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8. 将下列各式在实数范围内分解因式：
(1)$2x^{2} - 6$；
(2)$x^{4} - 25$；
(3)$x^{4} - 4x^{2} + 4$.
(1)$2x^{2} - 6$；
(2)$x^{4} - 25$；
(3)$x^{4} - 4x^{2} + 4$.
答案
8. (1) $2(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ (2) $(x^{2} + 5)(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})$ (3) $(x + \sqrt{2})^{2}(x - \sqrt{2})^{2}$
解析
(1) $2x^{2}-6=2(x^{2}-3)=2(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$；
(2) $x^{4}-25=(x^{2})^{2}-5^{2}=(x^{2}+5)(x^{2}-5)=(x^{2}+5)(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$；
(3) $x^{4}-4x^{2}+4=(x^{2})^{2}-4x^{2}+2^{2}=(x^{2}-2)^{2}=[(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})]^{2}=(x+\sqrt{2})^{2}(x-\sqrt{2})^{2}$.
(2) $x^{4}-25=(x^{2})^{2}-5^{2}=(x^{2}+5)(x^{2}-5)=(x^{2}+5)(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$；
(3) $x^{4}-4x^{2}+4=(x^{2})^{2}-4x^{2}+2^{2}=(x^{2}-2)^{2}=[(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})]^{2}=(x+\sqrt{2})^{2}(x-\sqrt{2})^{2}$.
9. 某同学在作业本上做了这么一道题：
“当$a =$■■时，试求$(\sqrt{a})^{2} + \sqrt{a^{2} - 2a + 1}$的值”.其中■■是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为$\frac{1}{2}$.
请你判断该同学求得的答案是否正确，并说明理由.
“当$a =$■■时，试求$(\sqrt{a})^{2} + \sqrt{a^{2} - 2a + 1}$的值”.其中■■是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为$\frac{1}{2}$.
请你判断该同学求得的答案是否正确，并说明理由.
答案
9. 不正确，理由略
解析
不正确，理由如下：
由题意得，$a ≥ 0$，
$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$，
$(\sqrt{a})^2 + \sqrt{a^2 - 2a + 1} = a + |a - 1|$。
当$0 ≤ a ≤ 1$时，原式$= a + 1 - a = 1$；
当$a ＞ 1$时，原式$= a + a - 1 = 2a - 1 ＞ 1$。
综上，原式的值为$1$或大于$1$，不可能为$\frac{1}{2}$，故该同学答案不正确。
由题意得，$a ≥ 0$，
$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$，
$(\sqrt{a})^2 + \sqrt{a^2 - 2a + 1} = a + |a - 1|$。
当$0 ≤ a ≤ 1$时，原式$= a + 1 - a = 1$；
当$a ＞ 1$时，原式$= a + a - 1 = 2a - 1 ＞ 1$。
综上，原式的值为$1$或大于$1$，不可能为$\frac{1}{2}$，故该同学答案不正确。
