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一、仰角、俯角类问题
1. 如图，无人机在离地面 40 m 高的 D 处，测得操控者 A 的俯角为 $30°$，测得楼 BC 楼顶 C 处的俯角为 $45°$，又经过人工测量得到操控者 A 和大楼 BC 之间的水平距离是 80 m，则楼 BC 的高度是多少米（点 A，B，C，D 都在同一平面内，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$）？
1. 如图，无人机在离地面 40 m 高的 D 处，测得操控者 A 的俯角为 $30°$，测得楼 BC 楼顶 C 处的俯角为 $45°$，又经过人工测量得到操控者 A 和大楼 BC 之间的水平距离是 80 m，则楼 BC 的高度是多少米（点 A，B，C，D 都在同一平面内，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$）？
答案
1. 解:如图,过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,过点 C 作 $CF⊥ DE$ 于点 F,
则四边形 BCFE 是矩形.
由题意,得 $AB=80\ \mathrm{m},DE=40\ \mathrm{m},∠ ADE=90°-30°=60°$,
$∠ CDF=90°-45°=45°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$∠ AED=90°$.
$\because\tan∠ ADE=\frac{AE}{DE}=\tan60°=\sqrt{3}$,
$\therefore AE=\sqrt{3}DE=40\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore BE=AB-AE=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$.
$\because$ 四边形 BCFE 是矩形,
$\therefore CF=BE=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ DCF$ 中,$∠ DFC=90°$,$∠ CDF=∠ DCF=45°$,
$\therefore DF=CF=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$,
$\therefore BC=EF=DE-DF=40-80+40\sqrt{3}\approx28(\mathrm{m})$.
答:楼 BC 的高度约为 28 m.
解析
【分析】
这是一道俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先通过作辅助线将不规则图形拆分为熟悉的矩形和直角三角形：过D作DE⊥AB，过C作CF⊥DE，得到矩形BCFE和两个直角三角形Rt△ADE、Rt△DCF。先利用俯角30°推导得到Rt△ADE中∠ADE=60°，通过正切函数求出AE的长度，再结合AB的长度算出BE的长度，利用矩形对边相等的性质得到CF=BE。再根据俯角45°可知Rt△DCF是等腰直角三角形，可得DF=CF，最后根据BC=EF=DE-DF代入数值计算即可得到楼的高度。
【解析】
如图，过点D作$DE⊥ AB$于点E，过点C作$CF⊥ DE$于点F，则四边形BCFE是矩形。
由题意得：$AB=80\ \mathrm{m},DE=40\ \mathrm{m},∠ ADE=90°-30°=60°$，$∠ CDF=90°-45°=45°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，
$\because\tan∠ ADE=\frac{AE}{DE}=\tan60°=\sqrt{3}$，
$\therefore AE=\sqrt{3}DE=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AE=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
$\because$ 四边形BCFE是矩形，
$\therefore CF=BE=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCF$中，$∠ DFC=90°$，$∠ CDF=∠ DCF=45°$，
$\therefore DF=CF=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=EF=DE-DF=40-(80-40\sqrt{3})=40\sqrt{3}-40\approx40×1.7-40=28\ \mathrm{m}$。
【答案】
解:如图,过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,过点 C 作 $CF⊥ DE$ 于点 F,
则四边形 BCFE 是矩形.
由题意,得 $AB=80\ \mathrm{m},DE=40\ \mathrm{m},∠ ADE=90°-30°=60°$,
$∠ CDF=90°-45°=45°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$∠ AED=90°$.
$\because\tan∠ ADE=\frac{AE}{DE}=\tan60°=\sqrt{3}$,
$\therefore AE=\sqrt{3}DE=40\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore BE=AB-AE=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$.
$\because$ 四边形 BCFE 是矩形,
$\therefore CF=BE=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ DCF$ 中,$∠ DFC=90°$,$∠ CDF=∠ DCF=45°$,
$\therefore DF=CF=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$,
$\therefore BC=EF=DE-DF=40-80+40\sqrt{3}\approx28(\mathrm{m})$.
答:楼 BC 的高度约为 28 m.
