角的平分线的判定
(1)角的内部到角两边距离相等的点在上.
(2)三角形的三条角平分线交于，这一点到三角形三边的距离.

(1)角的平分线 (2)一点 相等

【分析】
本题考查角平分线相关的基础概念，解题时可直接结合对应的定理和性质作答：
(1) 回忆角平分线的判定定理，明确角内部满足到两边距离相等的点的位置特征；
(2) 回忆三角形三条角平分线的交点特点，再结合角平分线的性质推导交点到三边的距离关系。
【解析】
(1) 根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此本空填“角的平分线”；
(2) 三角形的三条角平分线交于同一点，由于这个点同时在三条角平分线上，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得这一点到三角形三边的距离相等，因此依次填“一点”“相等”。
【答案】
(1) 角的平分线 (2) 一点 相等
【知识点】
1. 角平分线的判定 2. 三角形角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应教材核心知识点，只要熟练记忆角平分线的判定定理及三角形角平分线的相关性质，就能快速准确作答，平时学习要重视基础概念的理解与识记。
【难度系数】
0.9

典例 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$D$ 是 $AC$ 上一点,$DE⊥ AB$ 于点 $E$,且 $DE=DC$.
(1)求证:$BD$ 平分$∠ ABC$;
(2)若$∠ A=36°$,求$∠ DBC$ 的度数.

证明：(1) ∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥BC，
又∵ DE⊥AB，DE=DC，
∴ 点D在∠ABC的平分线上，
∴ BD平分∠ABC。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠A = 90° - 36° = 54°，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×54° = 27°。

【分析】
(1) 要证明BD平分∠ABC，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先明确点D到∠ABC两边BC、AB的距离分别是DC和DE，结合已知DE=DC，即可证明点D在∠ABC的平分线上，进而得到BD平分∠ABC。
(2) 要求∠DBC的度数，已知BD是∠ABC的平分线，因此只需先求出∠ABC的度数。在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合∠A=36°可算出∠ABC的度数，再除以2即可得到∠DBC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥BC，
又
∵ DE⊥AB，且DE=DC，
∴ 点D在∠ABC的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴ BD平分∠ABC。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，
根据直角三角形两锐角互余可得：
∠ABC = 90° - ∠A = 90° - 36° = 54°，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×54° = 27°。
【答案】
(1) BD平分∠ABC，证明成立；
(2) $\boxed{27°}$
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题核心是熟练掌握角平分线的判定定理和直角三角形的内角性质，计算过程简单，只要理清条件与定理的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

典例解析
典例
(1)证明 ∵DC⊥BC,DE⊥AB,DE=DC,
∴点D在∠ABC的平分线上,
∴BD平分∠ABC.
规律方法 要证明某条线段是一个角的平分线,只需证明从这条线段上的一点向角的两边所作的垂线段相等即可.将问题转化为“证明线段相等”,体现了转化思想.
举一反三 如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD平分∠BAC.

证明 $\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore DE=DF.$
$\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC.$

【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BAC两边AB、AC的垂线段长度相等，即DE=DF。观察图形可知DE、DF分别属于Rt△BDE和Rt△CDF，已知D是BC中点可得BD=CD，题目明确给出BE=CF，结合两个三角形均为直角三角形的特点，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而推出DE=DF，最终证得AD平分∠BAC。
【解析】
证明：$\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore DE=DF.$
$\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$。
【答案】
证明：$\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore DE=DF.$
$\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$。
【知识点】
HL判定全等、全等三角形性质、角平分线的判定
【点评】
本题将证明角平分线的问题转化为证明垂线段相等，通过证明直角三角形全等来得到线段相等的结论，体现了转化的数学思想，解题时需熟练掌握相关定理的适用条件，理清条件和结论的逻辑关系。
【难度系数】
0.8