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14. 已知a、b、c是$△ ABC$的三边，且满足$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}$，$a+b+c=12$，请你探索$△ ABC$的形状。
答案
设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$,$\therefore a+4=3k$,$b+3=2k$,$c+8=4k$. $\therefore a=3k-4$,$b=2k-3$,$c=4k-8$. 又$\because a+b+c=12$,$\therefore (3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12$. $\therefore k=3$. $\therefore a=5$,$b=3$,$c=4$. $\therefore △ ABC$是直角三角形
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，通常采用设参数k的方法求解。本题可先设比例的比值为k，将a、b、c三边用含k的代数式表示，再代入a+b+c=12的条件列方程求出k的值，进而得到三边长，最后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
【解析】
设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，
则$a+4=3k$，$b+3=2k$，$c+8=4k$，
整理得：$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$。
将上述表达式代入$a+b+c=12$，可得：
$(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12$，
合并同类项得：$9k-15=12$，
解得：$k=3$。
将k=3代回三边表达式，得：
$a=3×3-4=5$，$b=2×3-3=3$，$c=4×3-8=4$。
验证三边关系：$\because b^2 + c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = a^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
1. 比例的性质
2. 勾股定理的逆定理
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三角形形状判断的基础题型，解题的核心是掌握连比式的处理方法（设参数法），结合已知条件求出三边长后，即可利用勾股定理逆定理快速判断形状，需要注意计算时不要出错，确保三边长求解正确。
【难度系数】
0.75
遇到连等的比例式时，通常采用设参数k的方法求解。本题可先设比例的比值为k，将a、b、c三边用含k的代数式表示，再代入a+b+c=12的条件列方程求出k的值，进而得到三边长，最后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
【解析】
设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，
则$a+4=3k$，$b+3=2k$，$c+8=4k$，
整理得：$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$。
将上述表达式代入$a+b+c=12$，可得：
$(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12$，
合并同类项得：$9k-15=12$，
解得：$k=3$。
将k=3代回三边表达式，得：
$a=3×3-4=5$，$b=2×3-3=3$，$c=4×3-8=4$。
验证三边关系：$\because b^2 + c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = a^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
1. 比例的性质
2. 勾股定理的逆定理
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三角形形状判断的基础题型，解题的核心是掌握连比式的处理方法（设参数法），结合已知条件求出三边长后，即可利用勾股定理逆定理快速判断形状，需要注意计算时不要出错，确保三边长求解正确。
【难度系数】
0.75
1. (乐山中考)如图，$l_1 // l_2 // l_3$，$AB=2$，$DE=3$，$BC=4$，则$EF$的长为 【 】
A.4
B.6
C.8
D.10
A.4
B.6
C.8
D.10
答案
B
解析
【分析】
首先观察图形，三条平行线$l_1$、$l_2$、$l_3$被两条直线所截，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。解题时先根据定理找出对应的成比例线段，列出比例式，再将已知的线段长度代入比例式求解，即可得到$EF$的长度。
【解析】
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$AB=2$，$BC=4$，$DE=3$代入上式：
$\frac{2}{4}=\frac{3}{EF}$
交叉相乘得：$2EF=3×4$
解得：$EF=6$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例式计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是准确识别对应线段、正确列出比例式，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，三条平行线$l_1$、$l_2$、$l_3$被两条直线所截，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。解题时先根据定理找出对应的成比例线段，列出比例式，再将已知的线段长度代入比例式求解，即可得到$EF$的长度。
