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1. 如图,在CD上作一点P,使它到OA,OB的距离相等,则点P是(
A.线段CD的中点
B.$△ OCD$的边CD上的高与CD的交点
C.CD与$∠ AOB$的平分线的交点
D.以上答案都不对
C
).A.线段CD的中点
B.$△ OCD$的边CD上的高与CD的交点
C.CD与$∠ AOB$的平分线的交点
D.以上答案都不对
答案
1.C
解析
【分析】
要找到CD上到OA、OB距离相等的点P，首先回忆角平分线的判定规则：角的内部到角两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。因此满足“到OA、OB距离相等”的点全部在∠AOB的平分线上，同时题目要求该点还在线段CD上，因此点P就是∠AOB的平分线与线段CD的交点，再对应选项逐一判断即可得到答案。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点，在角的平分线上。
因此到OA、OB距离相等的点都在∠AOB的平分线上，又因为点P在线段CD上，所以点P是CD与∠AOB的平分线的交点。
对选项逐一判断：
A：线段CD的中点到OA、OB的距离不一定相等，不符合要求，错误；
B：△OCD的CD边上的高与CD的交点仅满足和CD垂直，到OA、OB的距离不一定相等，不符合要求，错误；
C：符合上述推导，正确；
D：选项C正确，故本选项错误。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定，两直线交点的意义
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题，解题核心是牢记“到角两边距离相等的点在角的平分线上”的判定规则，结合点需要满足的两个位置限制，即可快速确定点P的位置。
【难度系数】
0.8
要找到CD上到OA、OB距离相等的点P，首先回忆角平分线的判定规则：角的内部到角两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。因此满足“到OA、OB距离相等”的点全部在∠AOB的平分线上，同时题目要求该点还在线段CD上，因此点P就是∠AOB的平分线与线段CD的交点，再对应选项逐一判断即可得到答案。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点，在角的平分线上。
因此到OA、OB距离相等的点都在∠AOB的平分线上，又因为点P在线段CD上，所以点P是CD与∠AOB的平分线的交点。
对选项逐一判断：
A：线段CD的中点到OA、OB的距离不一定相等，不符合要求，错误；
B：△OCD的CD边上的高与CD的交点仅满足和CD垂直，到OA、OB的距离不一定相等，不符合要求，错误；
C：符合上述推导，正确；
D：选项C正确，故本选项错误。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定，两直线交点的意义
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题，解题核心是牢记“到角两边距离相等的点在角的平分线上”的判定规则，结合点需要满足的两个位置限制，即可快速确定点P的位置。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$PM = PN$，$∠ BOC = 30°$，则$∠ AOB=$
60°
。答案
2.$60°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形可得PM垂直于OA、PN垂直于OB，即PM、PN是点P到∠AOB两边的距离；结合已知PM=PN，根据角平分线的判定定理可推出OC是∠AOB的角平分线，即∠AOB=2∠BOC，最后代入∠BOC的度数即可求出结果。
【解析】
由图可知：$PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，
$\because PM=PN$，
$\therefore$ 点P在$∠ AOB$的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即$OC$平分$∠ AOB$，
$\therefore ∠ AOB=2∠ BOC$，
又$\because ∠ BOC=30°$，
$\therefore ∠ AOB=2×30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
角平分线的判定；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是结合图形特征和已知条件，准确判断出OC是角平分线，熟记定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先观察图形可得PM垂直于OA、PN垂直于OB，即PM、PN是点P到∠AOB两边的距离；结合已知PM=PN，根据角平分线的判定定理可推出OC是∠AOB的角平分线，即∠AOB=2∠BOC，最后代入∠BOC的度数即可求出结果。
【解析】
由图可知：$PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，
$\because PM=PN$，
$\therefore$ 点P在$∠ AOB$的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即$OC$平分$∠ AOB$，
$\therefore ∠ AOB=2∠ BOC$，
又$\because ∠ BOC=30°$，
$\therefore ∠ AOB=2×30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
角平分线的判定；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是结合图形特征和已知条件，准确判断出OC是角平分线，熟记定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.如图,在平面内画∠AOB,在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE,过点D作OD的垂线,过点E作OE的垂线.若两条垂线相交于点P,则点P在∠DOE的平分线上吗?为什么?
