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6.用一个平面截以下几何体:①圆锥;②五棱柱;③圆柱;④三棱锥;⑤球.其中能得到截面是圆的几何体是
①③⑤
(填序号).答案
6. ①③⑤
解析
【分析】
解题时我们可以逐个分析每个几何体被平面截取时可能得到的截面形状：首先明确全由平面围成的多面体（如棱柱、棱锥），截面只能是由直线构成的多边形，不可能出现带曲线的圆；再分析含曲面的几何体，判断是否存在平面截取后得到圆的情况，最终筛选出符合要求的几何体。
【解析】
我们对5个几何体逐一分析：
①圆锥：当截取平面与圆锥的底面平行时，得到的截面是圆，符合要求；
②五棱柱：属于全由平面围成的多面体，截面只能是三角形、四边形、五边形等多边形，无法得到圆，不符合要求；
③圆柱：当截取平面与圆柱的上下底面平行时，得到的截面是圆，符合要求；
④三棱锥：属于全由平面围成的多面体，截面只能是三角形或四边形，无法得到圆，不符合要求；
⑤球：无论用任意平面截取球体，得到的截面都是圆，符合要求。
综上，能得到截面是圆的几何体是①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
截一个几何体；截面形状判断；常见几何体特征
【点评】
本题考查不同几何体截面形状的判断，解题关键是结合几何体的结构特征分析，注意多面体的截面仅为多边形，含曲面的几何体才有可能截出带曲线的图形。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以逐个分析每个几何体被平面截取时可能得到的截面形状：首先明确全由平面围成的多面体（如棱柱、棱锥），截面只能是由直线构成的多边形，不可能出现带曲线的圆；再分析含曲面的几何体，判断是否存在平面截取后得到圆的情况，最终筛选出符合要求的几何体。
【解析】
我们对5个几何体逐一分析：
①圆锥：当截取平面与圆锥的底面平行时，得到的截面是圆，符合要求；
②五棱柱：属于全由平面围成的多面体，截面只能是三角形、四边形、五边形等多边形，无法得到圆，不符合要求；
③圆柱：当截取平面与圆柱的上下底面平行时，得到的截面是圆，符合要求；
④三棱锥：属于全由平面围成的多面体，截面只能是三角形或四边形，无法得到圆，不符合要求；
⑤球：无论用任意平面截取球体，得到的截面都是圆，符合要求。
综上，能得到截面是圆的几何体是①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
截一个几何体；截面形状判断；常见几何体特征
【点评】
本题考查不同几何体截面形状的判断，解题关键是结合几何体的结构特征分析，注意多面体的截面仅为多边形，含曲面的几何体才有可能截出带曲线的图形。
【难度系数】
0.8
7.在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲、乙两人在摸后各说出了它的一个特征。
甲:它有曲的面。
乙:它有顶点。
则该几何体模型可能是(
A.球
B.三棱锥
C.圆锥
D.圆柱
甲:它有曲的面。
乙:它有顶点。
则该几何体模型可能是(
C
).A.球
B.三棱锥
C.圆锥
D.圆柱
答案
7. C
解析
【分析】
这道题需要结合甲、乙两人描述的几何体特征，匹配对应的几何体。解题时先回忆每个选项中几何体的面的属性（平面/曲面）、是否存在顶点，再逐一对照两个条件，同时满足两个要求的就是正确答案，可通过排除法快速缩小范围。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 球：仅由1个曲面构成，满足“有曲的面”的特征，但球没有顶点，不满足乙的描述，排除；
B. 三棱锥：所有面都是平面，不存在曲面，不满足甲的描述，排除；
C. 圆锥：侧面是曲面，符合甲“有曲的面”的描述，同时圆锥有1个顶点，符合乙的描述，两个条件均满足；
D. 圆柱：侧面是曲面，符合甲的描述，但圆柱没有顶点，不满足乙的描述，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
常见几何体的特征；点线面体的概念
【点评】
本题属于基础的几何体辨识题，核心考查对常见基础几何体面、顶点等属性的掌握，只要熟记各类几何体的基本特点，用排除法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
