9. 如图,已知△ABD中,AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC=$\frac{4}{5}$,BE为AD边上的中线.
(1)求AC的长;
(2)求△BED的面积.

9. 解:(1)$\because AC⊥ BD,\therefore ∠ ACB=∠ ACD=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\cos∠ ABC=\frac{BC}{AB},$
$\therefore AB=\frac{8}{\frac{4}{5}}=10,\therefore AC=\sqrt{10^2-8^2}=6.$
(2)$\because BE$ 为 $AD$ 边上的中线,
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}.$
又 $\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· BD· AC=\frac{1}{2}×12×6=36,$
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}×36=18.$

【分析】
（1）求AC的长时，首先观察到AC在直角三角形ABC中，已知∠ABC的余弦值和邻边BC的长度，可先根据余弦的定义求出斜边AB的长度，再结合勾股定理即可算出AC的长度。
（2）求△BED的面积时，已知BE是AD边上的中线，根据三角形中线的性质，中线会把三角形分成面积相等的两个小三角形，因此△BED的面积是△ABD面积的一半，先求出△ABD的面积，再除以2就能得到△BED的面积。
【解析】
(1) $\because AC⊥ BD$，$\therefore ∠ ACB=∠ ACD=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}$，将$BC=8$，$\cos∠ ABC=\frac{4}{5}$代入得：
$AB=\frac{BC}{\cos∠ ABC}=\frac{8}{\frac{4}{5}}=10$
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
(2) $\because BE$为$AD$边上的中线，$\therefore E$是$AD$的中点，$△ BED$与$△ ABD$同高，底$ED=\frac{1}{2}AD$，因此$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$。
先计算$△ ABD$的面积：$BD=BC+CD=8+4=12$，高为$AC=6$，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· BD· AC=\frac{1}{2}×12×6=36$
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}×36=18$
【答案】
(1) $AC$的长为$6$；(2) $△ BED$的面积为$18$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形中线性质
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，解题核心是灵活运用直角三角形的边角关系求边长，再结合三角形中线的面积性质简化计算，掌握相关基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

10.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$E$是$BC$边上一点,过点$E$作$ED⊥ AC$,垂足为$D$,$AB=8$,$DE=6$,$∠ C=30°$,求$BE$的长.

10. 解:在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$\sin C=\frac{DE}{CE},∠ C=30°,$
$\therefore CE=\frac{DE}{\sin 30°}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\tan C=\frac{AB}{BC},$
$\therefore BC=\frac{AB}{\tan 30°}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=8\sqrt{3},$
$\therefore BE=BC-CE=8\sqrt{3}-12.$

【分析】
要求BE的长，观察图形可知$BE=BC-CE$，因此只需分别求出BC和CE的长度即可。已知$Rt△CDE$和$Rt△ABC$都含有$30°$角$∠ C$，且分别给出了边DE、AB的长度，可结合锐角三角函数的定义，先在$Rt△CDE$中利用正弦函数求出CE，再在$Rt△ABC$中利用正切函数求出BC，最后作差得到BE的长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$∠ EDC=90°$，根据正弦函数的定义：$\sin C=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{DE}{CE}$，
已知$∠ C=30°$，$DE=6$，
$\therefore CE=\frac{DE}{\sin 30°}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=90°$，根据正切函数的定义：$\tan C=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AB}{BC}$，
已知$AB=8$，
$\therefore BC=\frac{AB}{\tan 30°}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=8\sqrt{3}$。
$\therefore BE=BC-CE=8\sqrt{3}-12$。
【答案】
$8\sqrt{3}-12$
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形，线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是将待求线段拆分为两条可通过直角三角形求解的线段的差，需注意准确区分不同锐角三角函数对应的边的比例关系，避免混淆正弦、正切的对应边而出错。
【难度系数】
0.7

11.如图,甲、乙两楼相距 30 m,乙楼高度为 36 m,自甲楼顶 A 处看乙楼顶 B 处的仰角为 $30°$,则甲楼的高度为 ()


A.15 m
B.$(36 - 10\sqrt{3})$ m
C.$15\sqrt{3}$ m
D.$(36 - 15\sqrt{3})$ m

11. B

【分析】
遇到此类仰角类实际应用题，首先要将实际场景转化为直角三角形几何模型：过甲楼顶A作水平线垂直乙楼，得到直角三角形，其中水平直角边为两楼间距30m，仰角30°为直角三角形的已知锐角，竖直直角边为两楼的高度差。先通过锐角三角函数求出高度差，再用乙楼总高度减去高度差即可得到甲楼高度。
【解析】
过点A作AC⊥乙楼侧边，垂足为C，由题意可知：
$AC=30\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=30°$，乙楼总高度为$36\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$，
代入数值可得：$BC=AC·\tan30°=30×\frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
则甲楼的高度为：$36-BC=(36-10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，仰角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，解题关键是正确构造直角三角形，明确已知边角对应的实际意义，结合三角函数公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7

12.如图,已知点C处有一个高空探测气球,从点C处测得水平地面上A,B两点的俯角分别为$30°$和$45°$.若$AB=2$ km,则A,C两点之间的距离为km.

