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8. 如图,在$△ ABC$中,点$E$在边$AC$上,点$F$在边$BC$上,点$D$、$G$在边$AB$上,$FG // CD$,$∠ BFG=∠ CDE$.
(1) 求证:$∠ AED=∠ ACB$.
(2) 你在对(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题?
(1) 求证:$∠ AED=∠ ACB$.
(2) 你在对(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题?
答案
（1）$\because FG // CD,\therefore ∠ BFG = ∠ BCD.$
$\because ∠ BFG = ∠ CDE,\therefore ∠ BCD = ∠ CDE. \therefore DE // BC. \therefore ∠ AED = ∠ ACB$
（2）两直线平行,同位角相等;同位角相等,两直线平行
$\because ∠ BFG = ∠ CDE,\therefore ∠ BCD = ∠ CDE. \therefore DE // BC. \therefore ∠ AED = ∠ ACB$
（2）两直线平行,同位角相等;同位角相等,两直线平行
解析
【分析】
要证明∠AED=∠ACB，观察两角位置可知二者是直线DE、BC被AC所截得的同位角，因此只需证DE//BC即可。首先利用FG//CD的性质得到∠BFG=∠BCD，结合已知∠BFG=∠CDE，通过等量代换得内错角∠BCD=∠CDE，即可推出DE//BC，最后根据平行线的性质即可得到待证结论。第二问只需梳理第一问证明中用到的平行线相关定理，即可找出对应的互逆真命题。
【解析】
(1) 证明：
∵ FG // CD，
∴ ∠BFG = ∠BCD。
∵ ∠BFG = ∠CDE，
∴ ∠BCD = ∠CDE，
∴ DE // BC，
∴ ∠AED = ∠ACB。
(2) 梳理证明过程中用到的定理，可得两个互逆的真命题。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，互逆命题
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，以及互逆命题的识别，解题时需要灵活转换角的等量关系与直线的平行关系，逻辑链条清晰，注重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
要证明∠AED=∠ACB，观察两角位置可知二者是直线DE、BC被AC所截得的同位角，因此只需证DE//BC即可。首先利用FG//CD的性质得到∠BFG=∠BCD，结合已知∠BFG=∠CDE，通过等量代换得内错角∠BCD=∠CDE，即可推出DE//BC，最后根据平行线的性质即可得到待证结论。第二问只需梳理第一问证明中用到的平行线相关定理，即可找出对应的互逆真命题。
【解析】
(1) 证明：
∵ FG // CD，
∴ ∠BFG = ∠BCD。
∵ ∠BFG = ∠CDE，
∴ ∠BCD = ∠CDE，
∴ DE // BC，
∴ ∠AED = ∠ACB。
(2) 梳理证明过程中用到的定理，可得两个互逆的真命题。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，互逆命题
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，以及互逆命题的识别，解题时需要灵活转换角的等量关系与直线的平行关系，逻辑链条清晰，注重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
9. 下列命题中,逆命题是真命题的是 【 】
A.若$a＞0,b＜0$,则$ab＜0$
B.个位数字是5的数能被5整除
C.等腰三角形两腰上的高相等
D.不相等的两个角不是对顶角
A.若$a＞0,b＜0$,则$ab＜0$
B.个位数字是5的数能被5整除
C.等腰三角形两腰上的高相等
D.不相等的两个角不是对顶角
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确逆命题的定义：将原命题的条件和结论互换位置得到的命题就是原命题的逆命题。我们需要先逐个写出四个选项中原命题的逆命题，再结合所学数学知识判断逆命题的真假：真命题需要逻辑成立或可证明，假命题举反例即可排除，最终选出逆命题为真命题的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：原命题条件为“$a＞0,b＜0$”，结论为“$ab＜0$”，逆命题为“若$ab＜0$，则$a＞0,b＜0$”。$ab＜0$说明$a、b$异号，也可能是$a＜0,b＞0$，因此逆命题是假命题，排除A。
2. 选项B：原命题条件为“一个数的个位数字是5”，结论为“这个数能被5整除”，逆命题为“能被5整除的数，个位数字是5”。能被5整除的数个位也可以是0（比如10），因此逆命题是假命题，排除B。