这道题需要结合甲、乙两人描述的几何体特征，匹配对应的几何体。解题时先回忆每个选项中几何体的面的属性（平面/曲面）、是否存在顶点，再逐一对照两个条件，同时满足两个要求的就是正确答案，可通过排除法快速缩小范围。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 球：仅由1个曲面构成，满足“有曲的面”的特征，但球没有顶点，不满足乙的描述，排除；
B. 三棱锥：所有面都是平面，不存在曲面，不满足甲的描述，排除；
C. 圆锥：侧面是曲面，符合甲“有曲的面”的描述，同时圆锥有1个顶点，符合乙的描述，两个条件均满足；
D. 圆柱：侧面是曲面，符合甲的描述，但圆柱没有顶点，不满足乙的描述，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
常见几何体的特征；点线面体的概念
【点评】
本题属于基础的几何体辨识题，核心考查对常见基础几何体面、顶点等属性的掌握，只要熟记各类几何体的基本特点，用排除法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8.小明用橡皮做了一个长方体，若用一把小刀去切该长方体，截面的形状不可能是(
A.圆
B.五边形
C.长方形
D.三角形
A
)。A.圆
B.五边形
C.长方形
D.三角形
答案
8. A
解析
【分析】
要判断长方体的截面不可能是什么形状，首先回忆长方体的构成特征：长方体是全由平面围成的立体，没有曲面。截面是切割用的平面与长方体表面相交得到的交线围成的图形，平面和平面相交只能得到直线段，所以截面一定是由直线段围成的多边形，不可能出现曲线围成的图形。再逐一判断选项：切的时候和3个面相交可得三角形，和4个面相交可得长方形，和5个面相交可得五边形，只有圆是曲线图形，不可能得到。
【解析】
长方体由6个平面围成，没有曲面，切割平面与长方体的面相交只能得到直线段，因此截面只能是由直线段围成的多边形：
1. 当切割平面与长方体的3个面相交时，截面为三角形，故D选项可能；
2. 当切割平面与长方体的4个面相交（如平行于长方体的侧面切割）时，截面为长方形，故C选项可能；
3. 当切割平面与长方体的5个面相交时，截面为五边形，故B选项可能；
4. 圆是由曲线围成的图形，长方体不存在曲面，无法切割出带曲线的截面，因此不可能得到圆。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 几何体截面判断
2. 长方体的特征
3. 面与面相交的性质
【点评】
本题考查立体图形的截面判断，解题核心是明确截面形状由切割平面与几何体相交的面的数量决定，且平面相交只能得到直线，只有包含曲面的几何体才有可能截出带曲线的截面。
【难度系数】
0.8
要判断长方体的截面不可能是什么形状，首先回忆长方体的构成特征：长方体是全由平面围成的立体，没有曲面。截面是切割用的平面与长方体表面相交得到的交线围成的图形，平面和平面相交只能得到直线段，所以截面一定是由直线段围成的多边形，不可能出现曲线围成的图形。再逐一判断选项：切的时候和3个面相交可得三角形，和4个面相交可得长方形，和5个面相交可得五边形，只有圆是曲线图形，不可能得到。
【解析】
长方体由6个平面围成，没有曲面，切割平面与长方体的面相交只能得到直线段，因此截面只能是由直线段围成的多边形：
1. 当切割平面与长方体的3个面相交时，截面为三角形，故D选项可能；
2. 当切割平面与长方体的4个面相交（如平行于长方体的侧面切割）时，截面为长方形，故C选项可能；
3. 当切割平面与长方体的5个面相交时，截面为五边形，故B选项可能；
4. 圆是由曲线围成的图形，长方体不存在曲面，无法切割出带曲线的截面，因此不可能得到圆。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 几何体截面判断
2. 长方体的特征
3. 面与面相交的性质
【点评】
本题考查立体图形的截面判断，解题核心是明确截面形状由切割平面与几何体相交的面的数量决定，且平面相交只能得到直线，只有包含曲面的几何体才有可能截出带曲线的截面。
【难度系数】
0.8
9.如图,有一个长为4 cm、宽为3 cm的长方形.
(1)若分别绕相邻两边所在的直线旋转一周,会得到不同的几何体,请你画出这两个几何体.
(2)在你画出的这两个几何体中,哪个体积大？
(1)若分别绕相邻两边所在的直线旋转一周,会得到不同的几何体,请你画出这两个几何体.