【知识点】
俯角问题应用，矩形的性质，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，解题核心是合理构造辅助线，将实际场景中的角度、长度条件转化为几何图形的边角关系，再结合三角函数和特殊图形的性质求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先通过作辅助线将不规则图形拆分为熟悉的矩形和直角三角形：过D作DE⊥AB，过C作CF⊥DE，得到矩形BCFE和两个直角三角形Rt△ADE、Rt△DCF。先利用俯角30°推导得到Rt△ADE中∠ADE=60°，通过正切函数求出AE的长度，再结合AB的长度算出BE的长度，利用矩形对边相等的性质得到CF=BE。再根据俯角45°可知Rt△DCF是等腰直角三角形，可得DF=CF，最后根据BC=EF=DE-DF代入数值计算即可得到楼的高度。
【解析】
如图，过点D作$DE⊥ AB$于点E，过点C作$CF⊥ DE$于点F，则四边形BCFE是矩形。
由题意得：$AB=80\ \mathrm{m},DE=40\ \mathrm{m},∠ ADE=90°-30°=60°$，$∠ CDF=90°-45°=45°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，
$\because\tan∠ ADE=\frac{AE}{DE}=\tan60°=\sqrt{3}$，
$\therefore AE=\sqrt{3}DE=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AE=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
$\because$ 四边形BCFE是矩形，
$\therefore CF=BE=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCF$中，$∠ DFC=90°$，$∠ CDF=∠ DCF=45°$，
$\therefore DF=CF=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=EF=DE-DF=40-(80-40\sqrt{3})=40\sqrt{3}-40\approx40×1.7-40=28\ \mathrm{m}$。
【答案】
解:如图,过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,过点 C 作 $CF⊥ DE$ 于点 F,
则四边形 BCFE 是矩形.
由题意,得 $AB=80\ \mathrm{m},DE=40\ \mathrm{m},∠ ADE=90°-30°=60°$,
$∠ CDF=90°-45°=45°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$∠ AED=90°$.
$\because\tan∠ ADE=\frac{AE}{DE}=\tan60°=\sqrt{3}$,
$\therefore AE=\sqrt{3}DE=40\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore BE=AB-AE=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$.
$\because$ 四边形 BCFE 是矩形,
$\therefore CF=BE=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ DCF$ 中,$∠ DFC=90°$,$∠ CDF=∠ DCF=45°$,
$\therefore DF=CF=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$,
$\therefore BC=EF=DE-DF=40-80+40\sqrt{3}\approx28(\mathrm{m})$.
答:楼 BC 的高度约为 28 m.
【知识点】
俯角问题应用，矩形的性质，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，解题核心是合理构造辅助线，将实际场景中的角度、长度条件转化为几何图形的边角关系，再结合三角函数和特殊图形的性质求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
二、坡度类问题
2. 如图是某人行天桥的截面示意图，坡面AB的长度为10 m，坡度为$1:\frac{4}{3}$. 为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为$1:\sqrt{3}$.
(1)求新坡面AC的长度；
(2)若需在C点的左侧留出3 m的通道，判断距离B点5 m的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$).
2. 如图是某人行天桥的截面示意图，坡面AB的长度为10 m，坡度为$1:\frac{4}{3}$. 为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为$1:\sqrt{3}$.
(1)求新坡面AC的长度；
(2)若需在C点的左侧留出3 m的通道，判断距离B点5 m的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$).
答案
2. 解:(1)如图,过点 A 作 $AD⊥ CB$,交 CB 的延长线于点 D.
$\because$ 斜坡 AB 的坡度为 $1:\frac{4}{3}$,设 $AD=3x\ \mathrm{m}$,
则 $BD=4x\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AB^2=AD^2+BD^2$,
即 $10^2=(3x)^2+(4x)^2$,解得 $x=2$(负值已舍),
$\therefore AD=3x=6\ \mathrm{m},BD=4x=8\ \mathrm{m}$.
$\because$ 斜坡 AC 的坡度为 $1:\sqrt{3}$,$\therefore\tan∠ ACD=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore∠ ACD=30°$,$\therefore AC=2AD=12\ \mathrm{m}$.
$\therefore$ 新坡面 AC 的长度为 12 m.
(2) 距离 B 点 5 m 的文化墙 PM 需要拆除.
理由如下:在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$∠ ACD=30°$,
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan∠ ACD}=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,
$\therefore BC=CD-BD=(6\sqrt{3}-8)\mathrm{m}$.
