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【变式】两个连续正整数的积等于12，其中较小的一个正整数是x，则可列方程为（
A.$x(x+1)=12$
B.$x(x+2)=12$
C.$x(x-1)=12$
D.$x(x-2)=12$
A
）A.$x(x+1)=12$
B.$x(x+2)=12$
C.$x(x-1)=12$
D.$x(x-2)=12$
答案
A
解析
【分析】解题时先梳理已知条件：已知较小的正整数为x，两个数是连续正整数，因此较大的正整数比x大1，可表示为x+1；再根据题干给出的等量关系“两个连续正整数的积等于12”，将两个数相乘等于12即可列出方程，匹配对应选项即可得出答案。
【解析】解：
∵ 较小的正整数是x，两个数为连续正整数
∴ 较大的正整数为 $x+1$
又
∵ 两个正整数的积为12
∴ 可列方程为 $x(x+1)=12$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】列一元二次方程；连续整数的表示
【点评】本题属于基础题，解题关键是正确表示出另一个连续正整数，再结合等量关系列方程即可，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】解：
∵ 较小的正整数是x，两个数为连续正整数
∴ 较大的正整数为 $x+1$
又
∵ 两个正整数的积为12
∴ 可列方程为 $x(x+1)=12$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】列一元二次方程；连续整数的表示
【点评】本题属于基础题，解题关键是正确表示出另一个连续正整数，再结合等量关系列方程即可，难度较低。
【难度系数】0.9
1. (2026 张家界期末)下列四个方程中，是一元二次方程的是（
A.$y+3=x+5$
B.$x^2=4$
C.$\dfrac{5}{x}=3$
D.$x+2=6-x$
B
）A.$y+3=x+5$
B.$x^2=4$
C.$\dfrac{5}{x}=3$
D.$x+2=6-x$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个是一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的三个判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时我们只需要逐个对照每个选项是否同时满足这三个条件，排除不符合的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
我们逐一分析选项：
选项A：方程中含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程要求，排除；
选项B：只含有x一个未知数，x的最高次数是2，且是整式方程，同时满足三个判定条件，符合要求；
选项C：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
选项D：化简后为$2x=4$，未知数x的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是熟练掌握一元二次方程的三个判定要素，逐一验证选项即可，做题时要注意不要忽略“整式方程”这个前提条件，避免误选分式方程类的错误选项。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的三个判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时我们只需要逐个对照每个选项是否同时满足这三个条件，排除不符合的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
我们逐一分析选项：
选项A：方程中含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程要求，排除；
选项B：只含有x一个未知数，x的最高次数是2，且是整式方程，同时满足三个判定条件，符合要求；
选项C：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
选项D：化简后为$2x=4$，未知数x的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是熟练掌握一元二次方程的三个判定要素，逐一验证选项即可，做题时要注意不要忽略“整式方程”这个前提条件，避免误选分式方程类的错误选项。
【难度系数】
0.9
2. (2026郴州期中)关于x的方程$x^m - mx -1=0$是一元二次方程，则$m=$（
A.2或－2
B.2
C.－2
D.0
B
）A.2或－2
B.2
C.－2
D.0
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的定义，解题时需先明确一元二次方程的判定条件：①是整式方程；②只含1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。对应题干中的方程，首先要让未知数x的最高次数为2，同时保证方程是整式方程，最后验证二次项系数不为0即可得到m的取值。注意不要忽略整式方程的要求，否则容易误选含-2的选项。
【解析】
根据一元二次方程的定义可得：
1. 未知数x的最高次数为2，因此x的指数$m=2$；
