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21.(10分)(2024·青岛)已知:如图19,四边形ABCD,E为DC边上一点.
作图:四边形内一点P,使EP//BC,且点P到AB、AD的距离相等.
作图:四边形内一点P,使EP//BC,且点P到AB、AD的距离相等.
答案
解：
作法如下：
1. 作∠BAD的角平分线：
以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AD于点N；再分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠BAD的内部交于点O，作射线AO。
2. 过点E作平行于BC的直线：
以点E为顶点，EC为一边，在四边形内部作∠PE C = ∠C，该角的另一边EP交射线AO于点P。
点P即为符合要求的点，按上述步骤保留所有尺规作图痕迹即可。
作法如下：
1. 作∠BAD的角平分线：
以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AD于点N；再分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠BAD的内部交于点O，作射线AO。
2. 过点E作平行于BC的直线：
以点E为顶点，EC为一边，在四边形内部作∠PE C = ∠C，该角的另一边EP交射线AO于点P。
点P即为符合要求的点，按上述步骤保留所有尺规作图痕迹即可。
解析
【分析】
要找到符合要求的点P，可将题目的两个条件分别转化为对应的几何轨迹：首先，点P到AB、AD的距离相等，根据角平分线的性质，可知点P一定在∠BAD的角平分线上；其次，EP//BC，可通过“同位角相等，两直线平行”的原理，过点E作出BC的平行线。两条轨迹的交点就同时满足两个条件，即为所求的点P。
【解析】
1. 作∠BAD的角平分线：
以点A为圆心，选取适当长度为半径画弧，分别与AB交于点M，与AD交于点N；再分别以点M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠BAD的内部交于点O，作射线AO。
2. 过点E作平行于BC的直线：
以点E为顶点，EC为一边，在四边形内部作∠PEC=∠C，该角的另一边为EP，EP与射线AO的交点即为点P。
保留所有尺规作图痕迹即可。
【答案】
作法如下：
1. 作∠BAD的角平分线：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AD于点N；再分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠BAD的内部交于点O，作射线AO。
2. 过点E作平行于BC的直线：以点E为顶点，EC为一边，在四边形内部作∠PEC = ∠C，该角的另一边EP交射线AO于点P。
点P即为符合要求的点，保留所有尺规作图痕迹。
【知识点】
角平分线的性质，平行线的判定，尺规作图
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，解题核心是将题设条件转化为对应的几何作图轨迹，通过找两条轨迹的交点确定所求点，重点考查学生对基础作图方法的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要找到符合要求的点P，可将题目的两个条件分别转化为对应的几何轨迹：首先，点P到AB、AD的距离相等，根据角平分线的性质，可知点P一定在∠BAD的角平分线上；其次，EP//BC，可通过“同位角相等，两直线平行”的原理，过点E作出BC的平行线。两条轨迹的交点就同时满足两个条件，即为所求的点P。
【解析】
1. 作∠BAD的角平分线：
以点A为圆心，选取适当长度为半径画弧，分别与AB交于点M，与AD交于点N；再分别以点M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠BAD的内部交于点O，作射线AO。
2. 过点E作平行于BC的直线：
以点E为顶点，EC为一边，在四边形内部作∠PEC=∠C，该角的另一边为EP，EP与射线AO的交点即为点P。
保留所有尺规作图痕迹即可。
【答案】
作法如下：
1. 作∠BAD的角平分线：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AD于点N；再分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠BAD的内部交于点O，作射线AO。
2. 过点E作平行于BC的直线：以点E为顶点，EC为一边，在四边形内部作∠PEC = ∠C，该角的另一边EP交射线AO于点P。
点P即为符合要求的点，保留所有尺规作图痕迹。
【知识点】
角平分线的性质，平行线的判定，尺规作图
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，解题核心是将题设条件转化为对应的几何作图轨迹，通过找两条轨迹的交点确定所求点，重点考查学生对基础作图方法的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
22. (10分)如图20①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且B、C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.
(1)求证:BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕点A旋转到图20②位置时(BD＜CE),其他条件不变,BD与DE、CE的关系如何?请予以证明.
(3)若直线AE绕点A旋转到图20③位置时(BD＞CE),其他条件不变,BD与DE、CE的关系怎样?请直接写出结果,不需要证明.
23. (11分)项目化学习
【项目主题】探究:“如果两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等,那么这两个三角形全等吗?”