【解析】
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$AB=2$，$BC=4$，$DE=3$代入上式：
$\frac{2}{4}=\frac{3}{EF}$
交叉相乘得：$2EF=3×4$
解得：$EF=6$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例式计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是准确识别对应线段、正确列出比例式，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,$ED // AC$,且$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{2}$,则$\frac{BD}{AB}$的值为 【 】
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
（第2题）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
（第2题）答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察到$ED// AC$的条件，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。先根据已知的$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{2}$得到BD与DA的比值，再结合AB是BD与DA的和，即可求出$\frac{BD}{AB}$的值。
【解析】
解：
∵$ED // AC$，
∴由平行线分线段成比例的推论可得：$\frac{BD}{DA}=\frac{BE}{EC}$，
已知$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{BD}{DA}=\frac{1}{2}$，
设$BD=k$，则$DA=2k$，
∴$AB=BD+DA=k+2k=3k$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题的关键是准确找到平行条件对应的成比例线段，再结合线段的和差关系即可算出所求比值。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到$ED// AC$的条件，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。先根据已知的$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{2}$得到BD与DA的比值，再结合AB是BD与DA的和，即可求出$\frac{BD}{AB}$的值。
【解析】
解：
∵$ED // AC$，
∴由平行线分线段成比例的推论可得：$\frac{BD}{DA}=\frac{BE}{EC}$，
已知$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{BD}{DA}=\frac{1}{2}$，
设$BD=k$，则$DA=2k$，
∴$AB=BD+DA=k+2k=3k$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题的关键是准确找到平行条件对应的成比例线段，再结合线段的和差关系即可算出所求比值。
【难度系数】
0.8
3. (哈尔滨中考)如图,在四边形ABCD中,AD // BC,点E在AB上,EF // AD交CD于点F.若AE:BE=1:2,DF=3,则FC的长为 【 】
A.6
B.3
C.5
D.9
A.6
B.3
C.5
D.9
答案
A
解析
【分析】
解题时先观察已知平行关系：由AD//BC、EF//AD，可推出AD、EF、BC三条直线互相平行；这三条平行线截AB、CD两条线段，根据平行线分线段成比例定理，截得的对应线段成比例，即AE:BE=DF:FC，将已知的比值和DF长度代入比例式，即可求出FC的长度。
【解析】
解：
∵AD//BC，EF//AD，
∴AD//EF//BC，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{FC}$，
已知$AE:BE=1:2$，$DF=3$，代入比例式得：
$\frac{1}{2}=\frac{3}{FC}$，
解得$FC=6$。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例；平行线的传递性
【点评】
本题是基础应用题，核心考查平行线分线段成比例定理的使用，只要能根据平行关系找准对应成比例的线段，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知平行关系：由AD//BC、EF//AD，可推出AD、EF、BC三条直线互相平行；这三条平行线截AB、CD两条线段，根据平行线分线段成比例定理，截得的对应线段成比例，即AE:BE=DF:FC，将已知的比值和DF长度代入比例式，即可求出FC的长度。
【解析】
解：
∵AD//BC，EF//AD，
∴AD//EF//BC，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{FC}$，
已知$AE:BE=1:2$，$DF=3$，代入比例式得：
$\frac{1}{2}=\frac{3}{FC}$，
解得$FC=6$。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例；平行线的传递性
【点评】
本题是基础应用题，核心考查平行线分线段成比例定理的使用，只要能根据平行关系找准对应成比例的线段，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
4.（青海中考）如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，且$AD = 3$，$DB = 2$，则$\frac{AE}{AC}$的值是________.