2. 若$m=-2$，则$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，此时方程为分式方程，不符合一元二次方程是整式方程的要求，故排除$m=-2$；
3. 当$m=2$时，原方程为$x^2 - 2x -1=0$，二次项系数为1，满足$a≠0$的要求，符合一元二次方程的定义。
因此$m=2$，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是只关注最高次数为2的要求，忽略一元二次方程必须是整式方程的前提，从而错选A选项，学习概念时要记全判定条件。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程的定义，解题时需先明确一元二次方程的判定条件：①是整式方程；②只含1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。对应题干中的方程，首先要让未知数x的最高次数为2，同时保证方程是整式方程，最后验证二次项系数不为0即可得到m的取值。注意不要忽略整式方程的要求，否则容易误选含-2的选项。
【解析】
根据一元二次方程的定义可得：
1. 未知数x的最高次数为2，因此x的指数$m=2$；
2. 若$m=-2$，则$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，此时方程为分式方程，不符合一元二次方程是整式方程的要求，故排除$m=-2$；
3. 当$m=2$时，原方程为$x^2 - 2x -1=0$，二次项系数为1，满足$a≠0$的要求，符合一元二次方程的定义。
因此$m=2$，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是只关注最高次数为2的要求，忽略一元二次方程必须是整式方程的前提，从而错选A选项，学习概念时要记全判定条件。
【难度系数】
0.7
3. (2025邵阳期中)一元二次方程$x^2 - 2(x - 1)=2$的一般形式是（
A.$x^2 - 2x + 1=0$
B.$x^2 - 2x - 1=0$
C.$x^2 - 2x=0$
D.$(x - 1)^2=0$
C
）A.$x^2 - 2x + 1=0$
B.$x^2 - 2x - 1=0$
C.$x^2 - 2x=0$
D.$(x - 1)^2=0$
答案
3. C
解析
【分析】
要确定一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题时先对原方程去括号，再将所有项移到等号左侧，合并同类项后整理为左边按$x$降幂排列、右侧为0的形式，再匹配选项即可。
【解析】
首先对原方程进行化简：
1. 去括号：$x^2 - 2x + 2 = 2$
2. 移项：将等号右侧的2移到左侧，得$x^2 - 2x + 2 - 2 = 0$
3. 合并同类项：$x^2 - 2x = 0$
因此原方程的一般形式为$x^2 - 2x = 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式的化简运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的定义，计算时注意去括号的符号规则以及移项要变号，避免因运算细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题时先对原方程去括号，再将所有项移到等号左侧，合并同类项后整理为左边按$x$降幂排列、右侧为0的形式，再匹配选项即可。
【解析】
首先对原方程进行化简：
1. 去括号：$x^2 - 2x + 2 = 2$
2. 移项：将等号右侧的2移到左侧，得$x^2 - 2x + 2 - 2 = 0$
3. 合并同类项：$x^2 - 2x = 0$
因此原方程的一般形式为$x^2 - 2x = 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式的化简运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的定义，计算时注意去括号的符号规则以及移项要变号，避免因运算细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
4.将下列一元二次方程化为一般形式,指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$5x-8=3x^2$；
(2)$2x(x-1)=3(x+5)+3$.
(1)$5x-8=3x^2$；
(2)$2x(x-1)=3(x+5)+3$.
答案
4. 解:(1)$\because 5x-8=3x^2,$
$\therefore 3x^2 -5x+8=0,$
∴方程的一般形式为$3x^2 -5x+8=0,$二次项系数为3,一次项系数为$-5,$常数项为8.
(2)$\because 2x(x-1)=3(x+5)+3,$
$\therefore 2x^2 -2x=3x+15+3,$
$\therefore 2x^2 -5x-18=0,$
∴方程的一般形式为$2x^2 -5x-18=0,$二次项系数为2,一次项系数为$-5,$常数项为$-18.$
$\therefore 3x^2 -5x+8=0,$
∴方程的一般形式为$3x^2 -5x+8=0,$二次项系数为3,一次项系数为$-5,$常数项为8.
