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1. 一元二次方程的概念
如果一个方程只含有
如果一个方程只含有
一
个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2
，那么这样的方程称为一元二次方程。答案
1. 一 2
解析
【分析】
解答本题需紧扣一元二次方程定义的核心关键词：“一元”和“二次”。“一元”对应方程中未知数的个数要求，“二次”对应整理后含未知数项的最高次数要求，结合定义内容即可直接填出对应答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2，那么这样的方程称为一元二次方程。因此第一个空填“一”，第二个空填“2”。
【答案】
一 2
【知识点】
一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟记相关定义即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解答本题需紧扣一元二次方程定义的核心关键词：“一元”和“二次”。“一元”对应方程中未知数的个数要求，“二次”对应整理后含未知数项的最高次数要求，结合定义内容即可直接填出对应答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2，那么这样的方程称为一元二次方程。因此第一个空填“一”，第二个空填“2”。
【答案】
一 2
【知识点】
一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟记相关定义即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程的一般形式
一般地，关于$x$的一元二次方程通过整理可以使右边为0，它的一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$（$a,b,c$是常数，$a≠0$），其中$a,b,c$分别叫作
一般地，关于$x$的一元二次方程通过整理可以使右边为0，它的一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$（$a,b,c$是常数，$a≠0$），其中$a,b,c$分别叫作
二次项系数
、一次项系数
和常数项
。答案
2. 二次项系数 一次项系数 常数项
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程一般形式的相关概念：我们把形如$ax^2 + bx + c = 0$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）的式子叫做一元二次方程的一般形式，其中$ax^2$是含未知数的二次项，$bx$是含未知数的一次项，不含未知数的项$c$是常数项，对应项前面的系数就以对应项的名称来命名，据此就能得出$a,b,c$的称呼。
【解析】
在一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）中：
$a$是二次项$ax^2$的系数，叫做二次项系数；
$b$是一次项$bx$的系数，叫做一次项系数；
$c$是不含未知数的项，叫做常数项。
因此依次填入对应名称即可。
【答案】
二次项系数 一次项系数 常数项
【知识点】
一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握一元二次方程一般形式中各部分的名称是解题的关键，学习时要注意牢记$a≠0$是一元二次方程一般形式的隐含条件。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程一般形式的相关概念：我们把形如$ax^2 + bx + c = 0$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）的式子叫做一元二次方程的一般形式，其中$ax^2$是含未知数的二次项，$bx$是含未知数的一次项，不含未知数的项$c$是常数项，对应项前面的系数就以对应项的名称来命名，据此就能得出$a,b,c$的称呼。
【解析】
在一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）中：
$a$是二次项$ax^2$的系数，叫做二次项系数；
$b$是一次项$bx$的系数，叫做一次项系数；
$c$是不含未知数的项，叫做常数项。
因此依次填入对应名称即可。
【答案】
二次项系数 一次项系数 常数项
【知识点】
一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握一元二次方程一般形式中各部分的名称是解题的关键，学习时要注意牢记$a≠0$是一元二次方程一般形式的隐含条件。
【难度系数】
0.9
【例1】(2025衡阳期末)下列方程中，是一元二次方程的是（
A. $x^2 -5x=0$
B. $x+1=0$
C. $y-2x=0$
D. $2x^3 -2=0$
易错提醒 对于一元二次方程应注意以下三点：
(1)必须是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.
A
）A. $x^2 -5x=0$
B. $x+1=0$
C. $y-2x=0$
D. $2x^3 -2=0$
易错提醒 对于一元二次方程应注意以下三点：
(1)必须是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.
