$(\sqrt{a})^{2}$无意义，等式不成立，故A错误；
选项B：当$a≥0$时，左边$(\sqrt{a})^{2}=a$，右边$\sqrt{a^{2}}=a$，等式成立；当$a＜0$时左边无意义，因此只有$a≥0$时等式成立，故B正确；
选项C：当$a=0$时，$(\sqrt{0})^{2}=0$，$\sqrt{0^{2}}=0$，等式也成立，并非只有$a＞0$，故C错误；
选项D：当$a$为负有理数时，左边$(\sqrt{a})^{2}$无意义，等式不成立，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的定义域
【点评】
本题主要考查二次根式的基本性质，关键在于明确不同二次根式表达式的定义域与运算结果，尤其要注意根号下被开方数的非负性以及绝对值的化简，是对二次根式基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
3. 当$x≥4$时，化简$\sqrt{x^{2}-8x+16}$的结果是(
A.0
B.$x-4$
C.$4-x$
D.$-x-4$
B
).A.0
B.$x-4$
C.$4-x$
D.$-x-4$
答案
3. B
解析
$\sqrt{x^{2}-8x+16}=\sqrt{(x-4)^{2}}$，
因为$x≥4$，所以$x-4≥0$，
则$\sqrt{(x-4)^{2}}=x-4$。
B
因为$x≥4$，所以$x-4≥0$，
则$\sqrt{(x-4)^{2}}=x-4$。
B
二、填空题
4. 实数$a$在数轴上的位置如图所示，化简：$\sqrt{a^{2}}=$
4. 实数$a$在数轴上的位置如图所示，化简：$\sqrt{a^{2}}=$
$-a$
.答案
4. $-a$
解析
解：由数轴可知，$a ＜ 0$，
$\sqrt{a^{2}} = |a| = -a$。
$-a$
$\sqrt{a^{2}} = |a| = -a$。
$-a$
5. 计算：$\sqrt{25}-\sqrt{(-3)^{2}}+(-\sqrt{4})^{2}=$
6
.答案
5. 6
解析
$\sqrt{25}-\sqrt{(-3)^{2}}+(-\sqrt{4})^{2}$
$=5 - 3 + 4$
$=6$
$=5 - 3 + 4$
$=6$
6. 若实数$m$满足$\sqrt{(2-m)^{2}}+\sqrt{m-3}=\sqrt{m^{2}}$，则$m=$
7
.答案
6. 7
解析
解：由二次根式有意义的条件得$m - 3 ≥ 0$，即$m ≥ 3$。
$\sqrt{(2 - m)^2} = |2 - m| = m - 2$（因为$m ≥ 3$，所以$2 - m ＜ 0$），$\sqrt{m^2} = |m| = m$（因为$m ≥ 3$）。
原方程可化为$m - 2 + \sqrt{m - 3} = m$，
移项得$\sqrt{m - 3} = 2$，
两边平方得$m - 3 = 4$，
解得$m = 7$。
7
$\sqrt{(2 - m)^2} = |2 - m| = m - 2$（因为$m ≥ 3$，所以$2 - m ＜ 0$），$\sqrt{m^2} = |m| = m$（因为$m ≥ 3$）。
原方程可化为$m - 2 + \sqrt{m - 3} = m$，
移项得$\sqrt{m - 3} = 2$，
两边平方得$m - 3 = 4$，
解得$m = 7$。
7
三、解答题
7. 计算：
(1) $(-\sqrt{2})^{2}$；
(2) $\sqrt{10^{-2}}$；
(3) $\sqrt{9a^{2}}+(\sqrt{a})^{2}(a＞0)$.
7. 计算：
(1) $(-\sqrt{2})^{2}$；
(2) $\sqrt{10^{-2}}$；
(3) $\sqrt{9a^{2}}+(\sqrt{a})^{2}(a＞0)$.