【项目内容】学习了探索三角形全等的条件后,同学们知道了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”).数学兴趣小组在此学习的过程中对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等时,两个三角形是否一定全等”展开了进一步思考和探究.
【项目任务】
任务一:我们不妨将问题用符号语言表示为“在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E”,然后,对∠B进行分类,可分为∠B是、、三种情况进行探究.
任务二:当∠B是直角时,如图21,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
任务三:当∠B是锐角时,如图22是小爱同学的画图过程,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,你认为△ABC和△DEF(填“一定”或“不一定”)全等.
当△ABC≌△DEF时,AC的取值范围是.
任务四:如图23,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:△ABC≌△DEF.
(1)求证:BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕点A旋转到图20②位置时(BD＜CE),其他条件不变,BD与DE、CE的关系如何?请予以证明.
(3)若直线AE绕点A旋转到图20③位置时(BD＞CE),其他条件不变,BD与DE、CE的关系怎样?请直接写出结果,不需要证明.
23. (11分)项目化学习
【项目主题】探究:“如果两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等,那么这两个三角形全等吗?”
【项目内容】学习了探索三角形全等的条件后,同学们知道了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”).数学兴趣小组在此学习的过程中对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等时,两个三角形是否一定全等”展开了进一步思考和探究.
【项目任务】
任务一:我们不妨将问题用符号语言表示为“在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E”,然后,对∠B进行分类,可分为∠B是、、三种情况进行探究.
任务二:当∠B是直角时,如图21,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
任务三:当∠B是锐角时,如图22是小爱同学的画图过程,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,你认为△ABC和△DEF(填“一定”或“不一定”)全等.
当△ABC≌△DEF时,AC的取值范围是.
任务四:如图23,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:△ABC≌△DEF.
答案
22. 解答
(1) 证明：
∵ ∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB=∠CEA=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，∠ACE + ∠CAE = 90°，
∴ ∠BAD = ∠ACE。
在△BAD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠BAD = ∠ACE \\AB = AC\end{array} $
∴ △BAD ≌ △ACE（AAS）。
∴ BD = AE，AD = CE。
又∵ AE = AD + DE，
∴ AE = CE + DE，
∴ BD = DE + CE。
(2) 解：BD = DE - CE，证明如下：
∵ ∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB=∠CEA=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）。
∴ BD = AE，AD = CE。
又∵ DE = AD + AE，
∴ AE = DE - AD = DE - CE，
∴ BD = DE - CE。
(3) 结果： $BD = DE - CE$
---
23. 解答
任务一：锐角、直角、钝角
任务二：HL（斜边直角边定理）
任务三：不一定；$\boldsymbol{AC≥4\mathrm{cm}}$
任务四：证明：
分别过点C、F作CG⊥AB交AB的延长线于点G，FH⊥DE交DE的延长线于点H。
∵ ∠ABC=∠DEF，且均为钝角，
∴ $180° - ∠ABC = 180° - ∠DEF$，即∠CBG=∠FEH。
在△CBG和△FEH中：
$\{\begin{array}{l}∠G = ∠FHE = 90° \\∠CBG = ∠FEH \\BC = EF\end{array} $
∴ △CBG ≌ △FEH（AAS）。
∴ CG = FH，BG = EH。
在Rt△ACG和Rt△DFH中：
$\{\begin{array}{l}AC = DF \\CG = FH\end{array} $
∴ Rt△ACG ≌ Rt△DFH（HL）。
∴ AG = DH。
∴ $AG - BG = DH - EH$，即AB = DE。
在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\∠B = ∠E \\BC = EF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。
(1) 证明：
