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1. (2026 信阳期末)在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$BC=2$，$AB=3$，则下列结论正确的是（
A.$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$
B.$\tan A=\frac{2}{3}$
C.$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\tan B=\sqrt{5}$
C
）A.$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$
B.$\tan A=\frac{2}{3}$
C.$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\tan B=\sqrt{5}$
答案
1. C
解析
【分析】
这是直角三角形中锐角三角函数的辨析题，解题思路如下：首先利用勾股定理求出未知直角边AC的长度，再根据正弦、正切的定义，分别计算各选项涉及的三角函数值，逐一比对选项即可得到正确答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
结合锐角三角函数的定义逐一判断选项：
A选项：$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比，$∠ A$的对边为$BC=2$，因此$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，A错误；
B选项：$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比，$∠ A$的邻边为$AC=\sqrt{5}$，因此$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B错误；
C选项：$\sin B$是$∠ B$的对边与斜边的比，$∠ B$的对边为$AC=\sqrt{5}$，因此$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，C正确；
D选项：$\tan B$是$∠ B$的对边与邻边的比，$∠ B$的邻边为$BC=2$，因此$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正弦的定义，正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，解题核心是先求出未知直角边的长度，再结合三角函数定义对每个选项进行验证，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
这是直角三角形中锐角三角函数的辨析题，解题思路如下：首先利用勾股定理求出未知直角边AC的长度，再根据正弦、正切的定义，分别计算各选项涉及的三角函数值，逐一比对选项即可得到正确答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
结合锐角三角函数的定义逐一判断选项：
A选项：$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比，$∠ A$的对边为$BC=2$，因此$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，A错误；
B选项：$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比，$∠ A$的邻边为$AC=\sqrt{5}$，因此$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B错误；
C选项：$\sin B$是$∠ B$的对边与斜边的比，$∠ B$的对边为$AC=\sqrt{5}$，因此$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，C正确；
D选项：$\tan B$是$∠ B$的对边与邻边的比，$∠ B$的邻边为$BC=2$，因此$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正弦的定义，正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，解题核心是先求出未知直角边的长度，再结合三角函数定义对每个选项进行验证，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在平面直角坐标系内有一点$P(3,4)$，连接$OP$，则$OP$与$x$轴正方向所夹锐角$α$的正弦值是（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
D
）A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
2. D
解析
【分析】
要求锐角α的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。因此我们需要先把α放在直角三角形中求解：先过点P向x轴作垂线，即可得到包含角α的直角三角形；再结合P点坐标得到直角三角形两条直角边的长度，用勾股定理求出斜边OP的长度，最后代入正弦的定义计算就能得到结果。
【解析】
解：过点P作$PA⊥ x$轴，垂足为A。
∵点P的坐标为$(3,4)$，
∴$OA=3$，$PA=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，由勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据锐角正弦的定义，$\sinα=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 勾股定理
3. 点坐标的几何意义
【点评】
本题是基础计算题，将平面直角坐标系与锐角三角函数结合考查，解题的关键是构造出包含所求角的直角三角形，结合勾股定理和三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求锐角α的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。因此我们需要先把α放在直角三角形中求解：先过点P向x轴作垂线，即可得到包含角α的直角三角形；再结合P点坐标得到直角三角形两条直角边的长度，用勾股定理求出斜边OP的长度，最后代入正弦的定义计算就能得到结果。
【解析】
解：过点P作$PA⊥ x$轴，垂足为A。
∵点P的坐标为$(3,4)$，
∴$OA=3$，$PA=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，由勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据锐角正弦的定义，$\sinα=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 勾股定理
3. 点坐标的几何意义
【点评】
本题是基础计算题，将平面直角坐标系与锐角三角函数结合考查，解题的关键是构造出包含所求角的直角三角形，结合勾股定理和三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. (2025衢州一模)如图，$△ ABC$的三个顶点都在$3×1$的正方形网格的格点上，则$\tan B$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
3. A
解析
【分析】
要求$\tan B$的值，需结合正切的定义求解：正切是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，因此首先要构造包含$∠ B$的直角三角形。我们可以设每个小正方形的边长为单位1，过点A作BC的垂线得到直角三角形，再结合网格特征求出$∠ B$的对边和邻边长度，代入定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作$AD⊥ BC$，垂足为D。
由网格可得：$AD=1$，$BD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正切的定义：
$\tan B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义，网格线段长度计算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是构造含所求角的直角三角形，结合网格快速得到直角边长度，再代入三角函数定义计算，是锐角三角函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
要求$\tan B$的值，需结合正切的定义求解：正切是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，因此首先要构造包含$∠ B$的直角三角形。我们可以设每个小正方形的边长为单位1，过点A作BC的垂线得到直角三角形，再结合网格特征求出$∠ B$的对边和邻边长度，代入定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作$AD⊥ BC$，垂足为D。
由网格可得：$AD=1$，$BD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正切的定义：
$\tan B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义，网格线段长度计算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是构造含所求角的直角三角形，结合网格快速得到直角边长度，再代入三角函数定义计算，是锐角三角函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
4. (2025 永州期末)下列三角函数值是有理数的是 （
A.$\sin 30°$
B.$\cos 45°$
C.$\sin 60°$
D.$\tan 30°$
A
）A.$\sin 30°$
B.$\cos 45°$
C.$\sin 60°$
