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14.如图,一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上,轮船沿着正北方向航行20 n mile到达B处,此时测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上,测得港口C位于B的北偏东45°方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上.
(1)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号);
(2)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).
(1)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号);
(2)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).
答案
14. 解:(1)如图,过点 $M$ 作 $ME⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$,
$\because ∠ DBM=∠ A+∠ AMB=30°+∠ AMB=60°,$
$\therefore ∠ AMB=30°,$
$\therefore △ ABM$ 是等腰三角形,
$\therefore BM=AB=20\ \mathrm{n\ mile}.$
在 $\mathrm{Rt}△ BEM$ 中,$∠ EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile},$
$\therefore EM=BM· \sin∠ EBM=20× \sin\ 60°=20× \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}(\mathrm{n\ mile}).$
答:灯塔 $M$ 到轮船航线 $AB$ 的距离为 $10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}.$
(2)如图,过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $D$.
$\because CD⊥ AB,ME⊥ AB,AB,MC$ 都是正北方向,
$\therefore$ 四边形 $CDEM$ 是矩形,
$\therefore CD=EM=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile},DE=CM.$
在 $\mathrm{Rt}△ BEM$ 中,$∠ EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile},$
$\therefore BE=BM· \cos∠ EBM=20× \cos\ 60°=20× \frac{1}{2}=10(\mathrm{n\ mile}).$
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDB$ 中,$∠ DBC=45°,$
$\therefore △ CDB$ 是等腰直角三角形,
$\therefore CD=BD=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile},$
$\therefore CM=DE=BD-BE=10\sqrt{3}-10=10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}.$
答:港口 $C$ 与灯塔 $M$ 的距离为 $10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}.$
解析
【分析】
本题可通过作辅助线构造直角三角形，结合角度关系与特殊几何图形的性质求解：
(1) 求灯塔M到航线AB的距离，需过点M作ME垂直AB的延长线于点E。首先根据方位角可得∠A=30°，∠EBM=60°，利用三角形外角性质推出∠AMB=∠A=30°，得到等腰△ABM，即BM=AB=20 n mile，再在Rt△BEM中利用正弦函数即可求出ME的长度，也就是M到AB的距离。
(2) 求港口C与灯塔M的距离，需过点C作CD垂直AB的延长线于点D。由CM、AB均为正北方向，CD、ME均垂直AB，可判定四边形CDEM为矩形，因此CM=DE、CD=ME。先在Rt△BEM中利用余弦函数求出BE的长度，再根据∠DBC=45°判定Rt△CDB为等腰直角三角形，得到BD=CD，最后用BD减去BE即可求出CM的长度。
【解析】
(1) 如图，过点 $M$ 作 $ME⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$,
$\because ∠ DBM=∠ A+∠ AMB=30°+∠ AMB=60°,$
$\therefore ∠ AMB=30°,$
$\therefore △ ABM$ 是等腰三角形,
$\therefore BM=AB=20\ \mathrm{n\ mile}.$
在 $\mathrm{Rt}△ BEM$ 中,$∠ EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile},$
$\therefore EM=BM· \sin∠ EBM=20× \sin\ 60°=20× \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}(\mathrm{n\ mile}).$
(2) 如图，过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $D$.
