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6. 观察下列单项式：$-x, 3x^2, -5x^3, 7x^4, \dots, -37x^{19}, 39x^{20}, \dots$, 回答下列问题.
(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)请你根据上面的归纳猜想出第$n$($n$为正整数)个单项式，并写出来.
(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)请你根据上面的归纳猜想出第$n$($n$为正整数)个单项式，并写出来.
答案
6. 解 (1)这组单项式的系数依次为$-1,3,-5,7,\dots,-37,39,\dots$;系数为奇数,且奇次单项式的系数为负数,故单项式的系数的符号是$(-1)^n$($n$为正整数),系数的绝对值的规律是$2n-1$($n$为正整数).
(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数,第$n$个单项式的次数为$n$.
(3)根据(1)(2)发现的规律,可猜想第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$.
(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数,第$n$个单项式的次数为$n$.
(3)根据(1)(2)发现的规律,可猜想第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$.
解析
【分析】
解决这组单项式的规律探究题，可拆分三个维度逐一分析：①先看系数的符号变化：观察已知单项式，n=1时系数为负，n=2时为正，正负交替出现；②再看系数的绝对值：依次为1、3、5、7…是连续的奇数，可推导出第n个的绝对值表达式；③最后看字母部分的次数：第1个单项式次数为1，第2个为2，依次递增。结合三个维度的规律即可解答三个问题。
【解析】
(1) 逐个提取单项式的系数，可得系数依次为：$-1,3,-5,7,\dots,-37,39,\dots$；
观察系数特征：符号随n的变化正负交替，第n个单项式的系数符号为$(-1)^n$（n为正整数）；系数的绝对值是连续奇数，第n个的绝对值为$2n-1$（n为正整数）。
(2) 观察每个单项式中x的指数：第1个次数为1，第2个为2，第3个为3……，可得出次数的规律是从1开始的连续自然数，第n个单项式的次数为n。
(3) 整合前两问得到的规律：第n个单项式的符号为$(-1)^n$，系数绝对值为$2n-1$，x的次数为n，组合得到第n个单项式的表达式。
【答案】
(1) 系数依次为$-1,3,-5,7,\dots,-37,39,\dots$；系数的符号规律是$(-1)^n$（n为正整数），系数的绝对值规律是$2n-1$（n为正整数）。
(2) 次数的规律是从1开始的连续自然数，第$n$个单项式的次数为$n$。
(3) 第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；规律探究
【点评】
本题考查对单项式相关概念的理解和归纳探究能力，解题时只需分别拆分观察符号、系数绝对值、次数三个部分的规律，再整合即可得到最终结论，注意验证规律是否符合给出的前几项单项式。
【难度系数】
0.7
解决这组单项式的规律探究题，可拆分三个维度逐一分析：①先看系数的符号变化：观察已知单项式，n=1时系数为负，n=2时为正，正负交替出现；②再看系数的绝对值：依次为1、3、5、7…是连续的奇数，可推导出第n个的绝对值表达式；③最后看字母部分的次数：第1个单项式次数为1，第2个为2，依次递增。结合三个维度的规律即可解答三个问题。
【解析】
(1) 逐个提取单项式的系数，可得系数依次为：$-1,3,-5,7,\dots,-37,39,\dots$；
观察系数特征：符号随n的变化正负交替，第n个单项式的系数符号为$(-1)^n$（n为正整数）；系数的绝对值是连续奇数，第n个的绝对值为$2n-1$（n为正整数）。
(2) 观察每个单项式中x的指数：第1个次数为1，第2个为2，第3个为3……，可得出次数的规律是从1开始的连续自然数，第n个单项式的次数为n。
(3) 整合前两问得到的规律：第n个单项式的符号为$(-1)^n$，系数绝对值为$2n-1$，x的次数为n，组合得到第n个单项式的表达式。
【答案】
(1) 系数依次为$-1,3,-5,7,\dots,-37,39,\dots$；系数的符号规律是$(-1)^n$（n为正整数），系数的绝对值规律是$2n-1$（n为正整数）。
(2) 次数的规律是从1开始的连续自然数，第$n$个单项式的次数为$n$。
(3) 第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；规律探究
【点评】
本题考查对单项式相关概念的理解和归纳探究能力，解题时只需分别拆分观察符号、系数绝对值、次数三个部分的规律，再整合即可得到最终结论，注意验证规律是否符合给出的前几项单项式。
【难度系数】
0.7
1. 多项式的概念
几个
几个
单项式
的和
叫作多项式。答案
1. 单项式 和
解析
【分析】
本题考查多项式的基础定义，属于概念识记类题目，解题时只需准确回忆教材中多项式的定义内容，直接对应空缺位置填写即可，不需要进行推导计算。
【解析】
根据多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式，因此第一个空缺填“单项式”，第二个空缺填“和”。
【答案】
单项式；和
【知识点】