答案
A
解析
【分析】
要判断一个方程是不是一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判断条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2。解题时我们只需要把每个选项依次和这三个条件对比，三个条件都满足的就是正确选项。
【解析】
结合一元二次方程的三个判断标准逐一分析选项：
1. 选项A：$x^2 -5x=0$，属于整式方程，仅含未知数$x$1个未知数，未知数的最高次数是2，三个条件全部满足，是一元二次方程。
2. 选项B：$x+1=0$，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
3. 选项C：$y-2x=0$，含有$x$、$y$两个未知数，是二元一次方程，不符合要求。
4. 选项D：$2x^3 -2=0$，未知数的最高次数为3，是一元三次方程，不符合要求。
综上，符合一元二次方程定义的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、方程元数判断、方程次数判断
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对一元二次方程定义的理解和运用，牢记三个判断要点逐一排查即可快速解题，是整式方程类概念题的常见考法。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是不是一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判断条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2。解题时我们只需要把每个选项依次和这三个条件对比，三个条件都满足的就是正确选项。
【解析】
结合一元二次方程的三个判断标准逐一分析选项：
1. 选项A：$x^2 -5x=0$，属于整式方程，仅含未知数$x$1个未知数，未知数的最高次数是2，三个条件全部满足，是一元二次方程。
2. 选项B：$x+1=0$，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
3. 选项C：$y-2x=0$，含有$x$、$y$两个未知数，是二元一次方程，不符合要求。
4. 选项D：$2x^3 -2=0$，未知数的最高次数为3，是一元三次方程，不符合要求。
综上，符合一元二次方程定义的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、方程元数判断、方程次数判断
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对一元二次方程定义的理解和运用，牢记三个判断要点逐一排查即可快速解题，是整式方程类概念题的常见考法。
【难度系数】
0.9
【变式】若关于$x$的方程$(a-1)x^2 - 3x =1$是一元二次方程，则（
A.$a=0$
B.$a=1$
C.$a≠0$
D.$a≠1$
方法技巧 如果明确指出方程$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程，那么就隐含了$a≠0$这一重要条件。
D
）A.$a=0$
B.$a=1$
C.$a≠0$
D.$a≠1$
方法技巧 如果明确指出方程$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程，那么就隐含了$a≠0$这一重要条件。
答案
D
解析
【分析】
要判断该方程是一元二次方程，首先回忆一元二次方程的核心判定条件：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且二次项系数不为0。解题时先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，找到对应的二次项系数，令二次项系数不等于0，即可求出a的取值范围。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(a-1)x^2 - 3x - 1 = 0$
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此列不等式：
$a-1 ≠ 0$
解得$a ≠ 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于一元二次方程判定的基础题，解题核心是牢记“明确为一元二次方程时，二次项系数不为0”这一隐含条件，避免遗漏该条件导致错选。
【难度系数】
0.8
要判断该方程是一元二次方程，首先回忆一元二次方程的核心判定条件：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且二次项系数不为0。解题时先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，找到对应的二次项系数，令二次项系数不等于0，即可求出a的取值范围。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(a-1)x^2 - 3x - 1 = 0$
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此列不等式：
$a-1 ≠ 0$
解得$a ≠ 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于一元二次方程判定的基础题，解题核心是牢记“明确为一元二次方程时，二次项系数不为0”这一隐含条件，避免遗漏该条件导致错选。
【难度系数】
0.8
【例2】把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$(2t+3)^2 -2(t-5)^2 = -41$；
(2)$\frac{1}{2}(x-1)^2 = 3x + \frac{1}{3}$.
(1)$(2t+3)^2 -2(t-5)^2 = -41$；
(2)$\frac{1}{2}(x-1)^2 = 3x + \frac{1}{3}$.
答案
解:(1)去括号,得
$4t^2 +12t+9-2t^2 +20t-50=-41.$
移项、合并同类项,得$2t^2 +32t=0,$
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.
(2)去括号,得$\frac{1}{2}x^2 -x+\frac{1}{2}=3x+\frac{1}{3},$
移项、合并同类项,得$\frac{1}{2}x^2 -4x+\frac{1}{6}=0,$
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为$\frac{1}{2},-4,\frac{1}{6}.$
$4t^2 +12t+9-2t^2 +20t-50=-41.$
移项、合并同类项,得$2t^2 +32t=0,$
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.
