13. 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假.若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明.
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）若$|a-2|+|b-3|=0$，则$a+b=5$.

（1）逆命题:对应角相等的三角形是全等三角形.逆命题是假命题.例如:三个角对应相等,但三条边不相等的三角形不是全等三角形
（2）逆命题:若$a+b=5$,则$|a-2|+|b-3|=0$.逆命题是假命题.例如:$a=1,b=4$,$a+b=5$,但$|a-2|+|b-3|≠0$

【分析】
要解决本题，首先要掌握逆命题的改写规则：把原命题的题设和结论互换位置，就能得到对应的逆命题。其次要明确真假命题的判断方法：若命题的题设成立时结论一定成立，就是真命题；若存在题设成立但结论不成立的情况，就是假命题，假命题只需举1个反例即可证明。
针对第（1）问：先拆分原命题的题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“它们的对应角相等”，互换后得到逆命题；再结合全等三角形的判定要求，仅角对应相等无法判定三角形全等，即可判断逆命题为假，举出对应角相等、边长不等的反例即可。
针对第（2）问：拆分原命题的题设为“$|a-2|+|b-3|=0$”，结论为“$a+b=5$”，互换得到逆命题；结合绝对值非负性的性质，只有$a=2、b=3$时两个绝对值的和才为0，只要找到一组和为5但不满足$a=2、b=3$的数，即可证明逆命题为假。
【解析】
（1）第一步：改写逆命题：将原命题的题设“两个三角形全等”和结论“对应角相等”互换，得到逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形。
第二步：判断真假：全等三角形需要满足边、角均对应相等，仅角相等不能判定全等，因此该逆命题是假命题。
第三步：举反例：两个三角形三个角对应相等，但三条边长度不相等，就不是全等三角形，比如边长为2的等边三角形和边长为4的等边三角形。
（2）第一步：改写逆命题：将原命题的题设“$|a-2|+|b-3|=0$”和结论“$a+b=5$”互换，得到逆命题：若$a+b=5$，则$|a-2|+|b-3|=0$。
第二步：判断真假：只有$a=2$且$b=3$时，两个绝对值的和才为0，存在$a+b=5$但不满足$a=2、b=3$的情况，因此该逆命题是假命题。
第三步：举反例：取$a=1，b=4$，此时$a+b=5$，但$|1-2|+|4-3|=2≠0$，不符合结论。
【答案】
（1）逆命题:对应角相等的三角形是全等三角形.逆命题是假命题.例如:三个角对应相等,但三条边不相等的三角形不是全等三角形
（2）逆命题:若$a+b=5$,则$|a-2|+|b-3|=0$.逆命题是假命题.例如:$a=1,b=4$,$a+b=5$,但$|a-2|+|b-3|≠0$
【知识点】
互逆命题的改写、真假命题判定、绝对值的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用能力，解题核心是准确拆分原命题的题设和结论，判断假命题时只需举出符合题设、不符合结论的反例即可，是对命题相关基础内容的常规考查。
【难度系数】
0.8

14. 下列定理有逆定理吗？如果有，请写出逆定理，并证明；如果没有，请写出它的逆命题，并举出一个反例说明它是假命题.
定理:在三角形中,大角所对的边较大.

有逆定理.逆定理是:在三角形中,大边所对的角较大.下面证明这个逆定理.已知:如图,,在$△ ABC$中,$AC＞AB$.求证:$∠ B＞∠ C$.证明:在边$AC$上截取$AD$,使$AD=AB$,连结$BD$.$\because AD=AB$,$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$.$\because ∠ ADB$是$△ DBC$的外角,$\therefore ∠ ADB＞∠ C$.$\therefore ∠ ABD＞∠ C$.$\therefore ∠ ABC＞∠ C$

