1. 数学来源于生活,生活中处处有数学.用我们平时喝的糖水做“糖水实验”,也能验证发现一些数学结论.
糖水实验一:
(1)现有$a$克糖水,其中含有$b$克糖$(a＞b＞0)$,则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为$\frac{b}{a}$.加入$m$克水,则糖水的浓度为.
生活经验告诉我们,糖水加水后会变淡,由此可以写出一个不等式,我们趣称为“糖水不等式”.
糖水实验二:
(2)将“糖水实验一”中的“加入$m$克水”改为“加入$m$克糖”,根据生活经验,请你写出一个新的“糖水不等式”,并证明此结论.
糖水实验三:
(3)请设计一个“糖水实验”,说明等比定理“若$\frac{b_{1}}{a_{1}}=\frac{b_{2}}{a_{2}}=···=\frac{b_{n}}{a_{n}}$,则$\frac{b_{1}+b_{2}+··· +b_{n}}{a_{1}+a_{2}+··· +a_{n}}=\frac{b_{1}}{a_{1}}$”成立.
知识迁移:
(4)设$a,b,c$为$△ ABC$三边的长,根据上述糖水实验二的结论,求证:$\frac{c}{a + b}+\frac{a}{b + c}+\frac{b}{a + c}＜2$.

$\boldsymbol{\frac{b}{a+m}}$
$\boldsymbol{\frac{b}{a}＞\frac{b}{a+m}}$
解：
(2) 不等式为$\frac{b}{a}＜\frac{b+m}{a+m}$。
证明：$\frac{b+m}{a+m}-\frac{b}{a}=\frac{(b+m)a - b(a+m)}{a(a+m)}=\frac{ab+am-ab-bm}{a(a+m)}=\frac{(a-b)m}{a(a+m)}$，
$ \because a＞b$，$\therefore a-b＞0$。
又$\because m＞0$，a+m＞0，a＞0，
$ \therefore \frac{b+m}{a+m}-\frac{b}{a}＞0$，即$\frac{b+m}{a+m}＞\frac{b}{a}$。
(3) 若有n杯糖水，分别是$a_1$克，$a_2$克，$a_3$克，$\dots$，a_n克，其中每杯中含的糖分别是$b_1$克，$b_2$克，$b_3$克，$\dots$，b_n克，若这n杯糖水的浓度相同，则$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\dots=\frac{b_n}{a_n}$。将这n杯浓度相同的糖水倒在一个容器内，根据生活经验，糖水浓度没有变化，即不变甜也不变淡，由此可以得到$\frac{b_1+b_2+\dots+b_n}{a_1+a_2+\dots+a_n}=\frac{b_1}{a_1}$。
(4) 证明：$\because a,b,c$为△ ABC的三边长，
$ \therefore a+b＞c$，b+c＞a，c+a＞b
$ \therefore \frac{c}{a+b}＜1$，$\frac{a}{b+c}＜1$，$\frac{b}{a+c}＜1$。
由
(2)的结论，可知$\frac{c}{a+b}＜\frac{2c}{a+b+c}$，$\frac{a}{b+c}＜\frac{2a}{a+b+c}$，$\frac{b}{a+c}＜\frac{2b}{a+b+c}$，
三式相加，得
$ \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}＜\frac{2c}{a+b+c}+\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$，$\therefore \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}＜2$。