答案
3.解 点 $P$ 在$∠ DOE$ 的平分线上，
理由：$\because OD ⊥ PD, OE ⊥ PE, OD=OE,$
$\therefore PO$ 平分$∠ DPE$，
即$∠ DPO=∠ EPO,$
$\because DP⊥ OD,PE⊥ OE,$
$\therefore 90°-∠ DPO=90°-∠ EPO,$
即$∠ DOP=∠ EOP,$
$\therefore OP$ 为$∠ DOE$ 的平分线,即点 $P$ 在$∠ DOE$ 的平分线上.
理由：$\because OD ⊥ PD, OE ⊥ PE, OD=OE,$
$\therefore PO$ 平分$∠ DPE$，
即$∠ DPO=∠ EPO,$
$\because DP⊥ OD,PE⊥ OE,$
$\therefore 90°-∠ DPO=90°-∠ EPO,$
即$∠ DOP=∠ EOP,$
$\therefore OP$ 为$∠ DOE$ 的平分线,即点 $P$ 在$∠ DOE$ 的平分线上.
解析
【分析】
要判断点P是否在∠DOE的平分线上，核心是证明OP能将∠DOE分成两个相等的角，即∠DOP=∠EOP。首先结合已知条件：PD垂直于OD、PE垂直于OE，可得△ODP和△OEP都是直角三角形；又已知OD=OE，说明点O到∠DPE两边的距离相等，可先推出PO平分∠DPE，再利用直角三角形两锐角互余的性质，通过等角的余角相等推导得出∠DOP=∠EOP，即可得到最终结论。
【解析】
点P在∠DOE的平分线上，理由如下：
∵ OD⊥PD，OE⊥PE，OD=OE，
∴ PO平分∠DPE，即∠DPO=∠EPO，
∵ DP⊥OD，PE⊥OE，
∴ ∠ODP=∠OEP=90°，
∴ 90°-∠DPO=90°-∠EPO，
即∠DOP=∠EOP，
∴ OP为∠DOE的平分线，即点P在∠DOE的平分线上。
【答案】
点P在∠DOE的平分线上，理由：
∵OD⊥PD，OE⊥PE，OD=OE，
∴PO平分∠DPE，即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD，PE⊥OE，
∴90°-∠DPO=90°-∠EPO，即∠DOP=∠EOP，
∴OP为∠DOE的平分线，即点P在∠DOE的平分线上。
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 余角的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题型，解题关键是灵活运用角平分线的判定方法和余角的性质推导角相等，熟练掌握相关基础定理即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
要判断点P是否在∠DOE的平分线上，核心是证明OP能将∠DOE分成两个相等的角，即∠DOP=∠EOP。首先结合已知条件：PD垂直于OD、PE垂直于OE，可得△ODP和△OEP都是直角三角形；又已知OD=OE，说明点O到∠DPE两边的距离相等，可先推出PO平分∠DPE，再利用直角三角形两锐角互余的性质，通过等角的余角相等推导得出∠DOP=∠EOP，即可得到最终结论。
【解析】
点P在∠DOE的平分线上，理由如下：
∵ OD⊥PD，OE⊥PE，OD=OE，
∴ PO平分∠DPE，即∠DPO=∠EPO，
∵ DP⊥OD，PE⊥OE，
∴ ∠ODP=∠OEP=90°，
∴ 90°-∠DPO=90°-∠EPO，
即∠DOP=∠EOP，
∴ OP为∠DOE的平分线，即点P在∠DOE的平分线上。
【答案】
点P在∠DOE的平分线上，理由：
∵OD⊥PD，OE⊥PE，OD=OE，
∴PO平分∠DPE，即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD，PE⊥OE，
∴90°-∠DPO=90°-∠EPO，即∠DOP=∠EOP，
∴OP为∠DOE的平分线，即点P在∠DOE的平分线上。
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 余角的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题型，解题关键是灵活运用角平分线的判定方法和余角的性质推导角相等，熟练掌握相关基础定理即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，$DC = BC$. 求证：点$C$在$∠ DAB$的平分线上.
答案
4.证明 如图,作 $CE$ 垂直$AB$,$CF$ 垂直$AD$ 的延长线,垂足分别为 $E,F$,
$\therefore ∠ BEC=∠ DFC=90°.$
$\because ∠ ADC+∠ ABC=180°,∠ ADC+∠ CDF=180°,\therefore ∠ ABC=∠ CDF.$
在$△ CBE$ 和$△ CDF$ 中，
$\begin{cases} ∠ EBC=∠ FDC, \\ ∠ BEC=∠ DFC, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ CBE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore FC=EC,\therefore$ 点 $C$ 在$∠ DAB$ 的平分线上.
