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14. 如图12,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,以顶点$C$为圆心、适当长为半径画弧,分别交$AC$、$BC$于点$E$、$F$,再分别以点$E$、$F$为圆心,以大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,两弧交于点$P$,作射线$CP$交$AB$于点$D$.若$BD=4$,$AC=16$,则$△ ACD$的面积是.
答案
$\boldsymbol{32}$
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出射线CP是∠ACB的角平分线，即CD为∠ACB的平分线；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠B=90°，BD⊥BC，因此点D到AC边的距离等于BD的长度，这个距离就是△ACD中AC边上的高；最后代入三角形面积公式即可求出△ACD的面积。
【解析】
解：由尺规作图的操作步骤可知，CD平分∠ACB。
过点D作$DH⊥AC$，垂足为H。
∵$∠B=90°$，
∴$DB⊥BC$。
又
∵CD平分∠ACB，$DH⊥AC$，$DB⊥BC$，
根据角平分线的性质，得$DH=BD=4$。
已知$AC=16$，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DH=\frac{1}{2}×16×4=32$。
【答案】
$\boldsymbol{32}$
【知识点】
角平分线的尺规作图，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是先准确识别尺规作图的类型，再灵活运用角平分线的性质得到三角形的高，进而计算面积，是角平分线相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出射线CP是∠ACB的角平分线，即CD为∠ACB的平分线；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠B=90°，BD⊥BC，因此点D到AC边的距离等于BD的长度，这个距离就是△ACD中AC边上的高；最后代入三角形面积公式即可求出△ACD的面积。
【解析】
解：由尺规作图的操作步骤可知，CD平分∠ACB。
过点D作$DH⊥AC$，垂足为H。
∵$∠B=90°$，
∴$DB⊥BC$。
又
∵CD平分∠ACB，$DH⊥AC$，$DB⊥BC$，
根据角平分线的性质，得$DH=BD=4$。
已知$AC=16$，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DH=\frac{1}{2}×16×4=32$。
【答案】
$\boldsymbol{32}$
【知识点】
角平分线的尺规作图，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是先准确识别尺规作图的类型，再灵活运用角平分线的性质得到三角形的高，进而计算面积，是角平分线相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
15. 如图13,已知四边形ABCD中,AB=10 cm,BC=8 cm,CD=12 cm,∠B=∠C,E为AB的中点.如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动,当点Q的运动速度为cm/s时,能够使△BEP与△CPQ全等.
答案
解：
∵ E为AB中点，AB=10 cm，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AB = 5 cm。
设点P、Q的运动时间为$t$ s，点Q的运动速度为$v$ cm/s，
则 $BP = 2t$ cm，$PC = BC - BP = (8 - 2t)$ cm，$CQ = vt$ cm。
已知$∠ B = ∠ C$，分两种全等对应情况讨论：
① 当$△ BEP ≌ △ CPQ$时，对应边满足 $BE = CP$，$BP = CQ$，
即 $5 = 8 - 2t$，$2t = vt$，
由$5 = 8 - 2t$解得 $t = 1.5$，
将$t=1.5$代入$2t = vt$，得$v = 2$；
② 当$△ BEP ≌ △ CQP$时，对应边满足 $BE = CQ$，$BP = CP$，
即 $2t = 8 - 2t$，$5 = vt$，
由$2t = 8 - 2t$解得 $t = 2$，
将$t=2$代入$5 = vt$，得$v = 2.5$。
综上，点Q的运动速度为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{2.5}$ cm/s时，能够使$△ BEP$与$△ CPQ$全等。
∵ E为AB中点，AB=10 cm，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AB = 5 cm。
设点P、Q的运动时间为$t$ s，点Q的运动速度为$v$ cm/s，
则 $BP = 2t$ cm，$PC = BC - BP = (8 - 2t)$ cm，$CQ = vt$ cm。
已知$∠ B = ∠ C$，分两种全等对应情况讨论：
① 当$△ BEP ≌ △ CPQ$时，对应边满足 $BE = CP$，$BP = CQ$，
即 $5 = 8 - 2t$，$2t = vt$，
由$5 = 8 - 2t$解得 $t = 1.5$，
将$t=1.5$代入$2t = vt$，得$v = 2$；
② 当$△ BEP ≌ △ CQP$时，对应边满足 $BE = CQ$，$BP = CP$，
即 $2t = 8 - 2t$，$5 = vt$，
