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8. 已知：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a≠b)$。
（1）如果$a=1$，$b=2$，$c+d=6$，求$c$、$d$的值；
（2）求证：$\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$。
（1）如果$a=1$，$b=2$，$c+d=6$，求$c$、$d$的值；
（2）求证：$\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$。
答案
(1) $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,且$a=1$,$b=2$,$\therefore \frac{c}{d}=\frac{1}{2}$. $\therefore d=2c$. 又$\because c+d=6$,$\therefore c=2$,$d=4$ (2) $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,$\therefore \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$. $\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$. $\therefore \frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}$. $\therefore \frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$
解析
【分析】
（1）首先根据已知的比例关系$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，代入$a=1$、$b=2$的值，可得到$c$与$d$的比例关系，再结合$c+d=6$的条件，将$d$用含$c$的式子表示后代入和的方程，即可求出$c$、$d$的数值。
（2）要证明$\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$，可从已知的$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$出发，对等式两边同时减1，将分子变形为含$a-b$、$c-d$的形式，再利用分式的符号法则，对分子分母同时提取负号，即可得到待证的等式。
【解析】
（1）$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且$a=1$，$b=2$，
$\therefore \frac{c}{d}=\frac{1}{2}$，即$d=2c$，
又$\because c+d=6$，将$d=2c$代入得：$c+2c=6$，
解得$c=2$，则$d=2×2=4$。
（2）证明：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
$\therefore$ 等式两边同时减1得：$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，
通分整理得：$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，
交叉变形得：$\frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}$，
将分子分母同时提取负号：$\frac{-(b-a)}{-(d-c)}=\frac{b}{d}$，
约去负号得：$\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$，原式得证。
【答案】
（1）$c=2$，$d=4$；（2）证明成立。
【知识点】
比例的基本性质、分式的基本性质
【点评】
本题主要考查比例性质的基础应用，第一小问为比例代换求值，第二小问为比例的变形证明，熟练掌握比例的常用变形技巧和分式的基本规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）首先根据已知的比例关系$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，代入$a=1$、$b=2$的值，可得到$c$与$d$的比例关系，再结合$c+d=6$的条件，将$d$用含$c$的式子表示后代入和的方程，即可求出$c$、$d$的数值。
（2）要证明$\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$，可从已知的$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$出发，对等式两边同时减1，将分子变形为含$a-b$、$c-d$的形式，再利用分式的符号法则，对分子分母同时提取负号，即可得到待证的等式。
【解析】
（1）$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且$a=1$，$b=2$，
$\therefore \frac{c}{d}=\frac{1}{2}$，即$d=2c$，
又$\because c+d=6$，将$d=2c$代入得：$c+2c=6$，
解得$c=2$，则$d=2×2=4$。
（2）证明：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
$\therefore$ 等式两边同时减1得：$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，
通分整理得：$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，
交叉变形得：$\frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}$，
将分子分母同时提取负号：$\frac{-(b-a)}{-(d-c)}=\frac{b}{d}$，
约去负号得：$\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$，原式得证。
【答案】
（1）$c=2$，$d=4$；（2）证明成立。
【知识点】
比例的基本性质、分式的基本性质
【点评】
本题主要考查比例性质的基础应用，第一小问为比例代换求值，第二小问为比例的变形证明，熟练掌握比例的常用变形技巧和分式的基本规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$，且$b+d≠0$，下列各式中正确的是 【 】
A.$2c=3d$
B.$\frac{a-b}{b}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{d}{c+d}=\frac{2}{5}$
D.$\frac{a+c}{b+d}=\frac{2}{3}$
A.$2c=3d$
B.$\frac{a-b}{b}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{d}{c+d}=\frac{2}{5}$
D.$\frac{a+c}{b+d}=\frac{2}{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查比例性质的应用，解题时可采用两种思路：一是直接运用比例的基本性质、合比性质、等比性质逐一判断选项；二是设参数法，将比值设为参数，用参数表示各字母，再代入各选项计算验证，两种方法都能快速得出结果，注意运用等比性质时需满足分母之和不为0的前提。
【解析】
方法1：运用比例性质判断