(2)去括号,得$\frac{1}{2}x^2 -x+\frac{1}{2}=3x+\frac{1}{3},$
移项、合并同类项,得$\frac{1}{2}x^2 -4x+\frac{1}{6}=0,$
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为$\frac{1}{2},-4,\frac{1}{6}.$
解析
【分析】
解题前先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$分别为二次项系数、一次项系数、常数项）。解题思路如下：①先用完全平方公式展开方程中含平方的整式；②去括号，注意括号前的系数和符号，若括号前为负号，括号内各项需变号；③将所有项移至方程左侧，合并同类项整理为一般形式；④根据整理后的一般形式，对应写出各项系数，注意系数要包含前面的符号，无单独常数项时常数项为0。
【解析】
(1) 利用完全平方公式展开后去括号，得：
$4t^2 +12t+9-2t^2 +20t-50=-41$
移项、合并同类项，得一般形式：$2t^2 +32t=0$
因此二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，32，0。
(2) 利用完全平方公式展开后去括号，得：
$\frac{1}{2}x^2 -x+\frac{1}{2}=3x+\frac{1}{3}$
移项、合并同类项，得一般形式：$\frac{1}{2}x^2 -4x+\frac{1}{6}=0$
因此二次项系数、一次项系数和常数项分别为$\frac{1}{2}$，$-4$，$\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 一般形式为$2t^2 +32t=0$，二次项系数2，一次项系数32，常数项0；
(2) 一般形式为$\frac{1}{2}x^2 -4x+\frac{1}{6}=0$，二次项系数$\frac{1}{2}$，一次项系数$-4$，常数项$\frac{1}{6}$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，完全平方公式，整式加减运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查一般形式的化简方法，解题时需注意去括号、移项过程中的符号变化，确定各项系数时不要遗漏前面的正负号。
【难度系数】
0.8
解题前先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$分别为二次项系数、一次项系数、常数项）。解题思路如下：①先用完全平方公式展开方程中含平方的整式；②去括号，注意括号前的系数和符号，若括号前为负号，括号内各项需变号；③将所有项移至方程左侧，合并同类项整理为一般形式；④根据整理后的一般形式，对应写出各项系数，注意系数要包含前面的符号，无单独常数项时常数项为0。
【解析】
(1) 利用完全平方公式展开后去括号，得：
$4t^2 +12t+9-2t^2 +20t-50=-41$
移项、合并同类项，得一般形式：$2t^2 +32t=0$
因此二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，32，0。
(2) 利用完全平方公式展开后去括号，得：
$\frac{1}{2}x^2 -x+\frac{1}{2}=3x+\frac{1}{3}$
移项、合并同类项，得一般形式：$\frac{1}{2}x^2 -4x+\frac{1}{6}=0$
因此二次项系数、一次项系数和常数项分别为$\frac{1}{2}$，$-4$，$\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 一般形式为$2t^2 +32t=0$，二次项系数2，一次项系数32，常数项0；
(2) 一般形式为$\frac{1}{2}x^2 -4x+\frac{1}{6}=0$，二次项系数$\frac{1}{2}$，一次项系数$-4$，常数项$\frac{1}{6}$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，完全平方公式，整式加减运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查一般形式的化简方法，解题时需注意去括号、移项过程中的符号变化，确定各项系数时不要遗漏前面的正负号。
【难度系数】
0.8
【变式】(2026益阳期中)一元二次方程$x^2 - 3 = 5x$化成一般形式后，二次项系数为1，其一次项系数为 （
A.3
B.$-3$
C.$-5$
D.5
C
）A.3
B.$-3$
C.$-5$
D.5