由$2t = 8 - 2t$解得 $t = 2$，
将$t=2$代入$5 = vt$，得$v = 2.5$。
综上，点Q的运动速度为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{2.5}$ cm/s时，能够使$△ BEP$与$△ CPQ$全等。
解析
【分析】
本题是动点与全等三角形结合的题型，已知∠B=∠C，要使△BEP与△CPQ全等，可结合SAS的全等判定条件分两种对应情况讨论。首先根据中点定义求出BE的长度，再设运动时间为t、点Q的速度为v，用含t和v的式子表示出BP、PC、CQ的长度，最后分别根据两种全等的对应边关系列方程求解即可。
【解析】
解：
∵ E为AB中点，AB=10 cm，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AB = 5 cm。
设点P、Q的运动时间为$t$ s，点Q的运动速度为$v$ cm/s，
则 $BP = 2t$ cm，$PC = BC - BP = (8 - 2t)$ cm，$CQ = vt$ cm。
已知$∠ B = ∠ C$，分两种全等对应情况讨论：
① 当$△ BEP ≌ △ CPQ$时，对应边满足 $BE = CP$，$BP = CQ$，
即 $5 = 8 - 2t$，$2t = vt$，
由$5 = 8 - 2t$解得 $t = 1.5$，
将$t=1.5$代入$2t = vt$，得$v = 2$；
② 当$△ BEP ≌ △ CQP$时，对应边满足 $BE = CQ$，$BP = CP$，
即 $2t = 8 - 2t$，$5 = vt$，
由$2t = 8 - 2t$解得 $t = 2$，
将$t=2$代入$5 = vt$，得$v = 2.5$。
【答案】
2或2.5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，动点问题处理，分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型题型，解题的易错点是容易遗漏全等的对应边组合，需要结合已知等角，按照SAS判定的两种边对应关系分类讨论，能有效锻炼分类讨论的逻辑思维。
【难度系数】
0.6
本题是动点与全等三角形结合的题型，已知∠B=∠C，要使△BEP与△CPQ全等，可结合SAS的全等判定条件分两种对应情况讨论。首先根据中点定义求出BE的长度，再设运动时间为t、点Q的速度为v，用含t和v的式子表示出BP、PC、CQ的长度，最后分别根据两种全等的对应边关系列方程求解即可。
【解析】
解：
∵ E为AB中点，AB=10 cm，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AB = 5 cm。
设点P、Q的运动时间为$t$ s，点Q的运动速度为$v$ cm/s，
则 $BP = 2t$ cm，$PC = BC - BP = (8 - 2t)$ cm，$CQ = vt$ cm。
已知$∠ B = ∠ C$，分两种全等对应情况讨论：
① 当$△ BEP ≌ △ CPQ$时，对应边满足 $BE = CP$，$BP = CQ$，
即 $5 = 8 - 2t$，$2t = vt$，
由$5 = 8 - 2t$解得 $t = 1.5$，
将$t=1.5$代入$2t = vt$，得$v = 2$；
② 当$△ BEP ≌ △ CQP$时，对应边满足 $BE = CQ$，$BP = CP$，
即 $2t = 8 - 2t$，$5 = vt$，
由$2t = 8 - 2t$解得 $t = 2$，
将$t=2$代入$5 = vt$，得$v = 2.5$。
【答案】
2或2.5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，动点问题处理，分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型题型，解题的易错点是容易遗漏全等的对应边组合，需要结合已知等角，按照SAS判定的两种边对应关系分类讨论，能有效锻炼分类讨论的逻辑思维。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共75分)
16.(8分)如图14,点E、F分别在AB、AD的延长线上,∠CBE=∠CDF,∠ACB=∠ACD. 求证:AB=AD.
16.(8分)如图14,点E、F分别在AB、AD的延长线上,∠CBE=∠CDF,∠ACB=∠ACD. 求证:AB=AD.
答案
证明：
∵ ∠ABC + ∠CBE = 180°，∠ADC + ∠CDF = 180°，∠CBE = ∠CDF，
∴ ∠ABC = ∠ADC。
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}∠ABC = ∠ADC \\∠ACB = ∠ACD \\AC = AC\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADC（AAS），
∴ AB = AD。
∵ ∠ABC + ∠CBE = 180°，∠ADC + ∠CDF = 180°，∠CBE = ∠CDF，
∴ ∠ABC = ∠ADC。
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}∠ABC = ∠ADC \\∠ACB = ∠ACD \\AC = AC\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADC（AAS），
∴ AB = AD。
解析
【分析】
要证明AB=AD，可通过证明AB、AD所在的△ABC与△ADC全等来推导。首先梳理已知条件：已知∠ACB=∠ACD，且AC是两个三角形的公共边，还缺少一组角相等的判定条件。结合给出的∠CBE=∠CDF，利用邻补角的性质可推出∠ABC=∠ADC，刚好满足AAS全等判定的三个条件，证明三角形全等后即可根据全等三角形对应边相等得到AB=AD。