∵ ∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB=∠CEA=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，∠ACE + ∠CAE = 90°，
∴ ∠BAD = ∠ACE。
在△BAD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠BAD = ∠ACE \\AB = AC\end{array} $
∴ △BAD ≌ △ACE（AAS）。
∴ BD = AE，AD = CE。
又∵ AE = AD + DE，
∴ AE = CE + DE，
∴ BD = DE + CE。
(2) 解：BD = DE - CE，证明如下：
∵ ∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB=∠CEA=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）。
∴ BD = AE，AD = CE。
又∵ DE = AD + AE，
∴ AE = DE - AD = DE - CE，
∴ BD = DE - CE。
(3) 结果： $BD = DE - CE$
---
23. 解答
任务一：锐角、直角、钝角
任务二：HL（斜边直角边定理）
任务三：不一定；$\boldsymbol{AC≥4\mathrm{cm}}$
任务四：证明：
分别过点C、F作CG⊥AB交AB的延长线于点G，FH⊥DE交DE的延长线于点H。
∵ ∠ABC=∠DEF，且均为钝角，
∴ $180° - ∠ABC = 180° - ∠DEF$，即∠CBG=∠FEH。
在△CBG和△FEH中：
$\{\begin{array}{l}∠G = ∠FHE = 90° \\∠CBG = ∠FEH \\BC = EF\end{array} $
∴ △CBG ≌ △FEH（AAS）。
∴ CG = FH，BG = EH。
在Rt△ACG和Rt△DFH中：
$\{\begin{array}{l}AC = DF \\CG = FH\end{array} $
∴ Rt△ACG ≌ Rt△DFH（HL）。
∴ AG = DH。
∴ $AG - BG = DH - EH$，即AB = DE。
在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\∠B = ∠E \\BC = EF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。
解析
【分析】
本题包含两道几何题，分别考查全等三角形的应用与全等判定条件的探究：
1. 第22题是等腰直角三角形背景下的动态线段关系证明题：三小问均围绕全等三角形判定展开，解题核心是利用“同角的余角相等”推导角相等，结合已知的垂直、AB=AC的条件，用AAS证明三角形全等，再根据线段的和差关系推导BD、DE、CE的数量关系，图形旋转时只需调整线段和差的对应关系即可。
2. 第23题是“SSA能否判定三角形全等”的探究题：按照角的分类（锐角、直角、钝角）分情况讨论，直角时可直接用HL判定全等；锐角时SSA不一定成立，只有当对边足够长时才能保证三角形唯一；钝角时通过作高构造全等直角三角形，逐步推导边相等，最终用SAS证明原三角形全等。
【解析】
22题解析
(1) 证明：
∵ ∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB=∠CEA=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，∠ACE + ∠CAE = 90°，
∴ ∠BAD = ∠ACE。
在△BAD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠BAD = ∠ACE \\AB = AC\end{array} $
∴ △BAD ≌ △ACE（AAS）。
∴ BD = AE，AD = CE。
又
∵ AE = AD + DE，
∴ AE = CE + DE，
∴ BD = DE + CE。
(2) 解：BD = DE - CE，证明如下：
∵ ∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB=∠CEA=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）。
∴ BD = AE，AD = CE。
又
∵ DE = AD + AE，
∴ AE = DE - AD = DE - CE，
∴ BD = DE - CE。
(3) 结合(2)的推导逻辑，可得线段关系。
---
23题解析
任务一：角按大小可分为锐角、直角、钝角三类，因此对∠B按这三类分类探究。
任务二：当∠B是直角时，两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，根据HL（斜边直角边定理）可判定全等。
任务三：当∠B是锐角时，满足两边及其中一边对角相等的三角形可以画出两种不同的形状，因此全等不一定成立；当AC的长度大于等于BC在AB边上的高时，三角形形状唯一，此时可判定全等，对应取值范围为$AC≥4\mathrm{cm}$。
任务四：证明：
分别过点C、F作CG⊥AB交AB的延长线于点G，FH⊥DE交DE的延长线于点H。
∵ ∠ABC=∠DEF，且均为钝角，
∴ $180° - ∠ABC = 180° - ∠DEF$，即∠CBG=∠FEH。
在△CBG和△FEH中：
$\{\begin{array}{l}∠G = ∠FHE = 90° \\∠CBG = ∠FEH \\BC = EF\end{array} $
∴ △CBG ≌ △FEH（AAS）。
∴ CG = FH，BG = EH。
在Rt△ACG和Rt△DFH中：
