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4. 我们把两组邻边相等的四边形叫作“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F。求证OE=OF。
答案
4. 证明 在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases}AB=CB,\\AD=CD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore BD$ 平分$∠ ABC$.
$\because OE⊥ AB,OF⊥ CB$,
$\therefore OE=OF$.
$\begin{cases}AB=CB,\\AD=CD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore BD$ 平分$∠ ABC$.
$\because OE⊥ AB,OF⊥ CB$,
$\therefore OE=OF$.
解析
【分析】
要证明OE=OF，观察已知条件可知OE⊥AB、OF⊥CB，根据角平分线的性质，只需证明BD是∠ABC的角平分线，即∠ABD=∠CBD。结合题目给出的AB=CB、AD=CD，加上公共边BD，可通过SSS判定△ABD≌△CBD，利用全等三角形对应角相等即可得到∠ABD=∠CBD，进而推出OE=OF。
【解析】
证明：在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases}AB=CB,\\AD=CD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ABD=∠CBD$，即BD平分$∠ABC$,
$\because OE⊥AB,OF⊥CB$，点O在∠ABC的角平分线BD上,
根据角平分线的性质即可得$OE=OF$。
【答案】
证明：在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases}AB=CB,\\AD=CD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore BD$ 平分$∠ ABC$.
$\because OE⊥ AB,OF⊥ CB$,
$\therefore OE=OF$.
【知识点】
SSS全等判定、全等三角形的性质、角平分线的性质
【点评】
本题结合“筝形”的新定义考查几何基础证明，解题关键是先通过边的等量关系证明三角形全等得到角相等，再结合角平分线的性质得出结论，侧重考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明OE=OF，观察已知条件可知OE⊥AB、OF⊥CB，根据角平分线的性质，只需证明BD是∠ABC的角平分线，即∠ABD=∠CBD。结合题目给出的AB=CB、AD=CD，加上公共边BD，可通过SSS判定△ABD≌△CBD，利用全等三角形对应角相等即可得到∠ABD=∠CBD，进而推出OE=OF。
【解析】
证明：在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases}AB=CB,\\AD=CD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ABD=∠CBD$，即BD平分$∠ABC$,
$\because OE⊥AB,OF⊥CB$，点O在∠ABC的角平分线BD上,
根据角平分线的性质即可得$OE=OF$。
【答案】
证明：在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases}AB=CB,\\AD=CD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore BD$ 平分$∠ ABC$.
$\because OE⊥ AB,OF⊥ CB$,
$\therefore OE=OF$.
【知识点】
SSS全等判定、全等三角形的性质、角平分线的性质
【点评】
本题结合“筝形”的新定义考查几何基础证明，解题关键是先通过边的等量关系证明三角形全等得到角相等，再结合角平分线的性质得出结论，侧重考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，直线$l,l',l''$分别表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求加油站到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(
A.一处
B.二处
C.三处
D.四处
D
).A.一处
B.二处
C.三处
D.四处
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们需要找到到三条两两相交的直线距离都相等的点，这类点一定同时在三条直线两两夹角的平分线上。首先考虑三条直线围成的三角形内部：三个内角的角平分线会交于一点，该点满足到三条直线距离相等；其次还要考虑三角形外部的区域：每两个相邻外角的角平分线也会交于一点，这类点同样满足到三条直线的距离相等，数清楚这类点的数量，加总就是总地址数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
1. 三条公路两两相交围成一个三角形，三角形三个内角的角平分线相交于1个点，这个点到三条公路的距离相等，为第1处可选地址；
2. 三角形任意两个外角的角平分线也会相交，这类交点到三条公路的距离也相等，这样的交点共有3个，为另外3处可选地址。
综上，可供选择的地址总共有$1+3=4$处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题时容易遗漏三角形外部的外角平分线交点，需要全面考虑所有符合要求的位置，避免思维局限在三角形内部。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们需要找到到三条两两相交的直线距离都相等的点，这类点一定同时在三条直线两两夹角的平分线上。首先考虑三条直线围成的三角形内部：三个内角的角平分线会交于一点，该点满足到三条直线距离相等；其次还要考虑三角形外部的区域：每两个相邻外角的角平分线也会交于一点，这类点同样满足到三条直线的距离相等，数清楚这类点的数量，加总就是总地址数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
1. 三条公路两两相交围成一个三角形，三角形三个内角的角平分线相交于1个点，这个点到三条公路的距离相等，为第1处可选地址；
2. 三角形任意两个外角的角平分线也会相交，这类交点到三条公路的距离也相等，这样的交点共有3个，为另外3处可选地址。
综上，可供选择的地址总共有$1+3=4$处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题时容易遗漏三角形外部的外角平分线交点，需要全面考虑所有符合要求的位置，避免思维局限在三角形内部。
【难度系数】
0.6
6.校园一角的形状如图①，其中AB，BC，CD表示围墙.小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P(如图②)，使得点P到三面墙的距离都相等.你能解释他这样做的道理吗?
