7. 如图，直线$ l_1 // l_2 // l_3 $，它们交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，DF=16，求EF的长。

由条件可知，$\frac{BC}{AC}=\frac{5}{8}.\because l_1 // l_2 // l_3,\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}.\because DF=16,\therefore \frac{5}{8}=\frac{EF}{16}.\therefore EF=10$

【分析】
解题时首先观察图形特征，已知三条平行直线截两条相交直线，优先考虑平行线分线段成比例定理。第一步先根据已知的AB与BC的比值，求出BC与AC（AB+BC）的比值；第二步根据平行线分线段成比例定理，找到与BC、AC对应的线段EF、DF，得到二者的比例关系；第三步将已知的DF长度代入比例式，计算即可得到EF的长度。
【解析】
解：$\because \frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{BC}{AB+BC}=\frac{5}{3+5}=\frac{5}{8}$，
$\because l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，截得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$，
又$\because DF=16$，
$\therefore \frac{EF}{16}=\frac{5}{8}$，
解得 $EF=16 × \frac{5}{8}=10$。
【答案】
$10$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到成比例的对应线段，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8

8. 如图，若直线$a // b // c$，它们交直线$m$、$n$于点$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$。
（1）如果$AB=5$，$BC=8$，$EF=7$，求$DE$的长；
（2）如果$DE:EF=3:4$，$AC=21$，求$BC$的长。

8. （1）$\because AD // BE // CF,\therefore AB:BC=DE:EF.\because AB=5, BC=8, EF=7,\therefore 5:8=DE:7.\therefore DE=\frac{35}{8}$ （2）$\because AD // BE // CF,\therefore AB:BC=DE:EF.\because DE:EF=3:4,\therefore AB:AC=3:7.\because AC=21,\therefore AB=9.\therefore BC=AC-AB=12$

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：①先回忆定理内容：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。②第（1）问：已知线段AB、BC、EF的长度，找准直线m上的线段AB、BC对应直线n上的线段DE、EF，直接代入比例式$AB:BC=DE:EF$即可求解DE。③第（2）问：已知$DE:EF$的比值，先由定理得到$AB:BC=DE:EF$，再结合$AC=AB+BC=21$，先求出AB的长度，再用AC减AB得到BC的长度。
【解析】
（1）$\because$直线$a // b // c$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
将$AB=5$，$BC=8$，$EF=7$代入，得$\frac{5}{8}=\frac{DE}{7}$，
解得$DE=\frac{5×7}{8}=\frac{35}{8}$。
（2）$\because$直线$a // b // c$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
$\because DE:EF=3:4$，$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$，即$AB:BC=3:4$，
$\therefore AB:AC=3:(3+4)=3:7$。
将$AC=21$代入，得$AB=21×\frac{3}{7}=9$，
$\therefore BC=AC-AB=21-9=12$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{DE=\frac{35}{8}}$；（2）$\boldsymbol{BC=12}$
【知识点】
1.平行线分线段成比例定理；2.比例计算；3.线段和差运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题核心是准确识别两条被截直线上的对应线段，正确列出比例式代入计算即可，熟练掌握定理内容就能快速求解。
【难度系数】
0.8

9. 已知线段a、b、c，求作线段x，使$x=\frac{ac}{b}$，下列作法中正确的是 【 】

D

【分析】
解题首先需要将待求的线段表达式$x=\frac{ac}{b}$转化为比例式，得到符合平行线分线段成比例规律的形式$\frac{x}{c}=\frac{a}{b}$；再根据平行线分线段成比例的性质，逐一核对每个选项中对应线段的比例关系是否和推导的比例式一致，即可选出正确作法。
【解析】
先对$x=\frac{ac}{b}$变形，交叉相乘得$bx=ac$，整理为比例式$\frac{x}{c}=\frac{a}{b}$。
结合平行线分线段成比例的性质分析各选项：
A选项：对应比例为$\frac{x}{c}=\frac{b}{a}$，即$x=\frac{bc}{a}$，不符合要求，错误；
B选项：对应比例为$\frac{b}{x}=\frac{a}{c}$，即$x=\frac{bc}{a}$，不符合要求，错误；
C选项：对应比例为$\frac{x}{b}=\frac{a}{c}$，即$x=\frac{ab}{c}$，不符合要求，错误；
D选项：对应比例为$\frac{x}{c}=\frac{a}{b}$，即$x=\frac{ac}{b}$，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式变形，作比例线段
【点评】
本题考查比例线段的作图应用，核心是先将乘积式转化为比例式，再结合平行线分线段成比例的性质判断对应线段的比例关系，解题的易错点是容易混淆比例的对应线段。
【难度系数】
0.7

10. 如图，直线AD、BC相交于点O，AB // EF // CD.若$AO=5$，$OF=1$，$FD=4$，则$\frac{BE}{EC}$的值为.

10. $\frac{3}{2}$

【分析】
本题给出三条平行线$AB // EF // CD$，以及两条截线$AD$、$BC$，要求$\frac{BE}{EC}$的值，可运用平行线分线段成比例定理解题。首先明确定理内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，因此$\frac{BE}{EC}$与截线$AD$上的对应线段比值相等。先计算出$AF$的长度，再代入比值计算即可。
【解析】
解：
∵$AB // EF // CD$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FD}$。
又
∵$AF=AO+OF=5+1=6$，$FD=4$，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题核心是对平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确识别截线和对应线段，避免对应关系混淆就能顺利求出结果。
【难度系数】
0.7

11. 已知AD是$△ ABC$的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，则$\frac{AF}{FC}$的值为。

11. $\frac{1}{2}$

【分析】
本题要求两条线段的比值，已知条件包含中线和中点，可通过作平行线构造符合平行线分线段成比例的基本图形，将未知的线段比例与已知的中点条件结合推导。首先过D作$DG// BF$交AC于G，先利用D是BC中点推出G是FC中点，再利用E是AD中点推出F是AG中点，即可得到AF和FC的比例关系。
【解析】
过点D作$DG// BF$，交AC于点G。
1. 因为AD是$△ ABC$的中线，所以$BD=DC$。
在$△ BFC$中，$DG// BF$，根据平行线分线段成比例的性质，可得$\frac{BD}{DC}=\frac{FG}{GC}$，结合$BD=DC$，推出$FG=GC$。
2. 因为E是AD的中点，所以$AE=ED$。
在$△ ADG$中，$EF// DG$，根据平行线分线段成比例的性质，可得$\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FG}$，结合$AE=ED$，推出$AF=FG$。
综上可得$AF=FG=GC$，因此$FC=FG+GC=2AF$，所以$\frac{AF}{FC}=\frac{AF}{2AF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中线定义，中点性质
【点评】
本题是线段比例计算的典型题，解题关键是合理构造平行线辅助线，将中点条件转化为线段的等分关系，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.6