$\{\begin{array}{l}AC = DF \\CG = FH\end{array} $
∴ Rt△ACG ≌ Rt△DFH（HL）。
∴ AG = DH。
∴ $AG - BG = DH - EH$，即AB = DE。
在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\∠B = ∠E \\BC = EF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。
【答案】
22题答案
(1) $BD=DE+CE$，证明见解析；
(2) $BD=DE-CE$，证明见解析；
(3) $BD=DE-CE$。
---
23题答案
任务一：锐角、直角、钝角；
任务二：HL（斜边直角边定理）；
任务三：不一定；$AC≥4\mathrm{cm}$；
任务四：△ABC≌△DEF，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
两道题均围绕三角形全等的核心知识点展开，第22题通过动态旋转考查学生对图形变与不变的逻辑分析能力，巩固了线段和差的推导方法；第23题通过探究性学习，让学生深刻理解三角形全等判定的适用条件，锻炼了分类讨论思维和构造辅助线解决问题的能力，题目梯度设置合理，兼顾基础考查与能力提升。
【难度系数】
0.65
本题包含两道几何题，分别考查全等三角形的应用与全等判定条件的探究：
1. 第22题是等腰直角三角形背景下的动态线段关系证明题：三小问均围绕全等三角形判定展开，解题核心是利用“同角的余角相等”推导角相等，结合已知的垂直、AB=AC的条件，用AAS证明三角形全等，再根据线段的和差关系推导BD、DE、CE的数量关系，图形旋转时只需调整线段和差的对应关系即可。
2. 第23题是“SSA能否判定三角形全等”的探究题：按照角的分类（锐角、直角、钝角）分情况讨论，直角时可直接用HL判定全等；锐角时SSA不一定成立，只有当对边足够长时才能保证三角形唯一；钝角时通过作高构造全等直角三角形，逐步推导边相等，最终用SAS证明原三角形全等。
【解析】
22题解析
(1) 证明：
∵ ∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB=∠CEA=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，∠ACE + ∠CAE = 90°，
∴ ∠BAD = ∠ACE。
在△BAD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠BAD = ∠ACE \\AB = AC\end{array} $
∴ △BAD ≌ △ACE（AAS）。
∴ BD = AE，AD = CE。
又
∵ AE = AD + DE，
∴ AE = CE + DE，
∴ BD = DE + CE。
(2) 解：BD = DE - CE，证明如下：
∵ ∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB=∠CEA=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）。
∴ BD = AE，AD = CE。
又
∵ DE = AD + AE，
∴ AE = DE - AD = DE - CE，
∴ BD = DE - CE。
(3) 结合(2)的推导逻辑，可得线段关系。
---
23题解析
任务一：角按大小可分为锐角、直角、钝角三类，因此对∠B按这三类分类探究。
任务二：当∠B是直角时，两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，根据HL（斜边直角边定理）可判定全等。
任务三：当∠B是锐角时，满足两边及其中一边对角相等的三角形可以画出两种不同的形状，因此全等不一定成立；当AC的长度大于等于BC在AB边上的高时，三角形形状唯一，此时可判定全等，对应取值范围为$AC≥4\mathrm{cm}$。
任务四：证明：
分别过点C、F作CG⊥AB交AB的延长线于点G，FH⊥DE交DE的延长线于点H。
∵ ∠ABC=∠DEF，且均为钝角，
∴ $180° - ∠ABC = 180° - ∠DEF$，即∠CBG=∠FEH。
在△CBG和△FEH中：
$\{\begin{array}{l}∠G = ∠FHE = 90° \\∠CBG = ∠FEH \\BC = EF\end{array} $
∴ △CBG ≌ △FEH（AAS）。
∴ CG = FH，BG = EH。
在Rt△ACG和Rt△DFH中：
$\{\begin{array}{l}AC = DF \\CG = FH\end{array} $
∴ Rt△ACG ≌ Rt△DFH（HL）。
∴ AG = DH。
∴ $AG - BG = DH - EH$，即AB = DE。
在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\∠B = ∠E \\BC = EF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。
【答案】
22题答案
(1) $BD=DE+CE$，证明见解析；
(2) $BD=DE-CE$，证明见解析；
(3) $BD=DE-CE$。
---
23题答案
任务一：锐角、直角、钝角；
任务二：HL（斜边直角边定理）；
任务三：不一定；$AC≥4\mathrm{cm}$；
任务四：△ABC≌△DEF，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
两道题均围绕三角形全等的核心知识点展开，第22题通过动态旋转考查学生对图形变与不变的逻辑分析能力，巩固了线段和差的推导方法；第23题通过探究性学习，让学生深刻理解三角形全等判定的适用条件，锻炼了分类讨论思维和构造辅助线解决问题的能力，题目梯度设置合理，兼顾基础考查与能力提升。
【难度系数】
0.65