3. 选项C：原命题条件为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它两腰上的高相等”，逆命题为“如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”。根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，同一个三角形面积固定，高相等则对应的底边长相等，即这两条边相等，所以三角形是等腰三角形，逆命题为真命题，符合要求。
4. 选项D：原命题条件为“两个角不相等”，结论为“这两个角不是对顶角”，逆命题为“不是对顶角的两个角不相等”。比如两直线平行时的同位角，不是对顶角但度数相等，因此逆命题是假命题，排除D。
【答案】
C
【知识点】
互逆命题；真假命题判断；等腰三角形判定
【点评】
本题核心考查逆命题的改写和真假判断，解题关键是准确拆分原命题的条件与结论，正确改写逆命题后结合已有知识验证，易错点是改写逆命题时颠倒条件结论出错，或判断真假时忽略特殊反例。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确逆命题的定义：将原命题的条件和结论互换位置得到的命题就是原命题的逆命题。我们需要先逐个写出四个选项中原命题的逆命题，再结合所学数学知识判断逆命题的真假：真命题需要逻辑成立或可证明，假命题举反例即可排除，最终选出逆命题为真命题的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：原命题条件为“$a＞0,b＜0$”，结论为“$ab＜0$”，逆命题为“若$ab＜0$，则$a＞0,b＜0$”。$ab＜0$说明$a、b$异号，也可能是$a＜0,b＞0$，因此逆命题是假命题，排除A。
2. 选项B：原命题条件为“一个数的个位数字是5”，结论为“这个数能被5整除”，逆命题为“能被5整除的数，个位数字是5”。能被5整除的数个位也可以是0（比如10），因此逆命题是假命题，排除B。
3. 选项C：原命题条件为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它两腰上的高相等”，逆命题为“如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”。根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，同一个三角形面积固定，高相等则对应的底边长相等，即这两条边相等，所以三角形是等腰三角形，逆命题为真命题，符合要求。
4. 选项D：原命题条件为“两个角不相等”，结论为“这两个角不是对顶角”，逆命题为“不是对顶角的两个角不相等”。比如两直线平行时的同位角，不是对顶角但度数相等，因此逆命题是假命题，排除D。
【答案】
C
【知识点】
互逆命题；真假命题判断；等腰三角形判定
【点评】
本题核心考查逆命题的改写和真假判断，解题关键是准确拆分原命题的条件与结论，正确改写逆命题后结合已有知识验证，易错点是改写逆命题时颠倒条件结论出错，或判断真假时忽略特殊反例。
【难度系数】
0.7
10. 有下列命题:①如果$a ＞ b$,那么$a + c ＞ b + c$;②如果$a ≥ 0$, $b ＜ 0$,那么$ab ≤ 0$;③直角三角形有两个锐角.其中,原命题和其逆命题都是真命题的有 【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，需按以下步骤思考：首先明确互逆命题的定义，即把原命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；其次分别写出3个命题的逆命题，再结合所学的不等式性质、有理数乘法法则、三角形相关性质，逐个判断原命题和逆命题的真假；最后统计原命题和逆命题都为真命题的个数，对应选出答案即可。
【解析】
我们逐个分析3个命题：
1. 对于命题①：
原命题：如果$a ＞ b$，那么$a + c ＞ b + c$，这符合不等式的基本性质1，是真命题。
逆命题：如果$a + c ＞ b + c$，那么$a ＞ b$，给不等式两边同时减去$c$，即可得到$a＞b$，也是真命题，符合要求。
2. 对于命题②：
原命题：如果$a ≥ 0$， $b ＜ 0$，那么$ab ≤ 0$。当$a=0$时$ab=0$，当$a＞0$时$ab＜0$，均满足$ab≤0$，原命题是真命题。
逆命题：如果$ab ≤ 0$，那么$a ≥ 0$， $b ＜ 0$。举反例：当$a=-2$，$b=3$时，$ab=-6≤0$，此时$a＜0$，$b＞0$，不满足逆命题的结论，逆命题是假命题，不符合要求。
3. 对于命题③：
原命题：直角三角形有两个锐角。直角三角形有1个直角，剩余两个内角和为$90°$，均为锐角，原命题是真命题。
逆命题：有两个锐角的三角形是直角三角形。举反例：钝角三角形也有两个锐角，比如三个内角为$120°$、$30°$、$30°$的三角形，有两个锐角但不是直角三角形，逆命题是假命题，不符合要求。
综上，只有1个命题的原命题和逆命题都是真命题。
【答案】
A
【知识点】
互逆命题判断，不等式的基本性质，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是考查原命题与逆命题的真假判定，解题的关键是正确写出每个命题的逆命题，再结合相关知识点验证，判断假命题时通过举反例可以快速得出结论，要注意不要忽略特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按以下步骤思考：首先明确互逆命题的定义，即把原命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；其次分别写出3个命题的逆命题，再结合所学的不等式性质、有理数乘法法则、三角形相关性质，逐个判断原命题和逆命题的真假；最后统计原命题和逆命题都为真命题的个数，对应选出答案即可。