(2)在你画出的这两个几何体中,哪个体积大？
答案
9. 解:(1)如图所示即为所求。
(2)绕4 cm长的边所在的直线旋转一周所得圆柱的体积为 π×3²×4=36π(cm³)；
绕3 cm长的边所在的直线旋转一周所得圆柱的体积为 π×4²×3=48π(cm³)。
答:绕3 cm长的边所在的直线旋转一周所得圆柱的体积大。
解析
【分析】
首先根据“面动成体”的原理，长方形绕任意一边所在直线旋转一周都会得到圆柱，其中作为旋转轴的边就是圆柱的高，长方形的另一条边就是圆柱的底面半径，按这个规律就能画出两个对应的圆柱。其次要比较两个圆柱的体积，需使用圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高，分别代入两种旋转情况对应的半径和高计算出体积，再比较数值大小就能得出结论。
【解析】
(1) 长方形绕相邻边旋转得到的几何体为圆柱：
① 绕长为4cm的边旋转时，圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，对应左图的圆柱；
② 绕长为3cm的边旋转时，圆柱的高为3cm，底面半径为4cm，对应右图的圆柱，两个几何体即为所求。
(2) 分别计算两个圆柱的体积：
① 绕4cm长的边所在直线旋转得到的圆柱体积：
$V_1=π r_1^2 h_1=π×3^2×4=36π \ (\mathrm{cm}^3)$
② 绕3cm长的边所在直线旋转得到的圆柱体积：
$V_2=π r_2^2 h_2=π×4^2×3=48π \ (\mathrm{cm}^3)$
因为$48π＞36π$，所以绕3cm长的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
【答案】
(1)如图所示即为所求。
(2)绕4 cm长的边所在的直线旋转一周所得圆柱的体积为 π×3²×4=36π(cm³)；
绕3 cm长的边所在的直线旋转一周所得圆柱的体积为 π×4²×3=48π(cm³)。
答:绕3 cm长的边所在的直线旋转一周所得圆柱的体积大。
【知识点】
面动成体、圆柱体积计算、旋转体的认识
【点评】
本题结合平面图形旋转的规律考查圆柱体积的计算，解题的核心是准确判断不同旋转方式下圆柱的底面半径和高，易错点是混淆两种旋转情况对应的半径和高，明确旋转轴为高、另一条边为半径即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
首先根据“面动成体”的原理，长方形绕任意一边所在直线旋转一周都会得到圆柱，其中作为旋转轴的边就是圆柱的高，长方形的另一条边就是圆柱的底面半径，按这个规律就能画出两个对应的圆柱。其次要比较两个圆柱的体积，需使用圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高，分别代入两种旋转情况对应的半径和高计算出体积，再比较数值大小就能得出结论。
【解析】
(1) 长方形绕相邻边旋转得到的几何体为圆柱：
① 绕长为4cm的边旋转时，圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，对应左图的圆柱；
② 绕长为3cm的边旋转时，圆柱的高为3cm，底面半径为4cm，对应右图的圆柱，两个几何体即为所求。
(2) 分别计算两个圆柱的体积：
① 绕4cm长的边所在直线旋转得到的圆柱体积：
$V_1=π r_1^2 h_1=π×3^2×4=36π \ (\mathrm{cm}^3)$
② 绕3cm长的边所在直线旋转得到的圆柱体积：
$V_2=π r_2^2 h_2=π×4^2×3=48π \ (\mathrm{cm}^3)$
因为$48π＞36π$，所以绕3cm长的边所在直线旋转得到的圆柱体积更大。
【答案】
(1)如图所示即为所求。
(2)绕4 cm长的边所在的直线旋转一周所得圆柱的体积为 π×3²×4=36π(cm³)；
绕3 cm长的边所在的直线旋转一周所得圆柱的体积为 π×4²×3=48π(cm³)。
答:绕3 cm长的边所在的直线旋转一周所得圆柱的体积大。
【知识点】
面动成体、圆柱体积计算、旋转体的认识
【点评】
本题结合平面图形旋转的规律考查圆柱体积的计算，解题的核心是准确判断不同旋转方式下圆柱的底面半径和高，易错点是混淆两种旋转情况对应的半径和高，明确旋转轴为高、另一条边为半径即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
10.(跨学科融合)《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞。”诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，该现象可用数学知识解释为
点动成线
答案
10. 点动成线
解析
【分析】
解题时首先要把生活中的实际场景抽象为几何元素：单个雨滴可以看作几何中的“点”，雨滴下落形成的雨丝可以看作“线”。再结合点线面的运动规律，点运动后会形成线，就能对应得出该现象的数学解释。
【解析】
我们可将每一滴雨滴抽象为几何中的一个点，雨滴持续下落的过程是点的运动过程，大量雨滴连续运动后形成的雨丝属于几何中的线，该现象符合“点动成线”的几何规律。
