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1. 解一元二次方程的相关概念
(1)使一元二次方程左右两边的值
(2)把一元二次方程的
2. 直接开平方法
(1)概念:利用平方根的意义,直接将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法.
(2)若$x^2=a(a≥0)$,则$x$叫作$a$的平方根,表示为$x=\pm\sqrt{a}$.
课堂探究
典例研习,掌握关键能力
探究1 解一元二次方程的相关概念
(1)使一元二次方程左右两边的值
相等
的未知数的值叫作一元二次方程的解.一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.(2)把一元二次方程的
所有根
都求出来,叫作解一元二次方程.2. 直接开平方法
(1)概念:利用平方根的意义,直接将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法.
(2)若$x^2=a(a≥0)$,则$x$叫作$a$的平方根,表示为$x=\pm\sqrt{a}$.
课堂探究
典例研习,掌握关键能力
探究1 解一元二次方程的相关概念
答案
1.(1) 相等
(2) 所有根
(2) 所有根
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的基础概念，解题时可结合方程相关的通用定义推导对应内容：
1. 第(1)问回忆所有方程解的通用特征：所有方程的解都是能让方程左右两边的值相等的未知数的值，一元二次方程的解也符合该特征，只是额外有“根”的别称；
2. 第(2)问回忆“解方程”的含义：解方程就是求出方程所有解的过程，对应一元二次方程的解叫根，因此解一元二次方程就是求出其所有根的过程。
【解析】
(1) 根据方程解的通用定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也符合该定义，因此此处填“相等”；
(2) 解方程的本质是求出方程所有解的过程，一元二次方程的解又叫做根，因此解一元二次方程就是把它的所有根都求出来的过程，此处填“所有根”。
【答案】
1.(1)相等；(2)所有根
【知识点】
1. 一元二次方程的解的概念
2. 解一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查的是一元二次方程最基础的定义内容，是后续学习一元二次方程各类解法、应用的前提，只要熟练掌握教材上的基础定义即可快速答对。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的基础概念，解题时可结合方程相关的通用定义推导对应内容：
1. 第(1)问回忆所有方程解的通用特征：所有方程的解都是能让方程左右两边的值相等的未知数的值，一元二次方程的解也符合该特征，只是额外有“根”的别称；
2. 第(2)问回忆“解方程”的含义：解方程就是求出方程所有解的过程，对应一元二次方程的解叫根，因此解一元二次方程就是求出其所有根的过程。
【解析】
(1) 根据方程解的通用定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也符合该定义，因此此处填“相等”；
(2) 解方程的本质是求出方程所有解的过程，一元二次方程的解又叫做根，因此解一元二次方程就是把它的所有根都求出来的过程，此处填“所有根”。
【答案】
1.(1)相等；(2)所有根
【知识点】
1. 一元二次方程的解的概念
2. 解一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查的是一元二次方程最基础的定义内容，是后续学习一元二次方程各类解法、应用的前提，只要熟练掌握教材上的基础定义即可快速答对。
【难度系数】
0.9
【例1】若$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + m -1=0$的一个根，求$m$的值.
方法技巧 已知一元二次方程的一个根，求待定字母的值时，只要将这个根代入一元二次方程计算即可，但要保证二次项系数不为0.
方法技巧 已知一元二次方程的一个根，求待定字母的值时，只要将这个根代入一元二次方程计算即可，但要保证二次项系数不为0.
答案
解:将 $x=1$ 代入原方程,得 $1^2+2×1+m-1=0$,
$\therefore m+2=0$,
$\therefore m=-2$.
$\therefore m+2=0$,
$\therefore m=-2$.
