18.(9分)如图16,AD是一段斜坡,AB是水平线.现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度,欢欢在D处立上一竹竿CD,并保证$CD⊥AD$,然后在竿顶C处垂下一根绳CE,与斜坡的交点为点E,他调整好绳子CE的长度,使得$CE=AD$,此时他测得$DE=2\ \mathrm{m}$,求DB的长度.

解：
∵ DB⊥AB，CE是竖直下垂线，AB为水平线，
∴ CE⊥AB，DB⊥AB，
∴ CE//DB，
∴ ∠CED = ∠ADB。
∵ CD⊥AD，
∴ ∠CDE = 90° = ∠ABD。
在△ABD和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABD = ∠CDE \\∠ADB = ∠CED \\AD = CE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CDE（AAS），
∴ DB = DE。
∵ DE = 2 m，
∴ DB = 2 m。
答：DB的长度为2 m。

【分析】
要计算DB的长度，已知DE=2m，可通过证明DB与DE所在的三角形全等，将两条线段建立等量关系。首先根据CE、DB均垂直于水平线AB，可推出CE//DB，得到一组内错角相等；再结合CD⊥AD、DB⊥AB的条件得到两组相等的直角，结合已知CE=AD，即可用AAS判定△ABD和△CDE全等，最后根据全等三角形对应边相等得到DB=DE，即可求出DB的长度。
【解析】
∵ DB⊥AB，CE是竖直下垂线，AB为水平线，
∴ CE⊥AB，DB⊥AB，
∴ CE//DB，
∴ ∠CED = ∠ADB。
∵ CD⊥AD，
∴ ∠CDE = 90° = ∠ABD。
在△ABD和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABD = ∠CDE \\∠ADB = ∠CED \\AD = CE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CDE（AAS），
∴ DB = DE。
∵ DE = 2 m，
∴ DB = 2 m。
【答案】
$\boldsymbol{2\ \mathrm{m}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题的关键是结合垂直、平行的性质推导全等所需的角相等条件，将未知线段转化为已知长度的线段求解，侧重对基础定理的理解与应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

19.(9分)(2024·南充)如图17,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE//AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA;
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.

证明：
(1) ∵ 点D为BC边的中点，
∴ BD = CD。
∵ BE//AC，
∴ ∠EBD = ∠ACD。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}∠EBD = ∠ACD \\BD = CD \\∠BDE = ∠CDA\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（ASA）。
(2) ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠EDB = 90°。
由(1)中△BDE ≌ △CDA，可得 DE = DA。
在△ADB和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}AD = ED \\∠ADB = ∠EDB \\BD = BD\end{array} $
∴ △ADB ≌ △EDB（SAS），
∴ BA = BE。

【分析】
(1) 要证明△BDE≌△CDA，先从已知条件入手：点D是BC中点可得BD=CD；BE//AC可推出一组内错角相等；再结合对顶角相等，刚好满足ASA的全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要证明BA=BE，可通过证明BA、BE所在的△ADB和△EDB全等来推导：已知AD⊥BC可得一组直角相等；由第(1)问的全等结论可推出DE=DA，再加上公共边BD相等，符合SAS的全等判定条件，证得全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 点D为BC边的中点，
∴ BD = CD。
∵ BE//AC，
∴ ∠EBD = ∠ACD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠BDE和∠CDA是对顶角，
∴ ∠BDE = ∠CDA。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}∠EBD = ∠ACD \\BD = CD \\∠BDE = ∠CDA\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（ASA）。
(2) 证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠EDB = 90°。
由(1)的全等结论可得对应边DE = DA。
在△ADB和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}AD = ED \\∠ADB = ∠EDB \\BD = BD（公共边）\end{array} $
∴ △ADB ≌ △EDB（SAS），
∴ 对应边BA = BE。
【答案】
证明：
(1)
∵ 点D为BC边的中点，
∴ BD = CD。
∵ BE//AC，
∴ ∠EBD = ∠ACD。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}∠EBD = ∠ACD \\BD = CD \\∠BDE = ∠CDA\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（ASA）。
(2)
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠EDB = 90°。
由(1)中△BDE ≌ △CDA，可得 DE = DA。
在△ADB和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}AD = ED \\∠ADB = ∠EDB \\BD = BD\end{array} $
∴ △ADB ≌ △EDB（SAS），
∴ BA = BE。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行线的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是三角形章节的基础证明题，解题的关键是结合已知条件梳理全等三角形所需的边角相等关系，前一问的结论可直接作为后一问的已知条件使用，是几何证明的典型考查形式。
【难度系数】
0.8

20. (9分)如图18,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)若△APQ的周长为12,求BC的长；
(2)∠BAC=105°,求∠PAQ的度数.

解：
(1) ∵ MP垂直平分AB，
∴ AP = BP。
∵ NQ垂直平分AC，
∴ AQ = CQ。
∵ △APQ的周长为AP + PQ + AQ = 12，
∴ BP + PQ + CQ = BC = 12。
(2) 由AP = BP，可得∠B = ∠BAP，
由AQ = CQ，可得∠C = ∠CAQ。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∵ ∠BAC = 105°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - 105° = 75°，
即∠BAP + ∠CAQ = ∠B + ∠C = 75°，
∴ ∠PAQ = ∠BAC - (∠BAP + ∠CAQ) = 105° - 75° = 30°。
综上，(1) BC的长为12；(2) ∠PAQ的度数为30°。

【分析】
(1) 看到垂直平分线的条件，首先想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得AP=BP，AQ=CQ。观察△APQ的周长组成是AP+PQ+AQ，将AP替换为BP、AQ替换为CQ后，周长刚好对应BC的长度，代入已知周长数值即可求出BC的长。
(2) 由AP=BP、AQ=CQ，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ。先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B+∠C的度数，即可得到∠BAP+∠CAQ的度数，最后用∠BAC减去这两个角的和，就能算出∠PAQ的度数。
【解析】
(1)
∵ MP垂直平分AB，
∴ AP = BP。
∵ NQ垂直平分AC，
∴ AQ = CQ。
∵ △APQ的周长为AP + PQ + AQ = 12，
∴ 代入等量关系得BP + PQ + CQ = BC = 12。
(2) 由AP=BP，可得∠B = ∠BAP，
由AQ=CQ，可得∠C = ∠CAQ。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∵ ∠BAC = 105°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - 105° = 75°，
即∠BAP + ∠CAQ = ∠B + ∠C = 75°，
∴ ∠PAQ = ∠BAC - (∠BAP + ∠CAQ) = 105° - 75° = 30°。
【答案】
(1) BC的长为12；(2) ∠PAQ的度数为30°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质完成线段和角的等量转化，结合三角形内角和定理即可顺利求解，掌握相关核心性质就能快速作答。
【难度系数】
0.7