多项式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对核心定义的记忆掌握程度，熟练记忆相关基础概念是解决这类问题的关键，也是后续学习整式运算的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式的基础定义，属于概念识记类题目，解题时只需准确回忆教材中多项式的定义内容，直接对应空缺位置填写即可，不需要进行推导计算。
【解析】
根据多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式，因此第一个空缺填“单项式”，第二个空缺填“和”。
【答案】
单项式；和
【知识点】
多项式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对核心定义的记忆掌握程度，熟练记忆相关基础概念是解决这类问题的关键，也是后续学习整式运算的基础。
【难度系数】
0.9
2.多项式的项与次数
（1）多项式中的每个单项式叫作多项式的
。
（2）多项式里，次数
（1）多项式中的每个单项式叫作多项式的
项
，不含字母的项叫作常数项
。注意：多项式中的每一项都包含它前面的正负号
。。
（2）多项式里，次数
最高
的项的次数，叫作这个多项式的次数。答案
2. (1)项 常数项 正负号 (2)最高
解析
【分析】
本题考查多项式的基础定义，属于识记类题型，解题时对应回忆教材中多项式的相关概念逐一填空即可：首先回忆多项式的项、常数项的定义，明确多项式的每一项均包含前面的符号；再回忆多项式次数的确定规则，对应填写空缺内容。
【解析】
（1）根据定义：多项式是若干个单项式相加组成的代数式，其中的每个单项式都叫作多项式的项；不含字母的项叫作常数项，例如多项式$2x^2 - 3x + 5$中，$2x^2$、$-3x$、$5$都是它的项，其中$5$是常数项，可见每一项都包含它前面的正负号。
（2）多项式的次数由次数最高的项的次数决定，例如多项式$3x^3 + 2x^2 - x$中，次数最高的项是$3x^3$，次数为3，因此这个多项式的次数就是3，即多项式里次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数。
【答案】
(1)项 常数项 正负号 (2)最高
【知识点】
多项式的项的概念；多项式的次数概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对多项式基础定义的准确记忆，相关概念是整式运算的重要基础，需要熟练掌握，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式的基础定义，属于识记类题型，解题时对应回忆教材中多项式的相关概念逐一填空即可：首先回忆多项式的项、常数项的定义，明确多项式的每一项均包含前面的符号；再回忆多项式次数的确定规则，对应填写空缺内容。
【解析】
（1）根据定义：多项式是若干个单项式相加组成的代数式，其中的每个单项式都叫作多项式的项；不含字母的项叫作常数项，例如多项式$2x^2 - 3x + 5$中，$2x^2$、$-3x$、$5$都是它的项，其中$5$是常数项，可见每一项都包含它前面的正负号。
（2）多项式的次数由次数最高的项的次数决定，例如多项式$3x^3 + 2x^2 - x$中，次数最高的项是$3x^3$，次数为3，因此这个多项式的次数就是3，即多项式里次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数。
【答案】
(1)项 常数项 正负号 (2)最高
【知识点】
多项式的项的概念；多项式的次数概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对多项式基础定义的准确记忆，相关概念是整式运算的重要基础，需要熟练掌握，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
3.整式
单项式
与多项式
统称整式。答案
3. 单项式 多项式
解析
【分析】
本题属于基础概念识记类题目，考查整式的定义相关内容，解题时只需回忆教材中关于整式分类的明确规定，直接对应填入组成整式的两类代数式即可。
【解析】
根据整式的定义：单项式与多项式统称为整式，因此两个空依次填入单项式、多项式。
【答案】
单项式 多项式
【知识点】
1.整式的定义
2.单项式
3.多项式
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对核心定义的记忆掌握，难度较低，熟练掌握教材中的基础概念即可快速作答得分。
【难度系数】
0.9
本题属于基础概念识记类题目，考查整式的定义相关内容，解题时只需回忆教材中关于整式分类的明确规定，直接对应填入组成整式的两类代数式即可。
【解析】
根据整式的定义：单项式与多项式统称为整式，因此两个空依次填入单项式、多项式。
【答案】
单项式 多项式
【知识点】
1.整式的定义
2.单项式
3.多项式
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对核心定义的记忆掌握，难度较低，熟练掌握教材中的基础概念即可快速作答得分。
【难度系数】
0.9
典例1 下列式子:$2a^2b,3xy-2y^2,\frac{ab}{2},4,-m,\frac{ab-c}{π}$,其中是多项式的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
).A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
典例1 A 解析 根据题意,是多项式的有$3xy -2y^2, \frac{ab - c}{π}$,共2个.