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知$x=1$是方程的根，因此只需将$x=1$代入原方程，原方程就会转化为关于参数$m$的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出$m$的值，本题中二次项系数为1，不为0，无需额外考虑二次项系数的限制条件。
【解析】
解：将$x=1$代入原方程，得
$1^2 + 2×1 + m - 1 = 0$
整理得：$m + 2 = 0$
解得：$m = -2$
【答案】
$m=-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的概念的理解与应用，核心方法是将已知根代入原方程转化为关于参数的方程求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知$x=1$是方程的根，因此只需将$x=1$代入原方程，原方程就会转化为关于参数$m$的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出$m$的值，本题中二次项系数为1，不为0，无需额外考虑二次项系数的限制条件。
【解析】
解：将$x=1$代入原方程，得
$1^2 + 2×1 + m - 1 = 0$
整理得：$m + 2 = 0$
解得：$m = -2$
【答案】
$m=-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的概念的理解与应用，核心方法是将已知根代入原方程转化为关于参数的方程求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
【变式1】关于x的一元二次方程$x^2 + bx -10=0$的一个根为2，则b的值为（
A.-3
B.2
C.3
D.7
C
）A.-3
B.2
C.3
D.7
答案
C
解析
【分析】
本题考查利用一元二次方程的根求参数，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。因此已知根为2，只需将x=2代入原方程，即可得到关于b的一元一次方程，求解该方程就能得到b的值。
【解析】
解：
∵x=2是一元二次方程$x^2 + bx -10=0$的一个根，
∴将x=2代入方程，等式成立，可得：
$2^2 + 2b - 10 = 0$
计算得：$4 + 2b - 10 = 0$
移项整理得：$2b = 6$
解得：$b=3$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是基础类题型，解题方法固定，核心是掌握方程根的含义，学会用代入法求解方程中的未知参数，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.85
本题考查利用一元二次方程的根求参数，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。因此已知根为2，只需将x=2代入原方程，即可得到关于b的一元一次方程，求解该方程就能得到b的值。
【解析】
解：
∵x=2是一元二次方程$x^2 + bx -10=0$的一个根，
∴将x=2代入方程，等式成立，可得：
$2^2 + 2b - 10 = 0$
计算得：$4 + 2b - 10 = 0$
移项整理得：$2b = 6$
解得：$b=3$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题是基础类题型，解题方法固定，核心是掌握方程根的含义，学会用代入法求解方程中的未知参数，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.85
【变式2】(2026湘西期中)若$m$是一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$的一个根，则$2m^2 -6m$的值为（
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
B
）A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
B
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程可得到关于m的等式，再观察所求代数式$2m^2-6m$与所得等式的关系，发现$2m^2-6m$是$m^2-3m$的2倍，因此通过变形后整体代入即可求出结果，无需计算m的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
∵ m是一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 - 3m -1=0$，
移项可得：$m^2 - 3m = 1$，
对所求代数式变形得：$2m^2 -6m = 2(m^2 -3m)$，
将$m^2 - 3m = 1$代入上式得：$2×1=2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，解题的关键是观察到所求代数式与已知方程变形后的式子的倍数关系，利用整体代入法快速求解，避免了求解方程根的繁琐运算。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程可得到关于m的等式，再观察所求代数式$2m^2-6m$与所得等式的关系，发现$2m^2-6m$是$m^2-3m$的2倍，因此通过变形后整体代入即可求出结果，无需计算m的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
∵ m是一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 - 3m -1=0$，
移项可得：$m^2 - 3m = 1$，
对所求代数式变形得：$2m^2 -6m = 2(m^2 -3m)$，
将$m^2 - 3m = 1$代入上式得：$2×1=2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，解题的关键是观察到所求代数式与已知方程变形后的式子的倍数关系，利用整体代入法快速求解，避免了求解方程根的繁琐运算。
【难度系数】
0.8
【例2】解下列方程：
(1)$x^2 - 1 = 2$；
(2)$25x^2 - 16 = 0$；
(3)$(x - 1)^2 = 1$；
(4)$-\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 + 4 = 0$。
规律总结 用平方根的意义解一元二次方程，要通过移项、化简等步骤，把方程整理成左边是完全平方式、右边是常数的形式。
(1)$x^2 - 1 = 2$；
(2)$25x^2 - 16 = 0$；
(3)$(x - 1)^2 = 1$；
(4)$-\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 + 4 = 0$。
规律总结 用平方根的意义解一元二次方程，要通过移项、化简等步骤，把方程整理成左边是完全平方式、右边是常数的形式。
答案
解:(1)$x^2-1=2$,
$x^2=3$,
$x=\pm\sqrt{3}$,
$\therefore x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
(2)$25x^2=16$,
$x^2=\frac{16}{25}$,
$\therefore x_1=\frac{4}{5}$或$x_2=-\frac{4}{5}$.
(3)$(x-1)^2=1$,
$x-1=\pm1$,
$\therefore x_1=0,x_2=2$.