【解析】
我们逐个分析3个命题：
1. 对于命题①：
原命题：如果$a ＞ b$，那么$a + c ＞ b + c$，这符合不等式的基本性质1，是真命题。
逆命题：如果$a + c ＞ b + c$，那么$a ＞ b$，给不等式两边同时减去$c$，即可得到$a＞b$，也是真命题，符合要求。
2. 对于命题②：
原命题：如果$a ≥ 0$， $b ＜ 0$，那么$ab ≤ 0$。当$a=0$时$ab=0$，当$a＞0$时$ab＜0$，均满足$ab≤0$，原命题是真命题。
逆命题：如果$ab ≤ 0$，那么$a ≥ 0$， $b ＜ 0$。举反例：当$a=-2$，$b=3$时，$ab=-6≤0$，此时$a＜0$，$b＞0$，不满足逆命题的结论，逆命题是假命题，不符合要求。
3. 对于命题③：
原命题：直角三角形有两个锐角。直角三角形有1个直角，剩余两个内角和为$90°$，均为锐角，原命题是真命题。
逆命题：有两个锐角的三角形是直角三角形。举反例：钝角三角形也有两个锐角，比如三个内角为$120°$、$30°$、$30°$的三角形，有两个锐角但不是直角三角形，逆命题是假命题，不符合要求。
综上，只有1个命题的原命题和逆命题都是真命题。
【答案】
A
【知识点】
互逆命题判断，不等式的基本性质，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是考查原命题与逆命题的真假判定，解题的关键是正确写出每个命题的逆命题，再结合相关知识点验证，判断假命题时通过举反例可以快速得出结论，要注意不要忽略特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
11.（伊川期末）有下列四个命题：①等边对等角；②等边三角形的三个内角都相等；③全等三角形的对应角相等；④如果$a = b$，那么$a^2 = b^2$. 它们的逆命题中是真命题的个数是 【 】
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，得到的就是原命题的逆命题。解题步骤为：先分别写出四个命题的逆命题，再结合已学的几何、代数知识判断每个逆命题的真假，最后统计真命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析四个命题的逆命题及其真假：
1. 命题①“等边对等角”：
原命题题设为“三角形的两条边相等”，结论为“这两条边所对的角相等”，逆命题为“等角对等边”，这是等腰三角形的判定定理，属于真命题。
2. 命题②“等边三角形的三个内角都相等”：
原命题题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“它的三个内角都相等”，逆命题为“三个内角都相等的三角形是等边三角形”，符合等边三角形的判定规则，属于真命题。
3. 命题③“全等三角形的对应角相等”：
原命题题设为“两个三角形全等”，结论为“它们的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，这是假命题，例如两个大小不同的相似直角三角板，对应角都相等，但不全等。
4. 命题④“如果$a = b$，那么$a^2 = b^2$”：
逆命题为“如果$a^2 = b^2$，那么$a = b$”，这是假命题，例如$a=2,b=-2$时，$a^2=b^2=4$，但$a≠ b$。
综上，逆命题为真命题的共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
互逆命题，真假命题判断，三角形判定
【点评】
本题重点考查逆命题的改写能力和命题真假的判断能力，解题的关键是准确拆分原命题的题设和结论，改写逆命题后结合所学知识验证是否成立，易错点是容易忽略全等三角形需要边相等的限制条件，误将命题③的逆命题判定为真命题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，得到的就是原命题的逆命题。解题步骤为：先分别写出四个命题的逆命题，再结合已学的几何、代数知识判断每个逆命题的真假，最后统计真命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析四个命题的逆命题及其真假：
1. 命题①“等边对等角”：
原命题题设为“三角形的两条边相等”，结论为“这两条边所对的角相等”，逆命题为“等角对等边”，这是等腰三角形的判定定理，属于真命题。
2. 命题②“等边三角形的三个内角都相等”：
原命题题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“它的三个内角都相等”，逆命题为“三个内角都相等的三角形是等边三角形”，符合等边三角形的判定规则，属于真命题。
3. 命题③“全等三角形的对应角相等”：
原命题题设为“两个三角形全等”，结论为“它们的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，这是假命题，例如两个大小不同的相似直角三角板，对应角都相等，但不全等。