答案
6. 解 如图
,过点 P 作 $PE⊥ AB$ 于点 $E,PF⊥ BC$ 于点 $F,PG⊥ CD$ 于点 $G$,$\because BP,CP$ 分别是$∠ ABC,∠ BCD$ 的平分线,
$\therefore PE=PF,PF=PG$,
$\therefore PE=PF=PG$. 故点 P 到三面墙的距离都相等.
解析
【分析】
要解释点P到三面墙距离相等的原理，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先观察作图可知，BP是∠ABC的角平分线，CP是∠BCD的角平分线，两线交点为P。我们可以先过P向三面墙分别作垂线段，得到P到三面墙的距离，再两次应用角平分线的性质得到两组距离相等，最后通过等量代换就能证明三个距离全部相等。
【解析】
过点P作$PE⊥ AB$于点$E$，$PF⊥ BC$于点$F$，$PG⊥ CD$于点$G$。
∵ BP、CP分别是$∠ABC$、$∠BCD$的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $PE=PF$，$PF=PG$，
通过等量代换可得$PE=PF=PG$，即点P到三面墙的距离都相等。
【答案】
6. 解 如图,过点 P 作 $PE⊥ AB$ 于点 $E,PF⊥ BC$ 于点 $F,PG⊥ CD$ 于点 $G$,
$\because BP,CP$ 分别是$∠ ABC,∠ BCD$ 的平分线,
$\therefore PE=PF,PF=PG$,
$\therefore PE=PF=PG$. 故点 P 到三面墙的距离都相等.
【知识点】
角平分线的性质，等量代换
【点评】
本题属于角平分线性质的实际应用类基础题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作垂线段构造出点到直线的距离，结合等量代换即可完成证明，能够帮助大家理解几何知识在生活场景中的应用。
【难度系数】
0.8
要解释点P到三面墙距离相等的原理，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先观察作图可知，BP是∠ABC的角平分线，CP是∠BCD的角平分线，两线交点为P。我们可以先过P向三面墙分别作垂线段，得到P到三面墙的距离，再两次应用角平分线的性质得到两组距离相等，最后通过等量代换就能证明三个距离全部相等。
【解析】
过点P作$PE⊥ AB$于点$E$，$PF⊥ BC$于点$F$，$PG⊥ CD$于点$G$。
∵ BP、CP分别是$∠ABC$、$∠BCD$的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $PE=PF$，$PF=PG$，
通过等量代换可得$PE=PF=PG$，即点P到三面墙的距离都相等。
【答案】
6. 解 如图
,过点 P 作 $PE⊥ AB$ 于点 $E,PF⊥ BC$ 于点 $F,PG⊥ CD$ 于点 $G$,$\because BP,CP$ 分别是$∠ ABC,∠ BCD$ 的平分线,
$\therefore PE=PF,PF=PG$,
$\therefore PE=PF=PG$. 故点 P 到三面墙的距离都相等.
【知识点】
角平分线的性质，等量代换
【点评】
本题属于角平分线性质的实际应用类基础题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作垂线段构造出点到直线的距离，结合等量代换即可完成证明，能够帮助大家理解几何知识在生活场景中的应用。
【难度系数】
0.8