(2)$\because 2x(x-1)=3(x+5)+3,$
$\therefore 2x^2 -2x=3x+15+3,$
$\therefore 2x^2 -5x-18=0,$
∴方程的一般形式为$2x^2 -5x-18=0,$二次项系数为2,一次项系数为$-5,$常数项为$-18.$
解析
【分析】
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先通过去括号、移项、合并同类项等操作，将方程整理为一般形式（通常将二次项系数调整为正数），再对应提取各项系数即可，注意系数需包含前面的正负符号。
【解析】
(1) 对$5x-8=3x^2$移项，将所有项整理到等号同侧并使二次项系数为正，可得：
$3x^2 -5x +8=0$
因此方程的一般形式为$3x^2 -5x +8=0$，二次项系数为3，一次项系数为$-5$，常数项为8。
(2) 对$2x(x-1)=3(x+5)+3$先去括号，再移项合并同类项：
去括号得：$2x^2 -2x=3x +15 +3$
移项合并同类项得：$2x^2 -5x -18=0$
因此方程的一般形式为$2x^2 -5x -18=0$，二次项系数为2，一次项系数为$-5$，常数项为$-18$。
【答案】
(1) 一般形式$3x^2 -5x +8=0$，二次项系数3，一次项系数$-5$，常数项8；
(2) 一般形式$2x^2 -5x -18=0$，二次项系数2，一次项系数$-5$，常数项$-18$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式化简运算
3. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，重点考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题时需注意去括号、移项过程中的符号问题，提取系数时要连同符号一同判断，是学习一元二次方程后续解法、应用的必备基础。
【难度系数】
0.85
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先通过去括号、移项、合并同类项等操作，将方程整理为一般形式（通常将二次项系数调整为正数），再对应提取各项系数即可，注意系数需包含前面的正负符号。
【解析】
(1) 对$5x-8=3x^2$移项，将所有项整理到等号同侧并使二次项系数为正，可得：
$3x^2 -5x +8=0$
因此方程的一般形式为$3x^2 -5x +8=0$，二次项系数为3，一次项系数为$-5$，常数项为8。
(2) 对$2x(x-1)=3(x+5)+3$先去括号，再移项合并同类项：
去括号得：$2x^2 -2x=3x +15 +3$
移项合并同类项得：$2x^2 -5x -18=0$
因此方程的一般形式为$2x^2 -5x -18=0$，二次项系数为2，一次项系数为$-5$，常数项为$-18$。
【答案】
(1) 一般形式$3x^2 -5x +8=0$，二次项系数3，一次项系数$-5$，常数项8；
(2) 一般形式$2x^2 -5x -18=0$，二次项系数2，一次项系数$-5$，常数项$-18$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式化简运算
3. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，重点考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题时需注意去括号、移项过程中的符号问题，提取系数时要连同符号一同判断，是学习一元二次方程后续解法、应用的必备基础。
【难度系数】
0.85
5. 从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}$，竖着比城门高$\frac{2}{3}\ \mathrm{m}$，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度. 若设竹竿长$x\ \mathrm{m}$，则根据题意可列方程为 （
A.$(x+\frac{4}{3})^2 + (x+\frac{2}{3})^2 = x^2$
B.$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
C.$(x-\frac{4}{3})^2 + (x+\frac{2}{3})^2 = x^2$
D.$(x+\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
B
）A.$(x+\frac{4}{3})^2 + (x+\frac{2}{3})^2 = x^2$
B.$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
C.$(x-\frac{4}{3})^2 + (x+\frac{2}{3})^2 = x^2$
D.$(x+\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先梳理各数量关系：第一步，根据竹竿和城门宽、高的差值，用含x的式子表示出门的宽和高；第二步，结合“斜着拿刚好进去”可知竹竿长度等于城门长方形的对角线长度，长方形的宽、高和对角线恰好构成直角三角形，对角线为斜边；第三步，利用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）列出方程，对应选项判断即可。
【解析】
设竹竿的长度为$x\ \mathrm{m}$：
1. 横着拿竹竿比城门宽$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}$，因此城门的宽为$(x-\frac{4}{3})\ \mathrm{m}$；
2. 竖着拿竹竿比城门高$\frac{2}{3}\ \mathrm{m}$，因此城门的高为$(x-\frac{2}{3})\ \mathrm{m}$；
3. 斜着拿竿刚好进城，说明竹竿长度等于城门的对角线长度，城门的宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理列方程得：
$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活场景考查几何定理的实际应用，解题核心是准确梳理竹竿长度与城门宽、高、对角线的数量关系，避免混淆加减关系即可正确解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理各数量关系：第一步，根据竹竿和城门宽、高的差值，用含x的式子表示出门的宽和高；第二步，结合“斜着拿刚好进去”可知竹竿长度等于城门长方形的对角线长度，长方形的宽、高和对角线恰好构成直角三角形，对角线为斜边；第三步，利用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）列出方程，对应选项判断即可。
【解析】
设竹竿的长度为$x\ \mathrm{m}$：
1. 横着拿竹竿比城门宽$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}$，因此城门的宽为$(x-\frac{4}{3})\ \mathrm{m}$；
2. 竖着拿竹竿比城门高$\frac{2}{3}\ \mathrm{m}$，因此城门的高为$(x-\frac{2}{3})\ \mathrm{m}$；
3. 斜着拿竿刚好进城，说明竹竿长度等于城门的对角线长度，城门的宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理列方程得：
$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活场景考查几何定理的实际应用，解题核心是准确梳理竹竿长度与城门宽、高、对角线的数量关系，避免混淆加减关系即可正确解题。
【难度系数】
0.8
6. 根据下列问题，列出关于 $ x $ 的方程，并将其化为一般形式.