4. 命题④“如果$a = b$，那么$a^2 = b^2$”：
逆命题为“如果$a^2 = b^2$，那么$a = b$”，这是假命题，例如$a=2,b=-2$时，$a^2=b^2=4$，但$a≠ b$。
综上，逆命题为真命题的共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
互逆命题，真假命题判断，三角形判定
【点评】
本题重点考查逆命题的改写能力和命题真假的判断能力，解题的关键是准确拆分原命题的题设和结论，改写逆命题后结合所学知识验证是否成立，易错点是容易忽略全等三角形需要边相等的限制条件，误将命题③的逆命题判定为真命题。
【难度系数】
0.7
12. 下列命题中，原命题和其逆命题都是真命题的是
①相等的角是对顶角；②内错角相等，两直线平行；③如果 $ m $ 是自然数，那么 $ m $ 是有理数；④如果 $ a=5 $，那么 $ |a|=5 $；⑤如果 $ a+b=0 $，那么 $ a $、$ b $ 互为相反数。
②⑤
.(只填序号)①相等的角是对顶角；②内错角相等，两直线平行；③如果 $ m $ 是自然数，那么 $ m $ 是有理数；④如果 $ a=5 $，那么 $ |a|=5 $；⑤如果 $ a+b=0 $，那么 $ a $、$ b $ 互为相反数。
答案
12. ②⑤
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先明确互逆命题的构造方法，即将原命题的条件和结论互换就能得到它的逆命题；其次明确真命题是判断正确的命题，假命题是判断错误的命题，判断假命题可通过举反例快速验证；最后逐一分析每个命题的原命题和逆命题的真假，筛选出两者都为真命题的序号即可。
【解析】
我们对5个命题逐一分析：
①原命题：相等的角是对顶角。反例：两直线平行时同位角相等，但同位角不属于对顶角，因此原命题是假命题，不符合要求。
②原命题：内错角相等，两直线平行。这是平行线的判定定理，属于真命题；逆命题为“两直线平行，内错角相等”，这是平行线的性质定理，也属于真命题，符合要求。
③原命题：如果$m$是自然数，那么$m$是有理数。自然数属于整数，整数是有理数的一类，因此原命题是真命题；逆命题为“如果$m$是有理数，那么$m$是自然数”，反例：$\frac{1}{2}$是有理数但不是自然数，因此逆命题是假命题，不符合要求。
④原命题：如果$a=5$，那么$|a|=5$。正数的绝对值是它本身，因此原命题是真命题；逆命题为“如果$|a|=5$，那么$a=5$”，反例：$a=-5$时也满足$|a|=5$，因此逆命题是假命题，不符合要求。
⑤原命题：如果$a+b=0$，那么$a$、$b$互为相反数。这是相反数的定义，属于真命题；逆命题为“如果$a$、$b$互为相反数，那么$a+b=0$”，这是相反数的基本性质，也属于真命题，符合要求。
综上，原命题和逆命题都为真命题的是②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
1.互逆命题 2.真假命题判断 3.平行线的判定与性质
【点评】
本题主要考查互逆命题的识别和真假判断，解题的核心是熟练掌握常见的数学定义、定理，判断假命题时通过举反例验证可以大幅提高解题效率，要注意避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先明确互逆命题的构造方法，即将原命题的条件和结论互换就能得到它的逆命题；其次明确真命题是判断正确的命题，假命题是判断错误的命题，判断假命题可通过举反例快速验证；最后逐一分析每个命题的原命题和逆命题的真假，筛选出两者都为真命题的序号即可。
【解析】
我们对5个命题逐一分析：
①原命题：相等的角是对顶角。反例：两直线平行时同位角相等，但同位角不属于对顶角，因此原命题是假命题，不符合要求。
②原命题：内错角相等，两直线平行。这是平行线的判定定理，属于真命题；逆命题为“两直线平行，内错角相等”，这是平行线的性质定理，也属于真命题，符合要求。
③原命题：如果$m$是自然数，那么$m$是有理数。自然数属于整数，整数是有理数的一类，因此原命题是真命题；逆命题为“如果$m$是有理数，那么$m$是自然数”，反例：$\frac{1}{2}$是有理数但不是自然数，因此逆命题是假命题，不符合要求。
④原命题：如果$a=5$，那么$|a|=5$。正数的绝对值是它本身，因此原命题是真命题；逆命题为“如果$|a|=5$，那么$a=5$”，反例：$a=-5$时也满足$|a|=5$，因此逆命题是假命题，不符合要求。
⑤原命题：如果$a+b=0$，那么$a$、$b$互为相反数。这是相反数的定义，属于真命题；逆命题为“如果$a$、$b$互为相反数，那么$a+b=0$”，这是相反数的基本性质，也属于真命题，符合要求。
综上，原命题和逆命题都为真命题的是②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
1.互逆命题 2.真假命题判断 3.平行线的判定与性质
【点评】
本题主要考查互逆命题的识别和真假判断，解题的核心是熟练掌握常见的数学定义、定理，判断假命题时通过举反例验证可以大幅提高解题效率，要注意避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