【解析】
证明：
∵ ∠ABC + ∠CBE = 180°，∠ADC + ∠CDF = 180°，∠CBE = ∠CDF，
∴ ∠ABC = ∠ADC。
在△ABC和△ADC中，
$\begin{cases}∠ABC = ∠ADC \\∠ACB = ∠ACD \\AC = AC\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △ADC（AAS），
∴ AB = AD。
【答案】
AB=AD
【知识点】
邻补角的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过等角的补角相等得到所需的角相等条件，结合公共边构造全等三角形，考查对全等三角形判定及性质的基础掌握程度。
【难度系数】
0.85
要证明AB=AD，可通过证明AB、AD所在的△ABC与△ADC全等来推导。首先梳理已知条件：已知∠ACB=∠ACD，且AC是两个三角形的公共边，还缺少一组角相等的判定条件。结合给出的∠CBE=∠CDF，利用邻补角的性质可推出∠ABC=∠ADC，刚好满足AAS全等判定的三个条件，证明三角形全等后即可根据全等三角形对应边相等得到AB=AD。
【解析】
证明：
∵ ∠ABC + ∠CBE = 180°，∠ADC + ∠CDF = 180°，∠CBE = ∠CDF，
∴ ∠ABC = ∠ADC。
在△ABC和△ADC中，
$\begin{cases}∠ABC = ∠ADC \\∠ACB = ∠ACD \\AC = AC\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △ADC（AAS），
∴ AB = AD。
【答案】
AB=AD
【知识点】
邻补角的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过等角的补角相等得到所需的角相等条件，结合公共边构造全等三角形，考查对全等三角形判定及性质的基础掌握程度。
【难度系数】
0.85
17.(9分)(2024·陕西)如图15,已知直线$l$和$l$外一点$A$,请用尺规作图法,求作一个等腰直角$△ ABC$,使得顶点$B$和顶点$C$都在直线$l$上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
答案
解：
如图，△ABC即为所求。
作图痕迹保留要求：
1. 保留过点A作直线l的垂线的尺规作图相关弧痕，设垂足为D；
2. 保留在直线l上点D的两侧分别截取DB=DC=AD的对应弧痕，得到点B、C；
3. 保留连接AB、AC的线段，所得△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，顶点B、C均在直线l上，符合等腰直角三角形的要求。
如图，△ABC即为所求。
作图痕迹保留要求：
1. 保留过点A作直线l的垂线的尺规作图相关弧痕，设垂足为D；
2. 保留在直线l上点D的两侧分别截取DB=DC=AD的对应弧痕，得到点B、C；
3. 保留连接AB、AC的线段，所得△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，顶点B、C均在直线l上，符合等腰直角三角形的要求。
解析
【分析】
首先明确作图要求：需构造等腰直角△ABC，且顶点B、C都在直线l上。我们选择以点A为直角顶点的情况进行构造：第一步先过点A作直线l的垂线，得到垂足D，此时AD与直线l垂直；第二步要满足等腰直角的条件，只需在直线l上点D的两侧分别截取DB、DC的长度都等于AD，即可推出AB=AC，且∠BAC=90°，符合等腰直角三角形的要求；第三步连接AB、AC即可完成作图。
【解析】
作图保留对应痕迹即可，无需写作法，作图逻辑如下：
1. 用尺规过点A作直线l的垂线，垂足记为D，保留作垂线的相关弧痕；
2. 以D为圆心、AD的长度为半径画弧，与直线l交于D两侧的两点B、C，保留截取等长线段的弧痕，此时DB=DC=AD；
3. 连接AB、AC，所得△AB=AC，∠BAC=90°，且B、C均在直线l上，符合要求。
【答案】
如图，△ABC即为所求（需保留过A作l的垂线的弧痕、截取DB=DC=AD的弧痕、连接AB和AC的线段）。
【知识点】
作已知直线的垂线；截取等长线段；等腰直角三角形判定
【点评】
本题属于尺规作图的基础综合题型，考查对尺规基本作图方法的掌握，以及结合几何图形性质设计作图方案的能力，明确待构造的等腰直角三角形的直角顶点位置是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先明确作图要求：需构造等腰直角△ABC，且顶点B、C都在直线l上。我们选择以点A为直角顶点的情况进行构造：第一步先过点A作直线l的垂线，得到垂足D，此时AD与直线l垂直；第二步要满足等腰直角的条件，只需在直线l上点D的两侧分别截取DB、DC的长度都等于AD，即可推出AB=AC，且∠BAC=90°，符合等腰直角三角形的要求；第三步连接AB、AC即可完成作图。
【解析】
作图保留对应痕迹即可，无需写作法，作图逻辑如下：
1. 用尺规过点A作直线l的垂线，垂足记为D，保留作垂线的相关弧痕；
2. 以D为圆心、AD的长度为半径画弧，与直线l交于D两侧的两点B、C，保留截取等长线段的弧痕，此时DB=DC=AD；
3. 连接AB、AC，所得△AB=AC，∠BAC=90°，且B、C均在直线l上，符合要求。
【答案】
如图，△ABC即为所求（需保留过A作l的垂线的弧痕、截取DB=DC=AD的弧痕、连接AB和AC的线段）。
【知识点】
作已知直线的垂线；截取等长线段；等腰直角三角形判定
【点评】
本题属于尺规作图的基础综合题型，考查对尺规基本作图方法的掌握，以及结合几何图形性质设计作图方案的能力，明确待构造的等腰直角三角形的直角顶点位置是解题的关键。
【难度系数】
0.7