(1)一个聊天群里共有 $ x $ 个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生了132条消息，求 $ x $ 的值.
(2)某超市营业员在卖某种零食时发现，当这种零食以每盒50元销售时，每天可以售出30盒.若单价每降低1元，每天就可以多售出4盒，已知这种零食的成本是每盒30元，如果超市卖这种零食一天能盈利1000元，求这种零食每盒降低的价格 $ x $ 元.
(1)一个聊天群里共有 $ x $ 个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生了132条消息，求 $ x $ 的值.
(2)某超市营业员在卖某种零食时发现，当这种零食以每盒50元销售时，每天可以售出30盒.若单价每降低1元，每天就可以多售出4盒，已知这种零食的成本是每盒30元，如果超市卖这种零食一天能盈利1000元，求这种零食每盒降低的价格 $ x $ 元.
答案
6. 解:(1)根据题意,得$x(x-1)=132,$
化为一般形式为$x^2 -x-132=0.$
(2)根据题意,得$(50-30-x)(30+4x)=1000,$
化为一般形式为$2x^2 -25x+200=0.$
化为一般形式为$x^2 -x-132=0.$
(2)根据题意,得$(50-30-x)(30+4x)=1000,$
化为一般形式为$2x^2 -25x+200=0.$
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先明确：聊天群共x个好友，每个好友不需要给自己发消息，因此每个好友发送(x-1)条消息，总消息数=好友总人数×每个好友发送的消息数，据此列方程，再整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）即可。
(2) 解决第二问的核心是掌握销售盈利的等量关系：总盈利=单盒利润×总销售量。其中单盒利润=原售价-成本-降低的价格x，总销售量=原销售量+降价后多售出的数量，据此代入数值列方程，再展开、移项整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 每个好友给除自己外的其他好友发1条消息，因此每人发$(x-1)$条，总消息数为$x(x-1)$，根据总消息数为132条列方程：
$x(x-1)=132$
展开、移项整理为一般形式：
$x^2 -x-132=0$
(2) 单盒利润为：$50-30-x=(20-x)$元；
降价x元后，总销售量为：$30+4x$盒；
根据总盈利=单盒利润×总销售量，总盈利为1000元，列方程：
$(20-x)(30+4x)=1000$
展开左边得：$600+80x-30x-4x^2=1000$，
移项、合并同类项，将二次项系数化为正，整理为一般形式：
$2x^2 -25x+200=0$
【答案】
(1) 方程为$x(x-1)=132$，一般形式为$x^2 -x-132=0$；
(2) 方程为$(50-30-x)(30+4x)=1000$，一般形式为$2x^2 -25x+200=0$。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的一般形式
3. 销售利润计算
【点评】
本题考查结合实际场景列一元二次方程并化为一般形式，解题的关键是准确提取题目中的等量关系，计算时注意符号和系数的化简，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.75
(1) 解决第一问首先明确：聊天群共x个好友，每个好友不需要给自己发消息，因此每个好友发送(x-1)条消息，总消息数=好友总人数×每个好友发送的消息数，据此列方程，再整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）即可。
(2) 解决第二问的核心是掌握销售盈利的等量关系：总盈利=单盒利润×总销售量。其中单盒利润=原售价-成本-降低的价格x，总销售量=原销售量+降价后多售出的数量，据此代入数值列方程，再展开、移项整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 每个好友给除自己外的其他好友发1条消息，因此每人发$(x-1)$条，总消息数为$x(x-1)$，根据总消息数为132条列方程：
$x(x-1)=132$
展开、移项整理为一般形式：
$x^2 -x-132=0$
(2) 单盒利润为：$50-30-x=(20-x)$元；
降价x元后，总销售量为：$30+4x$盒；
根据总盈利=单盒利润×总销售量，总盈利为1000元，列方程：
$(20-x)(30+4x)=1000$
展开左边得：$600+80x-30x-4x^2=1000$，
移项、合并同类项，将二次项系数化为正，整理为一般形式：
$2x^2 -25x+200=0$
【答案】
(1) 方程为$x(x-1)=132$，一般形式为$x^2 -x-132=0$；
(2) 方程为$(50-30-x)(30+4x)=1000$，一般形式为$2x^2 -25x+200=0$。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的一般形式
3. 销售利润计算
【点评】
本题考查结合实际场景列一元二次方程并化为一般形式，解题的关键是准确提取题目中的等量关系，计算时注意符号和系数的化简，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.75
