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三、方位角类问题
3. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习.学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上.老师将学生分成甲、乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000 m，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{6}\approx2.45$).
3. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习.学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上.老师将学生分成甲、乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000 m，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{6}\approx2.45$).
答案
3. 解:如图,过点 B 作 $BE⊥ AC$,垂足为 E.
由题意,得 $∠ ACD=25°$,$∠ BCD=55°$,$∠ FAB=20°$,$AB=1\ 000\ \mathrm{m}$,$CD// FA$,
$\therefore∠ CAF=∠ ACD=25°$,
$\therefore∠ BAC=∠ FAB+∠ CAF=20°+25°=45°$,$∠ ACB=∠ BCD-∠ ACD=55°-25°=30°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AE=AB·\cos45°=1\ 000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$,
$BE=AB·\sin45°=1\ 000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$∠ BCE=30°$,
$\therefore BC=2BE=1\ 000\sqrt{2}(\mathrm{m})$,$CE=\sqrt{3}BE=500\sqrt{6}(\mathrm{m})$,
$\therefore AC=AE+CE=(500\sqrt{2}+500\sqrt{6})\mathrm{m}$,
$\therefore AC-BC=500\sqrt{2}+500\sqrt{6}-1\ 000\sqrt{2}=500\sqrt{6}-500\sqrt{2}\approx520(\mathrm{m})$.
答:甲组同学比乙组同学大约多走 520 m 的路程.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的方位角应用问题，解题思路如下：第一步，先根据方位角的定义以及两条正北方向线平行的性质，求出△ABC的两个内角∠BAC和∠ACB的度数，可得∠BAC=45°，∠ACB=30°，均为特殊角；第二步，考虑通过作辅助线构造直角三角形求解边长，过点B作BE⊥AC，将△ABC分成两个特殊直角三角形Rt△ABE和Rt△BCE；第三步，在Rt△ABE中利用45°角的三角函数值求出AE、BE的长度，再在Rt△BCE中利用30°角的性质和三角函数求出BC、CE的长度；第四步，求出AC的长度后，计算AC与BC的差值，即为甲组比乙组多走的路程。
【解析】
解：如图，过点B作$BE⊥AC$，垂足为E。
由题意得：$∠ACD=25°$，$∠BCD=55°$，$∠FAB=20°$，$AB=1000\ \mathrm{m}$，且正北方向线互相平行，即$CD// FA$，
$\therefore∠CAF=∠ACD=25°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore∠BAC=∠FAB+∠CAF=20°+25°=45°$，
$∠ACB=∠BCD-∠ACD=55°-25°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠ BAE=45°$，
$AE=AB·\cos45°=1000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$，
$BE=AB·\sin45°=1000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$∠ BCE=30°$，
$\therefore BC=2BE=1000\sqrt{2}(\mathrm{m})$，$CE=BE·\cot30°=500\sqrt{2}×\sqrt{3}=500\sqrt{6}(\mathrm{m})$，
$\therefore AC=AE+CE=(500\sqrt{2}+500\sqrt{6})\mathrm{m}$，
$\therefore AC-BC=500\sqrt{2}+500\sqrt{6}-1000\sqrt{2}=500\sqrt{6}-500\sqrt{2}\approx500×(2.45-1.41)=520(\mathrm{m})$。
【答案】
甲组同学比乙组同学大约多走520 m的路程。
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，特殊角的三角函数
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考察方位角向三角形内角的转化能力，以及通过作辅助线构造特殊直角三角形求解边长的方法，既考察了几何基础知识，也锻炼了学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