解析
【分析】
要证明点C在∠DAB的平分线上，根据角平分线的判定定理，需证明点C到∠DAB两边AD、AB的距离相等，因此首先考虑过点C分别作AB、AD的垂线，得到两条垂线段。结合已知条件∠ADC+∠ABC=180°，利用同角的补角相等可推出∠ABC=∠CDF，再结合DC=BC和两条垂线形成的直角，即可证明两个直角三角形全等，得到两条垂线段相等，进而完成证明。
【解析】
证明：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，
$\therefore ∠BEC=∠DFC=90°$。
$\because ∠ADC+∠ABC=180°$，$∠ADC+∠CDF=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠ABC=∠CDF$（同角的补角相等）。
在$△ CBE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC \\ ∠BEC=∠DFC \\ BC=DC \end{cases}$
$\therefore △ CBE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FC=EC$（全等三角形的对应边相等）。
$\because CE⊥AB$，$CF⊥AD$，且$CE=CF$，
$\therefore$ 点C在$∠DAB$的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
证明 如图,作 $CE$ 垂直$AB$,$CF$ 垂直$AD$ 的延长线,垂足分别为 $E,F$,
$\therefore ∠ BEC=∠ DFC=90°.$
$\because ∠ ADC+∠ ABC=180°,∠ ADC+∠ CDF=180°,\therefore ∠ ABC=∠ CDF.$
在$△ CBE$ 和$△ CDF$ 中，
$\begin{cases} ∠ EBC=∠ FDC, \\ ∠ BEC=∠ DFC, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ CBE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore FC=EC,\therefore$ 点 $C$ 在$∠ DAB$ 的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，补角的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用题型，解题的关键是掌握角平分线判定的条件，通过作垂线段构造全等三角形，将待证的距离相等转化为全等三角形的对应边相等，既考查了辅助线的构造思路，也检验了全等三角形、角平分线相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
要证明点C在∠DAB的平分线上，根据角平分线的判定定理，需证明点C到∠DAB两边AD、AB的距离相等，因此首先考虑过点C分别作AB、AD的垂线，得到两条垂线段。结合已知条件∠ADC+∠ABC=180°，利用同角的补角相等可推出∠ABC=∠CDF，再结合DC=BC和两条垂线形成的直角，即可证明两个直角三角形全等，得到两条垂线段相等，进而完成证明。
【解析】
证明：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，
$\therefore ∠BEC=∠DFC=90°$。
$\because ∠ADC+∠ABC=180°$，$∠ADC+∠CDF=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠ABC=∠CDF$（同角的补角相等）。
在$△ CBE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC \\ ∠BEC=∠DFC \\ BC=DC \end{cases}$
$\therefore △ CBE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FC=EC$（全等三角形的对应边相等）。
$\because CE⊥AB$，$CF⊥AD$，且$CE=CF$，
$\therefore$ 点C在$∠DAB$的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
证明 如图,作 $CE$ 垂直$AB$,$CF$ 垂直$AD$ 的延长线,垂足分别为 $E,F$,
$\therefore ∠ BEC=∠ DFC=90°.$
$\because ∠ ADC+∠ ABC=180°,∠ ADC+∠ CDF=180°,\therefore ∠ ABC=∠ CDF.$
在$△ CBE$ 和$△ CDF$ 中，
$\begin{cases} ∠ EBC=∠ FDC, \\ ∠ BEC=∠ DFC, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ CBE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore FC=EC,\therefore$ 点 $C$ 在$∠ DAB$ 的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，补角的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用题型，解题的关键是掌握角平分线判定的条件，通过作垂线段构造全等三角形，将待证的距离相等转化为全等三角形的对应边相等，既考查了辅助线的构造思路，也检验了全等三角形、角平分线相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$∠ AOB$的两边$OA$，$OB$上分别取$OM=ON$，$OD=OE$，$DN$和$EM$相交于点$C$. 求证：点$C$在$∠ AOB$的平分线上.
答案
5.证明 过点 $C$ 作 $CG⊥ OA$ 于点 $G$，$CF⊥ OB$ 于点 $F$,如图，
在$△ MOE$ 和$△ NOD$ 中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠ MOE=∠ NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
$\therefore △ MOE≌△ NOD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore S_{△ MOE}=S_{△ NOD},$
即 $S_{△ MDC}=S_{△ NEC}.$
$\because OM=ON,OD=OE,$
$\therefore MD=NE,$
$\therefore CG=CF.$
$\because CG⊥ OA,CF⊥ OB,$
$\therefore$ 点 $C$ 在$∠ AOB$ 的平分线上.