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路为：先将给定的方程通过移项整理成一般形式，再根据定义找出一次项，即可得到一次项系数，注意项的系数要包含前面的符号。
【解析】
首先将原方程$x^2 - 3 = 5x$移项，把含$x$的项移到等号左侧，常数项保留在左侧，右侧变为0，移项时注意变号：
$x^2 - 5x - 3 = 0$
该式为一元二次方程的一般形式，其中一次项为$-5x$，因此一次项系数为$-5$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时忽略符号变化，或判断系数时漏掉项前面的负号，只要熟练掌握移项法则和一元二次方程各项的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路为：先将给定的方程通过移项整理成一般形式，再根据定义找出一次项，即可得到一次项系数，注意项的系数要包含前面的符号。
【解析】
首先将原方程$x^2 - 3 = 5x$移项，把含$x$的项移到等号左侧，常数项保留在左侧，右侧变为0，移项时注意变号：
$x^2 - 5x - 3 = 0$
该式为一元二次方程的一般形式，其中一次项为$-5x$，因此一次项系数为$-5$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时忽略符号变化，或判断系数时漏掉项前面的负号，只要熟练掌握移项法则和一元二次方程各项的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
【例3】用一张矩形纸片做一个容积为750 cm³，高为6 cm，底面的长比宽多5 cm的无盖长方体粉笔盒.若设这个粉笔盒的底面宽为x cm，请列出关于x的一元二次方程，并将其化为一般形式.
答案
解:长方体底面的宽为x cm,则底面的长为$(x+5)\mathrm{cm}.$
由题意,得$(x+5)· x· 6=750,$
整理,得$6x^2 +30x-750=0,$
∴此方程的一般形式为$6x^2 +30x-750=0,$即$x^2 +5x-125=0.$
由题意,得$(x+5)· x· 6=750,$
整理,得$6x^2 +30x-750=0,$
∴此方程的一般形式为$6x^2 +30x-750=0,$即$x^2 +5x-125=0.$
解析
【分析】
解题时首先要明确核心等量关系：长方体的容积=底面积×高。第一步根据题意设底面宽为x cm，结合“底面长比宽多5 cm”的条件，可表示出底面长为(x+5) cm；第二步将长、宽、高、容积的数值代入容积公式即可列出方程；最后按照一元二次方程一般形式的要求（ax²+bx+c=0，a≠0），将方程整理化简即可。
【解析】
解：设这个粉笔盒的底面宽为x cm，则底面的长为$(x+5)\mathrm{cm}$。
根据长方体容积公式，结合容积为750 cm³的条件列方程得：
$(x+5)· x· 6=750$
展开移项整理得：
$6x^2 +30x-750=0$
两边同时除以6化简为最简一般形式：
$x^2 +5x-125=0$
【答案】
所列一元二次方程为$6x(x+5)=750$，一般形式为$x^2 +5x-125=0$（或$6x^2 +30x-750=0$）
【知识点】
长方体容积公式；一元二次方程的列法；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是找准题目中的等量关系，结合几何体积公式正确列出方程，掌握一元二次方程一般形式的化简规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确核心等量关系：长方体的容积=底面积×高。第一步根据题意设底面宽为x cm，结合“底面长比宽多5 cm”的条件，可表示出底面长为(x+5) cm；第二步将长、宽、高、容积的数值代入容积公式即可列出方程；最后按照一元二次方程一般形式的要求（ax²+bx+c=0，a≠0），将方程整理化简即可。
【解析】
解：设这个粉笔盒的底面宽为x cm，则底面的长为$(x+5)\mathrm{cm}$。
根据长方体容积公式，结合容积为750 cm³的条件列方程得：
$(x+5)· x· 6=750$
展开移项整理得：
$6x^2 +30x-750=0$
两边同时除以6化简为最简一般形式：
$x^2 +5x-125=0$
【答案】
所列一元二次方程为$6x(x+5)=750$，一般形式为$x^2 +5x-125=0$（或$6x^2 +30x-750=0$）
【知识点】
长方体容积公式；一元二次方程的列法；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是找准题目中的等量关系，结合几何体积公式正确列出方程，掌握一元二次方程一般形式的化简规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