(4)$-\frac{1}{3}(x-3)^2=-4$,
$(x-3)^2=12$,
$x-3=\pm2\sqrt{3}$,
$x=\pm2\sqrt{3}+3$,
$\therefore x_1=2\sqrt{3}+3,x_2=-2\sqrt{3}+3$.
$x^2=3$,
$x=\pm\sqrt{3}$,
$\therefore x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
(2)$25x^2=16$,
$x^2=\frac{16}{25}$,
$\therefore x_1=\frac{4}{5}$或$x_2=-\frac{4}{5}$.
(3)$(x-1)^2=1$,
$x-1=\pm1$,
$\therefore x_1=0,x_2=2$.
(4)$-\frac{1}{3}(x-3)^2=-4$,
$(x-3)^2=12$,
$x-3=\pm2\sqrt{3}$,
$x=\pm2\sqrt{3}+3$,
$\therefore x_1=2\sqrt{3}+3,x_2=-2\sqrt{3}+3$.
解析
【分析】
这4道题均适合用直接开平方法求解，核心解题思路是：先通过移项、系数化为1等操作，将方程整理为「完全平方式=非负常数」的形式，再根据平方根的定义对等式两边开平方，把二次方程降为两个一次方程分别求解，注意开平方时不要遗漏负的平方根。
(1)先将常数项移到等号右侧，得到$x^2=3$后直接开平方；
(2)先移项，再将$x^2$的系数化为1，得到$x^2=\frac{16}{25}$后开平方；
(3)左侧已经是完全平方式，直接开平方得到$x-1=\pm1$，再解一次方程；
(4)先移项，再将$(x-3)^2$的系数化为1，得到$(x-3)^2=12$后开平方求解。
【解析】
(1) 移项得：$x^2-1=2$，
整理得：$x^2=3$，
根据平方根的意义开平方得：$x=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；
(2) 移项得：$25x^2=16$，
系数化为1得：$x^2=\frac{16}{25}$，
开平方得：$x=\pm\frac{4}{5}$，
$\therefore x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$；
(3) 直接开平方得：$x-1=\pm1$，
当$x-1=1$时$x=2$，当$x-1=-1$时$x=0$，
$\therefore x_1=0,x_2=2$；
(4) 移项得：$-\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 = -4$，
系数化为1得：$(x-3)^2=12$，
开平方得：$x-3=\pm2\sqrt{3}$，
移项得：$x=3\pm2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；
(2) $x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$；
(3) $x_1=0,x_2=2$；
(4) $x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是熟练将方程转化为“完全平方式等于非负常数”的标准形式，开平方时注意不要遗漏负根，掌握该方法可快速求解这类结构简单的一元二次方程。
【难度系数】
0.8
这4道题均适合用直接开平方法求解，核心解题思路是：先通过移项、系数化为1等操作，将方程整理为「完全平方式=非负常数」的形式，再根据平方根的定义对等式两边开平方，把二次方程降为两个一次方程分别求解，注意开平方时不要遗漏负的平方根。
(1)先将常数项移到等号右侧，得到$x^2=3$后直接开平方；
(2)先移项，再将$x^2$的系数化为1，得到$x^2=\frac{16}{25}$后开平方；
(3)左侧已经是完全平方式，直接开平方得到$x-1=\pm1$，再解一次方程；
(4)先移项，再将$(x-3)^2$的系数化为1，得到$(x-3)^2=12$后开平方求解。
【解析】
(1) 移项得：$x^2-1=2$，
整理得：$x^2=3$，
根据平方根的意义开平方得：$x=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；
(2) 移项得：$25x^2=16$，
系数化为1得：$x^2=\frac{16}{25}$，
开平方得：$x=\pm\frac{4}{5}$，
$\therefore x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$；
(3) 直接开平方得：$x-1=\pm1$，
当$x-1=1$时$x=2$，当$x-1=-1$时$x=0$，
$\therefore x_1=0,x_2=2$；
(4) 移项得：$-\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 = -4$，
系数化为1得：$(x-3)^2=12$，
开平方得：$x-3=\pm2\sqrt{3}$，
移项得：$x=3\pm2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；
(2) $x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$；
(3) $x_1=0,x_2=2$；
(4) $x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是熟练将方程转化为“完全平方式等于非负常数”的标准形式，开平方时注意不要遗漏负根，掌握该方法可快速求解这类结构简单的一元二次方程。
【难度系数】
0.8