12. $(2+2\sqrt{3})$

【分析】
这是一道解直角三角形的俯角应用问题，解题第一步需构造直角三角形：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D。根据俯角定义和平行线内错角相等的性质，可得∠A=30°，∠CBD=45°。此时Rt△CDA和Rt△CDB有公共直角边CD，设CD为未知数，用含未知数的式子分别表示AD、BD的长度，再利用AD-BD=AB=2km列方程求解，最后根据含30°角的直角三角形的性质求出AC的长度即可。
【解析】
过点C作$CD⊥ AB$，交AB的延长线于点D。
由俯角定义结合平行线内错角相等的性质可得：$∠ A=30°$，$∠ CBD=45°$。
在$Rt△ CDB$中，$∠ CBD=45°$，$∠ CDB=90°$，因此$△ CDB$是等腰直角三角形，即$CD=BD$。
在$Rt△ CDA$中，$∠ A=30°$，$∠ CDA=90°$，因此$AC=2CD$，$AD=CD·\cot30°=\sqrt{3}CD$。
已知$AB=2\mathrm{km}$，且$AD-BD=AB$，代入线段关系得：
$\sqrt{3}CD - CD = 2$
整理得$CD(\sqrt{3}-1)=2$，分母有理化解得$CD=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$。
因此$AC=2CD=2(\sqrt{3}+1)=2+2\sqrt{3}\ (\mathrm{km})$。
【答案】
$(2+2\sqrt{3})$
【知识点】
解直角三角形的俯角应用；特殊角的三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角函数实际应用的常规题型，解题核心是合理作辅助线构造含公共边的直角三角形，利用特殊角的三角函数值建立线段关系，结合已知条件列方程求解，对学生的几何建模能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

13. (2026 株洲期末)如图,一楼房 AB 后有一假山,CD 的坡度 $i=1:\sqrt{3}$,山坡坡面上 E 点处有一休息亭,测得假山脚与楼房水平距离 $BC=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,与亭子距离 $CE=8\ \mathrm{m}$,小丽从楼房房顶测得 E 的俯角为 $45°$.
(1)求点 E 到水平地面的距离 EF 的高度;
(2)求楼房 AB 的高(结果保留根号).

13. 解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,
$\because i=\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan∠ ECF,$
$\therefore ∠ ECF=30°,$
$\therefore EF=\frac{1}{2}CE=4(\mathrm{m}).$
(2)如图,过点 $E$ 作 $EH⊥ AB$ 于点 $H$,

在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,由勾股定理,得 $CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=4\sqrt{3}(\mathrm{m}),$
$\therefore BH=EF=4\ \mathrm{m},HE=BF=BC+CF=14\sqrt{3}(\mathrm{m}),$
在 $\mathrm{Rt}△ AHE$ 中,$\because ∠ HAE=90°-45°=45°,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AHE$ 为等腰直角三角形,
$\therefore AH=HE=14\sqrt{3}(\mathrm{m}),$
$\therefore AB=AH+HB=(4+14\sqrt{3})\mathrm{m}.$
$\therefore$ 楼房 $AB$ 的高为 $(4+14\sqrt{3})\mathrm{m}.$

【分析】
（1）求EF的高度，可利用山坡的坡度定义分析：坡度i是坡面垂直高度与水平宽度的比值，对应Rt△CEF中∠ECF的正切值，由此可推出∠ECF的度数，再结合直角三角形中30°角对的直角边等于斜边一半的性质，代入CE的长度即可求出EF。
（2）求AB的高度，已知楼顶A看E的俯角为45°，需构造含该角的直角三角形：过E作EH⊥AB于H，将AB拆分为AH和HB两段，其中HB和EF长度相等，HE和BF长度相等；先通过勾股定理算出CF的长度，得到HE的长度，再由俯角45°推出△AHE为等腰直角三角形，得到AH=HE，最后将AH与HB相加即可得到AB的高度。
【解析】
(1) 在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,
$\because$ 坡度 $i=\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan∠ ECF,$
$\therefore ∠ ECF=30°,$
$\therefore EF=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m}).$
(2) 如图,过点 $E$ 作 $EH⊥ AB$ 于点 $H$,

在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,由勾股定理,得 $CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}(\mathrm{m}),$
$\therefore BH=EF=4\ \mathrm{m},HE=BF=BC+CF=10\sqrt{3}+4\sqrt{3}=14\sqrt{3}(\mathrm{m}),$
在 $\mathrm{Rt}△ AHE$ 中,$\because$ 从A点看E点的俯角为$45°$,
$\therefore ∠ HAE=90°-45°=45°,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AHE$ 为等腰直角三角形,
$\therefore AH=HE=14\sqrt{3}(\mathrm{m}),$
$\therefore AB=AH+HB=14\sqrt{3}+4=(4+14\sqrt{3})\mathrm{m}.$
【答案】
(1) 点E到水平地面的距离EF的高度为$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$；
(2) 楼房AB的高为$\boldsymbol{(4+14\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$。

【知识点】
1. 坡度坡角问题
2. 仰角俯角问题
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题核心是将实际场景中的坡度、俯角条件转化为直角三角形的边角关系，同时需要掌握合理构造辅助线拆分线段的方法，能够很好地考查学生对解直角三角形相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7