答案
$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
首先观察到$DE // BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，由此可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。接下来先计算$AB$的总长度，再代入$AD$的数值即可求出结果。
【解析】
解：$\because DE // BC$
$\therefore$根据平行线分线段成比例的推论，得 $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
又$\because AB = AD + DB = 3 + 2 = 5$，$AD=3$
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确找到平行线所截的对应线段，明确比例关系，计算时注意不要混淆对应线段的比例位置即可。
【难度系数】
0.8
首先观察到$DE // BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，由此可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。接下来先计算$AB$的总长度，再代入$AD$的数值即可求出结果。
【解析】
解：$\because DE // BC$
$\therefore$根据平行线分线段成比例的推论，得 $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
又$\because AB = AD + DB = 3 + 2 = 5$，$AD=3$
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确找到平行线所截的对应线段，明确比例关系，计算时注意不要混淆对应线段的比例位置即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$ED // BC$，且$AB = 5$，$AC = 7$，$AD = 2$，则$AE = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$\frac{14}{5}$
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的平行条件，由$ED// BC$可得两组内错角相等，再结合两条直线相交形成的对顶角相等，可证明$△ EAD$与$△ CAB$相似；根据相似三角形对应边成比例的性质，列出含$AE$的比例式，代入已知边长计算即可得到$AE$的长度。
【解析】
解：$\because ED// BC$
$\therefore ∠ E = ∠ C$，$∠ D = ∠ B$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ EAD = ∠ CAB$（对顶角相等）
$\therefore △ EAD ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
将$AB=5$，$AC=7$，$AD=2$代入上式：
$\frac{AE}{7}=\frac{2}{5}$
解得：$AE=\frac{2×7}{5}=\frac{14}{5}$
【答案】
$\frac{14}{5}$
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础计算类题目，核心是利用平行条件推导三角形相似，重点考查学生对相似三角形判定及性质的掌握情况，解题时要注意找准相似三角形的对应边，避免比例关系列错。
【难度系数】
0.75
解题时先观察题目给出的平行条件，由$ED// BC$可得两组内错角相等，再结合两条直线相交形成的对顶角相等，可证明$△ EAD$与$△ CAB$相似；根据相似三角形对应边成比例的性质，列出含$AE$的比例式，代入已知边长计算即可得到$AE$的长度。
【解析】
解：$\because ED// BC$
$\therefore ∠ E = ∠ C$，$∠ D = ∠ B$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ EAD = ∠ CAB$（对顶角相等）
$\therefore △ EAD ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
将$AB=5$，$AC=7$，$AD=2$代入上式：
$\frac{AE}{7}=\frac{2}{5}$
解得：$AE=\frac{2×7}{5}=\frac{14}{5}$
【答案】
$\frac{14}{5}$
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础计算类题目，核心是利用平行条件推导三角形相似，重点考查学生对相似三角形判定及性质的掌握情况，解题时要注意找准相似三角形的对应边，避免比例关系列错。
【难度系数】
0.75
6. 如图，直线AE、BF相交于点O，AB // CD // EF。若OA=1，AC=2，CE=4，则$\frac{OD}{DF}$的值为
$\frac{3}{4}$
。答案
6. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解，思路如下：首先观察到AB、CD、EF是一组平行线，被AE、BF两条截线所截，根据定理，截线上的对应线段成比例。要求$\frac{OD}{DF}$的值，只需找到截线AE上与OD、DF对应的线段的比值即可，先计算OC的长度，再结合已知CE的长度代入比例式计算即可。
【解析】
解：$\because OA=1$，$AC=2$
$\therefore OC=OA+AC=1+2=3$
$\because CD// EF$
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例，可得：
$\frac{OD}{DF}=\frac{OC}{CE}$
又$\because CE=4$
$\therefore \frac{OD}{DF}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握平行线分线段成比例定理，解题时要准确识别截线和平行线，找准对应线段的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线分线段成比例定理求解，思路如下：首先观察到AB、CD、EF是一组平行线，被AE、BF两条截线所截，根据定理，截线上的对应线段成比例。要求$\frac{OD}{DF}$的值，只需找到截线AE上与OD、DF对应的线段的比值即可，先计算OC的长度，再结合已知CE的长度代入比例式计算即可。
【解析】
解：$\because OA=1$，$AC=2$
$\therefore OC=OA+AC=1+2=3$
$\because CD// EF$
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例，可得：
$\frac{OD}{DF}=\frac{OC}{CE}$
又$\because CE=4$
$\therefore \frac{OD}{DF}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握平行线分线段成比例定理，解题时要准确识别截线和平行线，找准对应线段的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