解析
【分析】
解题时首先要明确单项式和多项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式。接下来逐个判断每个式子的类型，统计多项式的数量即可得到答案，注意π是常数，不是字母。
【解析】
我们逐个分析给出的式子：
1. $2a^2b$：是数与字母的乘积，属于单项式；
2. $3xy-2y^2$：由$3xy$和$-2y^2$两个单项式相加组成，属于多项式；
3. $\frac{ab}{2}$：是$\frac{1}{2}$与$ab$的乘积，属于单项式；
4. $4$：是单独的数字，属于单项式；
5. $-m$：是$-1$与$m$的乘积，属于单项式；
6. $\frac{ab-c}{π}$：因为$π$是常数，该式可变形为$\frac{ab}{π}-\frac{c}{π}$，是两个单项式的和，属于多项式。
综上，多项式共有2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的定义、单项式的定义、常数的性质
【点评】
本题核心考查单项式与多项式的概念辨析，易错点是容易误将含$π$的式子当作分母含字母的非整式，或误将仅含乘积运算的代数式判定为多项式，熟练掌握基础定义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确单项式和多项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式。接下来逐个判断每个式子的类型，统计多项式的数量即可得到答案，注意π是常数，不是字母。
【解析】
我们逐个分析给出的式子：
1. $2a^2b$：是数与字母的乘积，属于单项式；
2. $3xy-2y^2$：由$3xy$和$-2y^2$两个单项式相加组成，属于多项式；
3. $\frac{ab}{2}$：是$\frac{1}{2}$与$ab$的乘积，属于单项式；
4. $4$：是单独的数字，属于单项式；
5. $-m$：是$-1$与$m$的乘积，属于单项式；
6. $\frac{ab-c}{π}$：因为$π$是常数，该式可变形为$\frac{ab}{π}-\frac{c}{π}$，是两个单项式的和，属于多项式。
综上，多项式共有2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的定义、单项式的定义、常数的性质
【点评】
本题核心考查单项式与多项式的概念辨析，易错点是容易误将含$π$的式子当作分母含字母的非整式，或误将仅含乘积运算的代数式判定为多项式，熟练掌握基础定义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
举一反三 下列式子：$\frac{1}{3}ab,\frac{a+b}{2},\frac{1}{x}+\frac{2}{y},x^2+x-3$中，多项式有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
举一反三 B
解析
【分析】
解题前先明确判定多项式的核心标准：①多项式属于整式，因此分母中不能含有字母；②多项式是几个单项式的和。解题时按照这个标准逐个分析给出的4个式子，统计符合多项式定义的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确相关定义：几个单项式的和叫做多项式，单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母的式子不属于整式，也不可能是多项式。
对每个式子逐一判断：
1. $\frac{1}{3}ab$是数字与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. $\frac{a+b}{2}$可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的分母中含有字母$x$、$y$，属于分式，不是整式，因此不是多项式；
4. $x^2+x-3$是三个单项式的和，属于多项式。
综上，多项式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义；整式的判定；单项式的识别
【点评】
本题核心考查整式相关概念的区分，解题的关键是抓住“分母含字母的式子不是整式”这个判定要点，不要被式子表面的加法形式误导，要从概念本质出发判断。
【难度系数】
0.8
解题前先明确判定多项式的核心标准：①多项式属于整式，因此分母中不能含有字母；②多项式是几个单项式的和。解题时按照这个标准逐个分析给出的4个式子，统计符合多项式定义的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确相关定义：几个单项式的和叫做多项式，单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母的式子不属于整式，也不可能是多项式。
对每个式子逐一判断：
1. $\frac{1}{3}ab$是数字与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. $\frac{a+b}{2}$可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的分母中含有字母$x$、$y$，属于分式，不是整式，因此不是多项式；
4. $x^2+x-3$是三个单项式的和，属于多项式。
综上，多项式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义；整式的判定；单项式的识别
【点评】
本题核心考查整式相关概念的区分，解题的关键是抓住“分母含字母的式子不是整式”这个判定要点，不要被式子表面的加法形式误导，要从概念本质出发判断。
【难度系数】
0.8
典例2 关于多项式$-\dfrac{2x^2y}{5} - 3x + 1$，
下列说法正确的是(
A. 它由$-\dfrac{2x^2y}{5},3x$和1三项组成
B. 三项的次数依次为3,1,1
C. 它的最高次项的系数为$\dfrac{2}{5}$
D. 该多项式的常数项是1
规律总结 如何确定多项式的次数？
(1)计算多项式中每一项的次数.