【答案】
点动成线
【知识点】
1. 点动成线
2. 几何图形抽象
【点评】
这道题以古诗词中的场景为载体，跨学科考察几何基础概念，需要学生具备将实际现象抽象为几何模型的能力，有助于提升知识的实际应用意识。
【难度系数】
0.9
解题时首先要把生活中的实际场景抽象为几何元素：单个雨滴可以看作几何中的“点”，雨滴下落形成的雨丝可以看作“线”。再结合点线面的运动规律，点运动后会形成线，就能对应得出该现象的数学解释。
【解析】
我们可将每一滴雨滴抽象为几何中的一个点，雨滴持续下落的过程是点的运动过程，大量雨滴连续运动后形成的雨丝属于几何中的线，该现象符合“点动成线”的几何规律。
【答案】
点动成线
【知识点】
1. 点动成线
2. 几何图形抽象
【点评】
这道题以古诗词中的场景为载体，跨学科考察几何基础概念，需要学生具备将实际现象抽象为几何模型的能力，有助于提升知识的实际应用意识。
【难度系数】
0.9
11. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察图中的几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1) 根据上面多面体模型，填写表格中的空格。
(2) 你能发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在着怎样的关系式吗？
(3) 一个多面体的面数与顶点数相同，且有12条棱，则这个多面体是几面体？
(1) 根据上面多面体模型，填写表格中的空格。
(2) 你能发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在着怎样的关系式吗？
(3) 一个多面体的面数与顶点数相同，且有12条棱，则这个多面体是几面体？
答案
解:(1)6 6
(2)V+F-E=2。
(3)设这个多面体的面数为x，
由(2)中结论，得x+x-12=2，
解得x=7。
所以这个多面体是七面体。
(2)V+F-E=2。
(3)设这个多面体的面数为x，
由(2)中结论，得x+x-12=2，
解得x=7。
所以这个多面体是七面体。
解析
【分析】
(1) 第(1)问结合给出的多面体模型，直接数出对应几何体的顶点数和面数，填入表格即可；
(2) 第(2)问将各个多面体的顶点数V、面数F、棱数E分别代入计算V+F-E的结果，对比所有多面体的计算结果，即可归纳出三者的关系式；
(3) 第(3)问已知棱数，且面数与顶点数相等，可设面数为x，则顶点数也为x，将三者数值代入第(2)问得到的关系式，建立一元一次方程求解，得到的x值就是多面体的面数，即对应的几面体。
【解析】
(1) 观察对应多面体，数得空格处分别为6、6；
(2) 分别计算各多面体的V+F-E的值：四面体4+4-6=2，长方体8+6-12=2，正八面体6+8-12=2，正十二面体20+12-30=2，归纳可得三者的关系式为：$\boldsymbol{V+F-E=2}$；
(3) 设这个多面体的面数为$x$，由题意可知顶点数也为$x$，已知棱数$E=12$，代入$V+F-E=2$得：
$\begin{aligned}x + x - 12 &= 2 \\2x &= 14 \\x &=7\end{aligned}$
所以这个多面体是七面体。
【答案】
(1)6 6
(2)$V+F-E=2$
(3)七面体
【知识点】
欧拉公式，一元一次方程的应用，多面体的认识
【点评】
本题以数学史上经典的欧拉公式为背景，考查探究归纳能力和方程思想的应用，题型新颖，难度不高，解题的关键是准确计数归纳规律，并能正确代入公式列方程求解。
【难度系数】
0.7
(1) 第(1)问结合给出的多面体模型，直接数出对应几何体的顶点数和面数，填入表格即可；
(2) 第(2)问将各个多面体的顶点数V、面数F、棱数E分别代入计算V+F-E的结果，对比所有多面体的计算结果，即可归纳出三者的关系式；
(3) 第(3)问已知棱数，且面数与顶点数相等，可设面数为x，则顶点数也为x，将三者数值代入第(2)问得到的关系式，建立一元一次方程求解，得到的x值就是多面体的面数，即对应的几面体。
【解析】
(1) 观察对应多面体，数得空格处分别为6、6；
(2) 分别计算各多面体的V+F-E的值：四面体4+4-6=2，长方体8+6-12=2，正八面体6+8-12=2，正十二面体20+12-30=2，归纳可得三者的关系式为：$\boldsymbol{V+F-E=2}$；
(3) 设这个多面体的面数为$x$，由题意可知顶点数也为$x$，已知棱数$E=12$，代入$V+F-E=2$得：
$\begin{aligned}x + x - 12 &= 2 \\2x &= 14 \\x &=7\end{aligned}$
所以这个多面体是七面体。
【答案】
(1)6 6
(2)$V+F-E=2$
(3)七面体
【知识点】
欧拉公式，一元一次方程的应用，多面体的认识
【点评】
本题以数学史上经典的欧拉公式为背景，考查探究归纳能力和方程思想的应用，题型新颖，难度不高，解题的关键是准确计数归纳规律，并能正确代入公式列方程求解。
【难度系数】
0.7