答案
7. (1) 2 (2) $\dfrac{1}{10}$ (3) $4a$
解析
(1) $(-\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$；
(2) $\sqrt{10^{-2}}=\sqrt{\dfrac{1}{10^{2}}}=\dfrac{1}{10}$；
(3) $\because a＞0$，$\therefore \sqrt{9a^{2}}=3a$，$(\sqrt{a})^{2}=a$，$\therefore \sqrt{9a^{2}}+(\sqrt{a})^{2}=3a+a=4a$.
(2) $\sqrt{10^{-2}}=\sqrt{\dfrac{1}{10^{2}}}=\dfrac{1}{10}$；
(3) $\because a＞0$，$\therefore \sqrt{9a^{2}}=3a$，$(\sqrt{a})^{2}=a$，$\therefore \sqrt{9a^{2}}+(\sqrt{a})^{2}=3a+a=4a$.
8. 某房间的面积为$25m^{2}$，正好用 400 块大小相同的正方形地砖密铺(不重叠且无空隙)，则这种地砖的边长是多少厘米？
答案
8. $25\mathrm{cm}$
解析
25m²=250000cm²
250000÷400=625(cm²)
$\sqrt{625}=25$
这种地砖的边长是25厘米。
250000÷400=625(cm²)
$\sqrt{625}=25$
这种地砖的边长是25厘米。
9. 已知实数$x$，$y$满足$\sqrt{2x-2y+3}+\sqrt{2x+2y+7}=0$，求$x^{y}$的值.
答案
因为$\sqrt{2x - 2y + 3} ≥ 0$，$\sqrt{2x + 2y + 7} ≥ 0$，且$\sqrt{2x - 2y + 3} + \sqrt{2x + 2y + 7} = 0$，所以$\begin{cases}2x - 2y + 3 = 0 \\ 2x + 2y + 7 = 0\end{cases}$。
解方程组：
将两式相加得：$4x + 10 = 0$，解得$x = -\dfrac{5}{2}$。
将$x = -\dfrac{5}{2}$代入$2x - 2y + 3 = 0$，得$2×(-\dfrac{5}{2}) - 2y + 3 = 0$，即$-5 - 2y + 3 = 0$，解得$y = -1$。
所以$x^y = (-\dfrac{5}{2})^{-1} = -\dfrac{2}{5}$。
$-\dfrac{2}{5}$
解方程组：
将两式相加得：$4x + 10 = 0$，解得$x = -\dfrac{5}{2}$。
将$x = -\dfrac{5}{2}$代入$2x - 2y + 3 = 0$，得$2×(-\dfrac{5}{2}) - 2y + 3 = 0$，即$-5 - 2y + 3 = 0$，解得$y = -1$。
所以$x^y = (-\dfrac{5}{2})^{-1} = -\dfrac{2}{5}$。
$-\dfrac{2}{5}$
解析
因为$\sqrt{2x - 2y + 3} ≥ 0$，$\sqrt{2x + 2y + 7} ≥ 0$，且$\sqrt{2x - 2y + 3} + \sqrt{2x + 2y + 7} = 0$，所以$\begin{cases}2x - 2y + 3 = 0 \\ 2x + 2y + 7 = 0\end{cases}$。
解方程组：
将两式相加得：$4x + 10 = 0$，解得$x = -\dfrac{5}{2}$。
将$x = -\dfrac{5}{2}$代入$2x - 2y + 3 = 0$，得$2×(-\dfrac{5}{2}) - 2y + 3 = 0$，即$-5 - 2y + 3 = 0$，解得$y = -1$。
所以$x^y = (-\dfrac{5}{2})^{-1} = -\dfrac{2}{5}$。
$-\dfrac{2}{5}$
解方程组：
将两式相加得：$4x + 10 = 0$，解得$x = -\dfrac{5}{2}$。
将$x = -\dfrac{5}{2}$代入$2x - 2y + 3 = 0$，得$2×(-\dfrac{5}{2}) - 2y + 3 = 0$，即$-5 - 2y + 3 = 0$，解得$y = -1$。
所以$x^y = (-\dfrac{5}{2})^{-1} = -\dfrac{2}{5}$。
$-\dfrac{2}{5}$