解析
【分析】
要证明点C在∠AOB的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到OA、OB的距离相等，因此优先考虑过点C作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，将问题转化为证明CG=CF。首先利用已知边相等和公共角，可证△MOE≌△NOD，得到两个三角形面积相等，减去公共部分的面积后可得△MDC和△NEC面积相等；再由已知边相减推出MD=NE，两个三角形等底、面积相等，因此对应高CG=CF，即可完成证明。
【解析】
证明：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F，如图所示。
在$△ MOE$和$△ NOD$中：
$\begin{cases}OM=ON, \\∠MOE=∠NOD, \\OE=OD,\end{cases}$
$\therefore △ MOE≌△ NOD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore S_{△ MOE}=S_{△ NOD}$，
两边同时减去公共部分四边形ODCE的面积，可得$S_{△ MDC}=S_{△ NEC}$。
$\because OM=ON,OD=OE$，
$\therefore OM-OD=ON-OE$，即$MD=NE$。
$△ MDC$中$MD$边上的高为$CG$，$△ NEC$中$NE$边上的高为$CF$，根据三角形面积公式，面积相等、底相等时对应高相等，因此$CG=CF$。
又$\because CG⊥OA,CF⊥OB$，
根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可得点C在$∠AOB$的平分线上。
【答案】
证明 过点 $C$ 作 $CG⊥ OA$ 于点 $G$，$CF⊥ OB$ 于点 $F$,如图，
在$△ MOE$ 和$△ NOD$ 中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠ MOE=∠ NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
$\therefore △ MOE≌△ NOD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore S_{△ MOE}=S_{△ NOD},$
即 $S_{△ MDC}=S_{△ NEC}.$
$\because OM=ON,OD=OE,$
$\therefore MD=NE,$
$\therefore CG=CF.$
$\because CG⊥ OA,CF⊥ OB,$
$\therefore$ 点 $C$ 在$∠ AOB$ 的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定；SAS证全等；三角形面积性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用题型，解题核心是利用角平分线的判定定理将问题转化为证明点到角两边的距离相等，结合全等三角形的性质和面积关系推导距离相等，巧妙运用面积法简化了证明过程，需熟练掌握角平分线判定定理和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
要证明点C在∠AOB的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到OA、OB的距离相等，因此优先考虑过点C作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，将问题转化为证明CG=CF。首先利用已知边相等和公共角，可证△MOE≌△NOD，得到两个三角形面积相等，减去公共部分的面积后可得△MDC和△NEC面积相等；再由已知边相减推出MD=NE，两个三角形等底、面积相等，因此对应高CG=CF，即可完成证明。
【解析】
证明：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F，如图所示。
在$△ MOE$和$△ NOD$中：
$\begin{cases}OM=ON, \\∠MOE=∠NOD, \\OE=OD,\end{cases}$
$\therefore △ MOE≌△ NOD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore S_{△ MOE}=S_{△ NOD}$，
两边同时减去公共部分四边形ODCE的面积，可得$S_{△ MDC}=S_{△ NEC}$。
$\because OM=ON,OD=OE$，
$\therefore OM-OD=ON-OE$，即$MD=NE$。
$△ MDC$中$MD$边上的高为$CG$，$△ NEC$中$NE$边上的高为$CF$，根据三角形面积公式，面积相等、底相等时对应高相等，因此$CG=CF$。
又$\because CG⊥OA,CF⊥OB$，
根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可得点C在$∠AOB$的平分线上。
【答案】
证明 过点 $C$ 作 $CG⊥ OA$ 于点 $G$，$CF⊥ OB$ 于点 $F$,如图，
在$△ MOE$ 和$△ NOD$ 中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠ MOE=∠ NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
$\therefore △ MOE≌△ NOD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore S_{△ MOE}=S_{△ NOD},$
即 $S_{△ MDC}=S_{△ NEC}.$
$\because OM=ON,OD=OE,$
$\therefore MD=NE,$
$\therefore CG=CF.$
$\because CG⊥ OA,CF⊥ OB,$
$\therefore$ 点 $C$ 在$∠ AOB$ 的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定；SAS证全等；三角形面积性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用题型，解题核心是利用角平分线的判定定理将问题转化为证明点到角两边的距离相等，结合全等三角形的性质和面积关系推导距离相等，巧妙运用面积法简化了证明过程，需熟练掌握角平分线判定定理和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