【分析】
首先明确互逆定理的定义：若一个定理的逆命题经证明是真命题，则它就是原定理的逆定理。第一步拆分原定理的题设和结论：原定理题设为“在三角形中，一个角是更大的角”，结论为“这个角所对的边是更长的边”，将题设和结论互换即可得到逆命题；第二步判断逆命题真假，若为真则存在逆定理；第三步证明逆命题时，可通过构造等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角大于不相邻内角的性质，推导角的大小关系完成证明。
【解析】
该定理存在逆定理，逆定理为：在三角形中，大边所对的角较大。
证明过程如下：
已知：，在$△ ABC$中，$AC＞AB$。
求证：$∠ B ＞ ∠ C$。
证明：在边$AC$上截取$AD$，使$AD=AB$，连结$BD$。
$\because AD=AB$，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$（等腰三角形两底角相等）。
$\because ∠ ADB$是$△ DBC$的外角，$\therefore ∠ ADB＞∠ C$（三角形外角大于任意一个不相邻的内角）。
$\therefore ∠ ABD＞∠ C$。
又$\because ∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC＞∠ ABD$，$\therefore ∠ ABC＞∠ C$，即$∠ B＞∠ C$，逆定理得证。
【答案】
有逆定理.逆定理是:在三角形中,大边所对的角较大.下面证明这个逆定理.已知:如图,,在$△ ABC$中,$AC＞AB$.求证:$∠ B＞∠ C$.证明:在边$AC$上截取$AD$,使$AD=AB$,连结$BD$.$\because AD=AB$,$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$.$\because ∠ ADB$是$△ DBC$的外角,$\therefore ∠ ADB＞∠ C$.$\therefore ∠ ABD＞∠ C$.$\therefore ∠ ABC＞∠ C$
【知识点】
互逆命题与互逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题考查互逆定理的识别与证明，解题核心是准确拆分原命题的题设和结论得到逆命题，再结合三角形相关性质判断逆命题真假、完成证明，需注意原定理和逆定理的适用前提都是同一个三角形中。
【难度系数】
0.7

15. 已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，它的逆命题是真命题.
（1）请写出这个逆命题和已知、求证：
逆命题：.
已知：.
求证：.
（2）证明这个逆命题是真命题.

15. （1）如果三角形一边上的中线等于该边长的一半,那么这个三角形是直角三角形 如图,在$△ ABC$中,$D$是边$AB$的中点,且$CD=\frac{1}{2}AB$ $△ ABC$是直角三角形
（2）$\because D$是边$AB$的中点,$\therefore AD=BD$.
$\because CD=\frac{1}{2}AB,\therefore CD=AD=BD. \therefore ∠ A=∠ ACD$,$∠ B=∠ DCB. \therefore ∠ A+∠ B=∠ ACD+∠ DCB$.
$\therefore ∠ A+∠ B=∠ ACB. \because ∠ A+∠ B+∠ ACB=180°,\therefore ∠ ACB=90°. \therefore △ ABC$是直角三角形

【分析】
（1）改写逆命题首先需要拆分原命题的题设和结论：原命题题设为“一个三角形是直角三角形，一条线段是它斜边上的中线”，结论为“这条中线等于斜边的一半”，将题设和结论互换即可得到逆命题；写已知、求证时，要结合图形将逆命题的文字描述转化为几何符号语言，题设部分写在已知中，结论部分写在求证中。
（2）证明该逆命题时，先利用中点的性质得到AD=BD，结合$CD=\frac{1}{2}AB$可推出AD=BD=CD，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质得到两组等角，将等角相加后结合三角形内角和为$180°$，即可推导得出$∠ ACB=90°$，完成证明。
【解析】
（1）逆命题：如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。
已知：如图，在$△ ABC$中，$D$是边$AB$的中点，且$CD=\frac{1}{2}AB$。
求证：$△ ABC$是直角三角形。
（2）证明：$\because D$是边$AB$的中点，$\therefore AD=BD$。
$\because CD=\frac{1}{2}AB$，$\therefore CD=AD=BD$。
$\therefore ∠ A=∠ ACD$，$∠ B=∠ DCB$。
$\therefore ∠ A+∠ B=∠ ACD+∠ DCB$，即$∠ A+∠ B=∠ ACB$。
$\because ∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
$\therefore 2∠ ACB=180°$，解得$∠ ACB=90°$。
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【答案】
（1）如果三角形一边上的中线等于该边长的一半,那么这个三角形是直角三角形；在$△ ABC$中,$D$是边$AB$的中点,且$CD=\frac{1}{2}AB$；$△ ABC$是直角三角形
（2）证明过程见上述解析
【知识点】
互逆命题改写；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查文字命题的逆命题改写以及几何证明，重点在于掌握将文字命题转化为几何符号语言的方法，证明过程中需熟练运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理推导角度关系，是几何证明部分的基础题型。
【难度系数】
0.7