(2)比较各项次数的大小.
(3)将次数最高项的次数定为多项式的次数，而不是所有项的次数之和.
举一反三 在下列说法中，不正确的是(
A. $\dfrac{xy - 1}{3}$是多项式
典例解析
下列说法正确的是(
D
).A. 它由$-\dfrac{2x^2y}{5},3x$和1三项组成
B. 三项的次数依次为3,1,1
C. 它的最高次项的系数为$\dfrac{2}{5}$
D. 该多项式的常数项是1
规律总结 如何确定多项式的次数？
(1)计算多项式中每一项的次数.
(2)比较各项次数的大小.
(3)将次数最高项的次数定为多项式的次数，而不是所有项的次数之和.
举一反三 在下列说法中，不正确的是(
C
).A. $\dfrac{xy - 1}{3}$是多项式
典例解析
答案
典例2 D 举一反三 C
解析
【分析】
本题考查多项式的基础概念，解题时需结合多项式的项、项的次数、最高次项系数、常数项的定义逐一判断选项：①确定多项式的项时要保留每一项前面的符号；②单项式的次数是该项中所有字母的指数之和，常数项不含字母，次数为0；③单项式的系数包含前面的正负号；④常数项是多项式中不含字母的项。按照以上规则核对每个选项即可得出正确结果。
【解析】
多项式$-\dfrac{2x^2y}{5} - 3x + 1$的三项分别为$-\dfrac{2x^2y}{5}$、$-3x$、$1$，逐项分析选项：
选项A：第二项应为$-3x$，选项中遗漏了负号，故A错误；
选项B：第一项$-\dfrac{2x^2y}{5}$的次数为$2+1=3$，第二项$-3x$的次数为1，第三项1是常数项，次数为0，不是1，故B错误；
选项C：最高次项为$-\dfrac{2x^2y}{5}$，其系数为$-\dfrac{2}{5}$，选项中遗漏了负号，故C错误；
选项D：多项式中不含字母的项为1，即常数项是1，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的概念，单项式的次数与系数，常数项的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是判断多项式的项、系数时遗漏前面的负号，以及误将常数项的次数记为1，熟练掌握单项式和多项式的相关定义即可避免出错。
【难度系数】
0.7
本题考查多项式的基础概念，解题时需结合多项式的项、项的次数、最高次项系数、常数项的定义逐一判断选项：①确定多项式的项时要保留每一项前面的符号；②单项式的次数是该项中所有字母的指数之和，常数项不含字母，次数为0；③单项式的系数包含前面的正负号；④常数项是多项式中不含字母的项。按照以上规则核对每个选项即可得出正确结果。
【解析】
多项式$-\dfrac{2x^2y}{5} - 3x + 1$的三项分别为$-\dfrac{2x^2y}{5}$、$-3x$、$1$，逐项分析选项：
选项A：第二项应为$-3x$，选项中遗漏了负号，故A错误；
选项B：第一项$-\dfrac{2x^2y}{5}$的次数为$2+1=3$，第二项$-3x$的次数为1，第三项1是常数项，次数为0，不是1，故B错误；
选项C：最高次项为$-\dfrac{2x^2y}{5}$，其系数为$-\dfrac{2}{5}$，选项中遗漏了负号，故C错误；
选项D：多项式中不含字母的项为1，即常数项是1，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的概念，单项式的次数与系数，常数项的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是判断多项式的项、系数时遗漏前面的负号，以及误将常数项的次数记为1，熟练掌握单项式和多项式的相关定义即可避免出错。
【难度系数】
0.7