$\because CD⊥ AB,ME⊥ AB,AB,MC$ 都是正北方向,
$\therefore$ 四边形 $CDEM$ 是矩形,
$\therefore CD=EM=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile},DE=CM.$
在 $\mathrm{Rt}△ BEM$ 中,$∠ EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile},$
$\therefore BE=BM· \cos∠ EBM=20× \cos\ 60°=20× \frac{1}{2}=10(\mathrm{n\ mile}).$
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDB$ 中,$∠ DBC=45°,$
$\therefore △ CDB$ 是等腰直角三角形,
$\therefore CD=BD=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile},$
$\therefore CM=DE=BD-BE=10\sqrt{3}-10=10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}.$
【答案】
(1) 灯塔 $M$ 到轮船航线 $AB$ 的距离为 $10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$；
(2) 港口 $C$ 与灯塔 $M$ 的距离为 $10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
【知识点】
解直角三角形的方位角应用；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际方位问题中的典型应用，解题核心是通过作高构造直角三角形，将实际方位关系转化为几何图形中的角度、边长关系，结合特殊角的三角函数值、特殊三角形与矩形的性质完成计算，能有效考查学生的几何建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
本题可通过作辅助线构造直角三角形，结合角度关系与特殊几何图形的性质求解：
(1) 求灯塔M到航线AB的距离，需过点M作ME垂直AB的延长线于点E。首先根据方位角可得∠A=30°，∠EBM=60°，利用三角形外角性质推出∠AMB=∠A=30°，得到等腰△ABM，即BM=AB=20 n mile，再在Rt△BEM中利用正弦函数即可求出ME的长度，也就是M到AB的距离。
(2) 求港口C与灯塔M的距离，需过点C作CD垂直AB的延长线于点D。由CM、AB均为正北方向，CD、ME均垂直AB，可判定四边形CDEM为矩形，因此CM=DE、CD=ME。先在Rt△BEM中利用余弦函数求出BE的长度，再根据∠DBC=45°判定Rt△CDB为等腰直角三角形，得到BD=CD，最后用BD减去BE即可求出CM的长度。
【解析】
(1) 如图，过点 $M$ 作 $ME⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$,
$\because ∠ DBM=∠ A+∠ AMB=30°+∠ AMB=60°,$
$\therefore ∠ AMB=30°,$
$\therefore △ ABM$ 是等腰三角形,
$\therefore BM=AB=20\ \mathrm{n\ mile}.$
在 $\mathrm{Rt}△ BEM$ 中,$∠ EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile},$
$\therefore EM=BM· \sin∠ EBM=20× \sin\ 60°=20× \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}(\mathrm{n\ mile}).$
(2) 如图，过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $D$.
$\because CD⊥ AB,ME⊥ AB,AB,MC$ 都是正北方向,
$\therefore$ 四边形 $CDEM$ 是矩形,
$\therefore CD=EM=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile},DE=CM.$
在 $\mathrm{Rt}△ BEM$ 中,$∠ EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile},$
$\therefore BE=BM· \cos∠ EBM=20× \cos\ 60°=20× \frac{1}{2}=10(\mathrm{n\ mile}).$
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDB$ 中,$∠ DBC=45°,$
$\therefore △ CDB$ 是等腰直角三角形,
$\therefore CD=BD=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile},$
$\therefore CM=DE=BD-BE=10\sqrt{3}-10=10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}.$
【答案】
(1) 灯塔 $M$ 到轮船航线 $AB$ 的距离为 $10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$；
(2) 港口 $C$ 与灯塔 $M$ 的距离为 $10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
【知识点】
解直角三角形的方位角应用；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际方位问题中的典型应用，解题核心是通过作高构造直角三角形，将实际方位关系转化为几何图形中的角度、边长关系，结合特殊角的三角函数值、特殊三角形与矩形的性质完成计算，能有效考查学生的几何建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
15. (应用意识)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
(1)求线段 CE 和 BC 的长度(结果保留整数)；
(2)求底座的底面 ABCD 的面积(结果保留整数).
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
(1)求线段 CE 和 BC 的长度(结果保留整数)；
(2)求底座的底面 ABCD 的面积(结果保留整数).
答案
15. 解:(1)$\because GH⊥ CE,EF$ 的长为 $4\ \mathrm{m},∠ CFG=60.3°,$
$\therefore \tan∠ CFE=\tan\ 60.3°=\frac{CE}{EF}\approx1.75,$
$\therefore CE=4×1.75=7(\mathrm{m}).$
$\because ∠ BFG=45°,\therefore BE=EF=4\ \mathrm{m},$
$\therefore BC=CE-BE=7-4=3(\mathrm{m}).$
(2)如图,过点 $A$ 作 $AM⊥ GH$ 于点 $M$.