本题是解直角三角形的方位角应用问题，解题思路如下：第一步，先根据方位角的定义以及两条正北方向线平行的性质，求出△ABC的两个内角∠BAC和∠ACB的度数，可得∠BAC=45°，∠ACB=30°，均为特殊角；第二步，考虑通过作辅助线构造直角三角形求解边长，过点B作BE⊥AC，将△ABC分成两个特殊直角三角形Rt△ABE和Rt△BCE；第三步，在Rt△ABE中利用45°角的三角函数值求出AE、BE的长度，再在Rt△BCE中利用30°角的性质和三角函数求出BC、CE的长度；第四步，求出AC的长度后，计算AC与BC的差值，即为甲组比乙组多走的路程。
【解析】
解：如图，过点B作$BE⊥AC$，垂足为E。
由题意得：$∠ACD=25°$，$∠BCD=55°$，$∠FAB=20°$，$AB=1000\ \mathrm{m}$，且正北方向线互相平行，即$CD// FA$，
$\therefore∠CAF=∠ACD=25°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore∠BAC=∠FAB+∠CAF=20°+25°=45°$，
$∠ACB=∠BCD-∠ACD=55°-25°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠ BAE=45°$，
$AE=AB·\cos45°=1000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$，
$BE=AB·\sin45°=1000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$∠ BCE=30°$，
$\therefore BC=2BE=1000\sqrt{2}(\mathrm{m})$，$CE=BE·\cot30°=500\sqrt{2}×\sqrt{3}=500\sqrt{6}(\mathrm{m})$，
$\therefore AC=AE+CE=(500\sqrt{2}+500\sqrt{6})\mathrm{m}$，
$\therefore AC-BC=500\sqrt{2}+500\sqrt{6}-1000\sqrt{2}=500\sqrt{6}-500\sqrt{2}\approx500×(2.45-1.41)=520(\mathrm{m})$。
【答案】
甲组同学比乙组同学大约多走520 m的路程。
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，特殊角的三角函数
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考察方位角向三角形内角的转化能力，以及通过作辅助线构造特殊直角三角形求解边长的方法，既考察了几何基础知识，也锻炼了学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
四、生活类问题
4. (2026 承德月考)如图①,一扇窗户打开后可以用窗钩 AB 将其固定,窗钩的一个端点 A 固定在窗户底边 OE 上,且 $OA=20\ \mathrm{cm}$,窗钩的另一个端点 B 在窗框边上的滑槽OF 上移动,AB,BO,AO 构成一个三角形.如图②,当窗钩端点 B 与点 O 之间的距离是7 cm 时(即 $OB=7\ \mathrm{cm}$),窗户打开的$∠ AOB$的度数为 $37°$,过点 A 作 $AD⊥ OF$,垂足为 D.
(1)求此时 AD 的长;
(2)求此时 $\sin∠ BAO$ 的值(参考数据: $\tan 37°\approx\frac{3}{4}$).
4. (2026 承德月考)如图①,一扇窗户打开后可以用窗钩 AB 将其固定,窗钩的一个端点 A 固定在窗户底边 OE 上,且 $OA=20\ \mathrm{cm}$,窗钩的另一个端点 B 在窗框边上的滑槽OF 上移动,AB,BO,AO 构成一个三角形.如图②,当窗钩端点 B 与点 O 之间的距离是7 cm 时(即 $OB=7\ \mathrm{cm}$),窗户打开的$∠ AOB$的度数为 $37°$,过点 A 作 $AD⊥ OF$,垂足为 D.
(1)求此时 AD 的长;
(2)求此时 $\sin∠ BAO$ 的值(参考数据: $\tan 37°\approx\frac{3}{4}$).
答案
4. 解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中,$\tan37°=\frac{AD}{OD}\approx\frac{3}{4}$,
设 $AD=3x\ \mathrm{cm}$,$OD=4x\ \mathrm{cm}$,根据勾股定理,得 $AD^2+OD^2=AO^2$,
即 $(3x)^2+(4x)^2=20^2$,解得 $x=4$(负值舍去),
$\therefore AD=12\ \mathrm{cm}$.
(2)如图,过点 B 作 $BG⊥ AO$ 于点 G,
在 $\mathrm{Rt}△ BOG$ 中,$\tan37°=\frac{BG}{OG}\approx\frac{3}{4}$,
设 $BG=3y$,$OG=4y$,根据勾股定理,得 $BG^2+OG^2=BO^2$,
即 $(3y)^2+(4y)^2=7^2$,
解得 $y=\frac{7}{5}$(负值舍去),
$\therefore BG=\frac{21}{5}$,$OG=\frac{28}{5}$,
$\therefore AG=AO-OG=20-\frac{28}{5}=\frac{72}{5}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 中,根据勾股定理,得 $BG^2+AG^2=AB^2$,
即 $(\frac{21}{5})^2+(\frac{72}{5})^2=AB^2$,解得 $AB=15$,
$\therefore\sin∠ BAO=\frac{BG}{AB}=\frac{\frac{21}{5}}{15}=\frac{7}{25}$.