$\because 6\sqrt{3}-8+3\approx5.2＞5$,
$\therefore$ 距离 B 点 5 m 的文化墙 PM 需要拆除.
解析
【分析】
解决坡度类问题的核心是通过作垂直于水平面的辅助线构造直角三角形，将坡度转化为直角三角形两条直角边的比值进行计算。(1)先结合坡面AB的坡度和已知长度，用勾股定理求出天桥的垂直高度AD，再根据新坡面AC的坡度，利用直角三角形的边角关系求解AC的长度；(2)先求出新坡面的水平宽度CD，计算得到BC的长度，再通过判断C点左侧留3m通道时的总长度与5m的大小关系，即可确定文化墙是否需要拆除。
【解析】
(1) 如图，过点A作$AD⊥CB$，交CB的延长线于点D。
$\because$ 斜坡AB的坡度为$1:\frac{4}{3}$，即$\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4}$，设$AD=3x\ \mathrm{m}$，则$BD=4x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AB^2=AD^2+BD^2$，
代入$AB=10\ \mathrm{m}$得$10^2=(3x)^2+(4x)^2$，解得$x=2$（负值不符合实际，舍去），
$\therefore AD=3×2=6\ \mathrm{m}$，$BD=4×2=8\ \mathrm{m}$。
$\because$ 斜坡AC的坡度为$1:\sqrt{3}$，$\therefore\tan∠ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore∠ACD=30°$，$\therefore AC=2AD=12\ \mathrm{m}$。
(2) 距离B点5 m的文化墙PM需要拆除，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ACD=30°$，
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan∠ACD}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CD-BD=(6\sqrt{3}-8)\mathrm{m}$。
代入$\sqrt{3}\approx1.7$得：$6\sqrt{3}-8+3\approx6×1.7-5=5.2＞5$，因此文化墙PM需要拆除。
【答案】
(1) 新坡面AC的长度为12 m；
(2) 距离B点5 m的文化墙PM需要拆除，理由如上。
【知识点】
坡度坡角问题，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题型，解题关键是准确理解坡度的定义，通过作高构造直角三角形，结合直角三角形的边角关系和勾股定理求解，最后结合实际场景进行数值比较即可得出结论。
【难度系数】
0.65
解决坡度类问题的核心是通过作垂直于水平面的辅助线构造直角三角形，将坡度转化为直角三角形两条直角边的比值进行计算。(1)先结合坡面AB的坡度和已知长度，用勾股定理求出天桥的垂直高度AD，再根据新坡面AC的坡度，利用直角三角形的边角关系求解AC的长度；(2)先求出新坡面的水平宽度CD，计算得到BC的长度，再通过判断C点左侧留3m通道时的总长度与5m的大小关系，即可确定文化墙是否需要拆除。
【解析】
(1) 如图，过点A作$AD⊥CB$，交CB的延长线于点D。
$\because$ 斜坡AB的坡度为$1:\frac{4}{3}$，即$\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4}$，设$AD=3x\ \mathrm{m}$，则$BD=4x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AB^2=AD^2+BD^2$，
代入$AB=10\ \mathrm{m}$得$10^2=(3x)^2+(4x)^2$，解得$x=2$（负值不符合实际，舍去），
$\therefore AD=3×2=6\ \mathrm{m}$，$BD=4×2=8\ \mathrm{m}$。
$\because$ 斜坡AC的坡度为$1:\sqrt{3}$，$\therefore\tan∠ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore∠ACD=30°$，$\therefore AC=2AD=12\ \mathrm{m}$。
(2) 距离B点5 m的文化墙PM需要拆除，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ACD=30°$，
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan∠ACD}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CD-BD=(6\sqrt{3}-8)\mathrm{m}$。
代入$\sqrt{3}\approx1.7$得：$6\sqrt{3}-8+3\approx6×1.7-5=5.2＞5$，因此文化墙PM需要拆除。
【答案】
(1) 新坡面AC的长度为12 m；
(2) 距离B点5 m的文化墙PM需要拆除，理由如上。
【知识点】
坡度坡角问题，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题型，解题关键是准确理解坡度的定义，通过作高构造直角三角形，结合直角三角形的边角关系和勾股定理求解，最后结合实际场景进行数值比较即可得出结论。
【难度系数】
0.65