D.$\tan 30°$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先明确两个核心依据：一是30°、45°、60°这几个常见特殊角的三角函数值，二是有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限不循环小数属于无理数）。解题步骤为：依次计算每个选项对应的三角函数值，再判断该值是否为有理数，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们分别计算各选项的三角函数值并判断：
A. $\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数，符合要求；
B. $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不符合要求；
C. $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数，不符合要求；
D. $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{3}$是无理数，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、有理数的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及对有理数、无理数概念的区分，熟练掌握基础概念和常见特殊角的三角函数值即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时先明确两个核心依据：一是30°、45°、60°这几个常见特殊角的三角函数值，二是有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限不循环小数属于无理数）。解题步骤为：依次计算每个选项对应的三角函数值，再判断该值是否为有理数，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们分别计算各选项的三角函数值并判断：
A. $\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数，符合要求；
B. $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不符合要求；
C. $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数，不符合要求；
D. $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{3}$是无理数，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、有理数的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及对有理数、无理数概念的区分，熟练掌握基础概念和常见特殊角的三角函数值即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5. 在$△ ABC$中，$∠ C$，$∠ B$均为锐角，且满足$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$，则$∠ A$的大小为（
A.$100°$
B.$105°$
C.$90°$
D.$60°$
B
）A.$100°$
B.$105°$
C.$90°$
D.$60°$
答案
5. B
解析
【分析】
解题首先要回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此可以先求出sinC和cosB的值，再结合∠C、∠B均为锐角，利用特殊角的三角函数值求出∠C和∠B的度数，最后根据三角形内角和为180°，即可算出∠A的大小。
【解析】
解：
∵绝对值和偶次平方都具有非负性，
∴$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| ≥ 0$，$( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 ≥ 0$，
又
∵$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$，
∴$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| = 0$，$( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$，
即$\sin C = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠C、∠B均为锐角，
∴∠C=45°，∠B=30°，
∵三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-45°-30°=105°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的性质，同时熟记常见特殊锐角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题首先要回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此可以先求出sinC和cosB的值，再结合∠C、∠B均为锐角，利用特殊角的三角函数值求出∠C和∠B的度数，最后根据三角形内角和为180°，即可算出∠A的大小。
【解析】
解：
∵绝对值和偶次平方都具有非负性，
∴$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| ≥ 0$，$( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 ≥ 0$，
又
∵$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$，
∴$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| = 0$，$( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$，
即$\sin C = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠C、∠B均为锐角，
∴∠C=45°，∠B=30°，
∵三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-45°-30°=105°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的性质，同时熟记常见特殊锐角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
6.已知α为锐角，且$\sqrt{3}\tan(90° - α)=1$，则α的大小为
60°
.答案
6. 60°
解析
【分析】
首先对已知等式变形，求出$\tan(90° - α)$的取值，再结合α为锐角的条件，可知$90° - α$也是锐角，结合特殊角的正切函数值得到$90° - α$的度数，最终计算出α的大小。
【解析】
解：已知$\sqrt{3}\tan(90° - α)=1$，
等式两边同时除以$\sqrt{3}$，可得：$\tan(90° - α)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵α是锐角，
∴$0°＜90°-α＜90°$，
又
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$90°-α=30°$，
解得$α=90°-30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
特殊角三角函数值、等式性质、锐角的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊角的三角函数值的应用，解题时需先对已知等式变形求出对应角的三角函数值，再结合锐角的范围确定角的大小，熟练记忆常见特殊角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先对已知等式变形，求出$\tan(90° - α)$的取值，再结合α为锐角的条件，可知$90° - α$也是锐角，结合特殊角的正切函数值得到$90° - α$的度数，最终计算出α的大小。
【解析】
解：已知$\sqrt{3}\tan(90° - α)=1$，
等式两边同时除以$\sqrt{3}$，可得：$\tan(90° - α)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵α是锐角，
∴$0°＜90°-α＜90°$，
又
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$90°-α=30°$，
解得$α=90°-30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
特殊角三角函数值、等式性质、锐角的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊角的三角函数值的应用，解题时需先对已知等式变形求出对应角的三角函数值，再结合锐角的范围确定角的大小，熟练记忆常见特殊角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
7. 计算：
(1) $4\sin 60° - 6\cos 60° \tan 30° + \sin^2 45°$；
(2) $\sqrt{2}\sin 45° + 2\cos 30° + |1 - \tan 60°|$。
(1) $4\sin 60° - 6\cos 60° \tan 30° + \sin^2 45°$；
(2) $\sqrt{2}\sin 45° + 2\cos 30° + |1 - \tan 60°|$。
答案
解:(1)原式$=4×\frac{\sqrt{3}}{2}-6×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}=\sqrt{3}+\frac{1}{2}.$
(2)原式$=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+2×\frac{\sqrt{3}}{2}+(\sqrt{3}-1)=1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}.$