$\because ∠ AFG=21.8°,$
$\therefore \tan∠ AFG=\tan\ 21.8°=\frac{AM}{MF}\approx0.4.$
$\because AM=BE=4\ \mathrm{m},\therefore MF=4÷0.4=10(\mathrm{m}),$
$\therefore AB=ME=MF-EF=10-4=6(\mathrm{m}),$
又 $\because BC=3,$
$\therefore$ 底座的底面 $ABCD$ 的面积为 $3×6=18(\mathrm{m}^2).$
解析
【分析】
解题思路如下：(1)求CE和BC的长度：首先由$GH⊥ CE$可得$△ CEF$、$△ BEF$均为直角三角形，已知EF的长度和$∠ CFG$的度数，利用正切三角函数可直接求出CE的长度；再根据$∠ BFG=45°$，可判断$△ BEF$为等腰直角三角形，得到$BE=EF$，最后用CE减BE即可得到BC的长度。(2)求矩形ABCD的面积：矩形面积=长×宽，已求出BC的长度，只需再求出AB的长度即可。过点A作$AM⊥ GH$于M，结合矩形的性质可知$AM=BE$、$AB=ME$，在$\mathrm{Rt}△ AMF$中利用$∠ AFG$的正切值求出MF的长度，再用MF减EF得到ME即AB的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because GH⊥ CE$，$\therefore ∠ CEF=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$EF=4\ \mathrm{m}$，$∠ CFG=60.3°$，
$\therefore \tan∠ CFE=\tan60.3°=\frac{CE}{EF}\approx1.75$，
$\therefore CE=EF×1.75=4×1.75=7(\mathrm{m})$。
$\because ∠ BFG=45°$，$∠ BEF=90°$，
$\therefore △ BEF$为等腰直角三角形，$\therefore BE=EF=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CE-BE=7-4=3(\mathrm{m})$。
(2) 如图，过点$A$作$AM⊥ GH$于点$M$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB// GH$，$AM=BE=4\ \mathrm{m}$，$AB=ME$。
在$\mathrm{Rt}△ AMF$中，$∠ AFG=21.8°$，
$\therefore \tan∠ AFG=\tan21.8°=\frac{AM}{MF}\approx0.4$，
$\therefore MF=\frac{AM}{0.4}=\frac{4}{0.4}=10(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=ME=MF-EF=10-4=6(\mathrm{m})$。
$\therefore$ 矩形$ABCD$的面积$=AB× BC=6×3=18(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) $CE$的长度为$7\ \mathrm{m}$，$BC$的长度为$3\ \mathrm{m}$；
(2) 底座的底面$ABCD$的面积为$18\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合实际测量场景命题，将几何知识融入生活实践，解题核心是通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求解未知线段长度，能有效提升学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：(1)求CE和BC的长度：首先由$GH⊥ CE$可得$△ CEF$、$△ BEF$均为直角三角形，已知EF的长度和$∠ CFG$的度数，利用正切三角函数可直接求出CE的长度；再根据$∠ BFG=45°$，可判断$△ BEF$为等腰直角三角形，得到$BE=EF$，最后用CE减BE即可得到BC的长度。(2)求矩形ABCD的面积：矩形面积=长×宽，已求出BC的长度，只需再求出AB的长度即可。过点A作$AM⊥ GH$于M，结合矩形的性质可知$AM=BE$、$AB=ME$，在$\mathrm{Rt}△ AMF$中利用$∠ AFG$的正切值求出MF的长度，再用MF减EF得到ME即AB的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because GH⊥ CE$，$\therefore ∠ CEF=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$EF=4\ \mathrm{m}$，$∠ CFG=60.3°$，
$\therefore \tan∠ CFE=\tan60.3°=\frac{CE}{EF}\approx1.75$，
$\therefore CE=EF×1.75=4×1.75=7(\mathrm{m})$。
$\because ∠ BFG=45°$，$∠ BEF=90°$，
$\therefore △ BEF$为等腰直角三角形，$\therefore BE=EF=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CE-BE=7-4=3(\mathrm{m})$。
(2) 如图，过点$A$作$AM⊥ GH$于点$M$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB// GH$，$AM=BE=4\ \mathrm{m}$，$AB=ME$。
在$\mathrm{Rt}△ AMF$中，$∠ AFG=21.8°$，
$\therefore \tan∠ AFG=\tan21.8°=\frac{AM}{MF}\approx0.4$，
$\therefore MF=\frac{AM}{0.4}=\frac{4}{0.4}=10(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=ME=MF-EF=10-4=6(\mathrm{m})$。
$\therefore$ 矩形$ABCD$的面积$=AB× BC=6×3=18(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) $CE$的长度为$7\ \mathrm{m}$，$BC$的长度为$3\ \mathrm{m}$；
(2) 底座的底面$ABCD$的面积为$18\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合实际测量场景命题，将几何知识融入生活实践，解题核心是通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求解未知线段长度，能有效提升学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