解析
【分析】
(1) 求AD的长时，AD是Rt△AOD的直角边，已知∠AOB=37°、斜边OA=20cm，且给出tan37°的近似值，可先根据正切的定义得到AD与OD的比值关系，设未知数后结合勾股定理列方程求解即可。
(2) 求sin∠BAO的值时，∠BAO不是直角三角形的内角，因此需过点B作BG⊥AO构造含∠BAO的直角三角形ABG。先在Rt△BOG中利用tan37°的比值设未知数，结合OB=7cm用勾股定理求出BG、OG的长度，再计算AG的长度，接着在Rt△ABG中用勾股定理求出AB的长度，最后根据正弦函数的定义即可求出结果。
【解析】
(1) 在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中，$∠ ADO=90°$，$\tan∠ AOB=\tan37°=\frac{AD}{OD}\approx\frac{3}{4}$，
设 $AD=3x\ \mathrm{cm}$，$OD=4x\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，得 $AD^2+OD^2=AO^2$，
即 $(3x)^2+(4x)^2=20^2$，
解得 $x=4$（负值舍去），
$\therefore AD=3×4=12\ \mathrm{cm}$。
(2) 如图，过点 B 作 $BG⊥ AO$ 于点 G，
在 $\mathrm{Rt}△ BOG$ 中，$∠ BGO=90°$，$\tan37°=\frac{BG}{OG}\approx\frac{3}{4}$，
设 $BG=3y\ \mathrm{cm}$，$OG=4y\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，得 $BG^2+OG^2=BO^2$，
即 $(3y)^2+(4y)^2=7^2$，
解得 $y=\frac{7}{5}$（负值舍去），
$\therefore BG=3×\frac{7}{5}=\frac{21}{5}\ \mathrm{cm}$，$OG=4×\frac{7}{5}=\frac{28}{5}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AG=AO-OG=20-\frac{28}{5}=\frac{72}{5}\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 中，根据勾股定理，得 $BG^2+AG^2=AB^2$，
即 $(\frac{21}{5})^2+(\frac{72}{5})^2=AB^2$，
解得 $AB=15\ \mathrm{cm}$，
$\therefore\sin∠ BAO=\frac{BG}{AB}=\frac{\frac{21}{5}}{15}=\frac{7}{25}$。
【答案】
(1) $AD$ 的长为 $\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\sin∠ BAO$ 的值为 $\boldsymbol{\frac{7}{25}}$。
【知识点】
解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题结合窗户固定的生活场景考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握程度。
【难度系数】
0.6
(1) 求AD的长时，AD是Rt△AOD的直角边，已知∠AOB=37°、斜边OA=20cm，且给出tan37°的近似值，可先根据正切的定义得到AD与OD的比值关系，设未知数后结合勾股定理列方程求解即可。
(2) 求sin∠BAO的值时，∠BAO不是直角三角形的内角，因此需过点B作BG⊥AO构造含∠BAO的直角三角形ABG。先在Rt△BOG中利用tan37°的比值设未知数，结合OB=7cm用勾股定理求出BG、OG的长度，再计算AG的长度，接着在Rt△ABG中用勾股定理求出AB的长度，最后根据正弦函数的定义即可求出结果。
【解析】
(1) 在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中，$∠ ADO=90°$，$\tan∠ AOB=\tan37°=\frac{AD}{OD}\approx\frac{3}{4}$，
设 $AD=3x\ \mathrm{cm}$，$OD=4x\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，得 $AD^2+OD^2=AO^2$，
即 $(3x)^2+(4x)^2=20^2$，
解得 $x=4$（负值舍去），
$\therefore AD=3×4=12\ \mathrm{cm}$。
(2) 如图，过点 B 作 $BG⊥ AO$ 于点 G，
在 $\mathrm{Rt}△ BOG$ 中，$∠ BGO=90°$，$\tan37°=\frac{BG}{OG}\approx\frac{3}{4}$，
设 $BG=3y\ \mathrm{cm}$，$OG=4y\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，得 $BG^2+OG^2=BO^2$，
即 $(3y)^2+(4y)^2=7^2$，
解得 $y=\frac{7}{5}$（负值舍去），
$\therefore BG=3×\frac{7}{5}=\frac{21}{5}\ \mathrm{cm}$，$OG=4×\frac{7}{5}=\frac{28}{5}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AG=AO-OG=20-\frac{28}{5}=\frac{72}{5}\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 中，根据勾股定理，得 $BG^2+AG^2=AB^2$，
即 $(\frac{21}{5})^2+(\frac{72}{5})^2=AB^2$，
解得 $AB=15\ \mathrm{cm}$，
$\therefore\sin∠ BAO=\frac{BG}{AB}=\frac{\frac{21}{5}}{15}=\frac{7}{25}$。
【答案】
(1) $AD$ 的长为 $\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\sin∠ BAO$ 的值为 $\boldsymbol{\frac{7}{25}}$。
【知识点】
解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题结合窗户固定的生活场景考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握程度。
【难度系数】
0.6