(2)原式$=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+2×\frac{\sqrt{3}}{2}+(\sqrt{3}-1)=1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}.$
解析
【分析】
本题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题思路如下：1. 首先准确记忆30°、45°、60°三个特殊锐角的正弦、余弦、正切函数值；2. 将式子中所有的三角函数替换为对应的数值，若有绝对值，先判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号；3. 按照实数混合运算的顺序：先算乘方、乘法，再算加减，逐步计算得到最终结果。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
原式$=4×\frac{\sqrt{3}}{2}-6×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2$
先计算乘法和乘方：
$4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$6×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$
再计算加减：
$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}=\sqrt{3}+\frac{1}{2}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$；判断绝对值内符号：$1-\sqrt{3}＜0$，因此$|1-\tan60°|=\sqrt{3}-1$
原式$=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+2×\frac{\sqrt{3}}{2}+(\sqrt{3}-1)$
先计算乘法：
$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
再计算加减合并同类项：
$=1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}+\frac{1}{2}$；(2) $2\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是准确记忆特殊锐角的三角函数值，计算时需注意遵循运算顺序，处理绝对值时要先判断符号，避免因代值错误或符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题思路如下：1. 首先准确记忆30°、45°、60°三个特殊锐角的正弦、余弦、正切函数值；2. 将式子中所有的三角函数替换为对应的数值，若有绝对值，先判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号；3. 按照实数混合运算的顺序：先算乘方、乘法，再算加减，逐步计算得到最终结果。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
原式$=4×\frac{\sqrt{3}}{2}-6×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2$
先计算乘法和乘方：
$4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$6×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$
再计算加减：
$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}=\sqrt{3}+\frac{1}{2}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$；判断绝对值内符号：$1-\sqrt{3}＜0$，因此$|1-\tan60°|=\sqrt{3}-1$
原式$=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+2×\frac{\sqrt{3}}{2}+(\sqrt{3}-1)$
先计算乘法：
$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
再计算加减合并同类项：
$=1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}+\frac{1}{2}$；(2) $2\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是准确记忆特殊锐角的三角函数值，计算时需注意遵循运算顺序，处理绝对值时要先判断符号，避免因代值错误或符号错误失分。
【难度系数】
0.8
8. (2025茂名月考)已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，$AB=6$，解这个直角三角形。
答案
8. 解:在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$\because ∠ C=90^{\circ },∠ B=60^{\circ },AB=6$,
$\therefore ∠ A=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ },$
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=3,$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}.$
解析
【分析】
解直角三角形的目标是求出三角形所有未知的角和边。解题思路如下：①先求未知角：直角三角形两个锐角互余，已知∠C=90°、∠B=60°，用90°减去∠B即可得到∠A的度数；②再求短直角边BC：得到∠A=30°后，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，已知斜边AB=6，可直接求出BC的长度；③最后求长直角边AC：已知斜边AB和直角边BC的长度，代入勾股定理计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，已知$∠ C=90^{\circ },∠ B=60^{\circ },AB=6$。
1. 求$∠ A$：
根据直角三角形两锐角互余，得：
$∠ A=90^{\circ }-∠ B=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$
2. 求$BC$：
$∠ A=30^{\circ }$，其对边为$BC$，根据含30°角的直角三角形的性质，得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$
3. 求$AC$：
根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
【答案】
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$\because ∠ C=90^{\circ },∠ B=60^{\circ },AB=6$,
$\therefore ∠ A=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ },$
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=3,$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}.$
【知识点】
1. 直角三角形锐角互余
2. 含30°直角三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题，主要考察直角三角形基础性质的直接应用，解题逻辑清晰，只要熟练掌握相关性质就能快速完成求解。
【难度系数】
0.9
解直角三角形的目标是求出三角形所有未知的角和边。解题思路如下：①先求未知角：直角三角形两个锐角互余，已知∠C=90°、∠B=60°，用90°减去∠B即可得到∠A的度数；②再求短直角边BC：得到∠A=30°后，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，已知斜边AB=6，可直接求出BC的长度；③最后求长直角边AC：已知斜边AB和直角边BC的长度，代入勾股定理计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，已知$∠ C=90^{\circ },∠ B=60^{\circ },AB=6$。
1. 求$∠ A$：
根据直角三角形两锐角互余，得：
$∠ A=90^{\circ }-∠ B=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$
2. 求$BC$：
$∠ A=30^{\circ }$，其对边为$BC$，根据含30°角的直角三角形的性质，得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$
3. 求$AC$：
根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
【答案】
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$\because ∠ C=90^{\circ },∠ B=60^{\circ },AB=6$,
$\therefore ∠ A=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ },$
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=3,$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}.$
【知识点】
1. 直角三角形锐角互余
2. 含30°直角三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题，主要考察直角三角形基础性质的直接应用，解题逻辑清晰，只要熟练掌握相关性质就能快速完成求解。
【难度系数】
0.9