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$，且$b+d≠0$：
选项A：由$\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$交叉相乘得$3c=2d$，而非$2c=3d$，故A错误；
选项B：由合比性质推导，$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}≠\frac{1}{3}$，故B错误；
选项C：由$\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$得$c=\frac{2}{3}d$，代入得$\frac{d}{c+d}=\frac{d}{\frac{2}{3}d+d}=\frac{3}{5}≠\frac{2}{5}$，故C错误；
选项D：由等比性质，当分母和不为0时，分子和与分母和的比值等于原比例的比值，即$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，故D正确。
方法2：参数法验证
设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），$c=2m$，$d=3m$（$m≠0$）：
A：$2c=4m$，$3d=9m$，$4m≠9m$，错误；
B：$\frac{a-b}{b}=\frac{2k-3k}{3k}=-\frac{1}{3}$，错误；
C：$\frac{d}{c+d}=\frac{3m}{2m+3m}=\frac{3}{5}$，错误；
D：$\frac{a+c}{b+d}=\frac{2k+2m}{3k+3m}=\frac{2(k+m)}{3(k+m)}=\frac{2}{3}$（$b+d=3(k+m)≠0$），正确。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，等比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，设参数法是解决比例类问题的通用方法，不容易出错；运用等比性质时要注意验证分母之和不为0的条件，本题已经给出该条件，可直接运用等比性质快速选出答案。
【难度系数】
0.8
本题考查比例性质的应用，解题时可采用两种思路：一是直接运用比例的基本性质、合比性质、等比性质逐一判断选项；二是设参数法，将比值设为参数，用参数表示各字母，再代入各选项计算验证，两种方法都能快速得出结果，注意运用等比性质时需满足分母之和不为0的前提。
【解析】
方法1：运用比例性质判断
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$，且$b+d≠0$：
选项A：由$\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$交叉相乘得$3c=2d$，而非$2c=3d$，故A错误；
选项B：由合比性质推导，$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}≠\frac{1}{3}$，故B错误；
选项C：由$\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$得$c=\frac{2}{3}d$，代入得$\frac{d}{c+d}=\frac{d}{\frac{2}{3}d+d}=\frac{3}{5}≠\frac{2}{5}$，故C错误；
选项D：由等比性质，当分母和不为0时，分子和与分母和的比值等于原比例的比值，即$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，故D正确。
方法2：参数法验证
设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），$c=2m$，$d=3m$（$m≠0$）：
A：$2c=4m$，$3d=9m$，$4m≠9m$，错误；
B：$\frac{a-b}{b}=\frac{2k-3k}{3k}=-\frac{1}{3}$，错误；
C：$\frac{d}{c+d}=\frac{3m}{2m+3m}=\frac{3}{5}$，错误；
D：$\frac{a+c}{b+d}=\frac{2k+2m}{3k+3m}=\frac{2(k+m)}{3(k+m)}=\frac{2}{3}$（$b+d=3(k+m)≠0$），正确。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，等比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，设参数法是解决比例类问题的通用方法，不容易出错；运用等比性质时要注意验证分母之和不为0的条件，本题已经给出该条件，可直接运用等比性质快速选出答案。
【难度系数】
0.8
10. 已知$\frac{5x + y}{3x - 2y} = \frac{1}{2}$，则$\frac{x}{y} =$
$-\frac{4}{7}$
。答案
10. $-\frac{4}{7}$
解析
【分析】
遇到已知比例等式求两个字母比值的问题，首先利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”（交叉相乘）去掉分式，将比例式转化为整式方程，再通过移项、合并同类项整理出x与y的数量关系，最后将等式变形为$\frac{x}{y}$的形式即可得到结果，解题过程可依托分母不为0的隐含条件保证变形合法。
【解析】
已知$\frac{5x + y}{3x - 2y} = \frac{1}{2}$，根据比例的基本性质，交叉相乘可得：
$2(5x + y) = 3x - 2y$
展开左边括号：
$10x + 2y = 3x - 2y$
移项，将含x的项移到左边，含y的项移到右边：
$10x - 3x = -2y - 2y$
合并同类项：
$7x = -4y$
由原式可知$y≠0$，等式两边同时除以$7y$得：
$\frac{x}{y} = -\frac{4}{7}$
【答案】
$-\frac{4}{7}$
【知识点】
1. 比例的基本性质
2. 代数式化简求值
【点评】
本题是比例性质应用的基础题型，解题核心是通过交叉相乘将分式形式的比例式转化为整式方程，再整理得到变量比值，解题时需注意题干隐含的分母不为0的条件，避免无意义的变形。
【难度系数】
0.8
遇到已知比例等式求两个字母比值的问题，首先利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”（交叉相乘）去掉分式，将比例式转化为整式方程，再通过移项、合并同类项整理出x与y的数量关系，最后将等式变形为$\frac{x}{y}$的形式即可得到结果，解题过程可依托分母不为0的隐含条件保证变形合法。
【解析】
已知$\frac{5x + y}{3x - 2y} = \frac{1}{2}$，根据比例的基本性质，交叉相乘可得：
$2(5x + y) = 3x - 2y$
展开左边括号：
$10x + 2y = 3x - 2y$
移项，将含x的项移到左边，含y的项移到右边：
$10x - 3x = -2y - 2y$
合并同类项：
$7x = -4y$
由原式可知$y≠0$，等式两边同时除以$7y$得：
$\frac{x}{y} = -\frac{4}{7}$
【答案】
$-\frac{4}{7}$
【知识点】
1. 比例的基本性质
2. 代数式化简求值
【点评】
本题是比例性质应用的基础题型，解题核心是通过交叉相乘将分式形式的比例式转化为整式方程，再整理得到变量比值，解题时需注意题干隐含的分母不为0的条件，避免无意义的变形。
【难度系数】
0.8
11. 已知三条线段的长分别是4 cm、5 cm和10 cm，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是
$\frac{25}{2}$、8或2
cm.答案
11. $\frac{25}{2}$、8或2
解析
【分析】
本题考查成比例线段的应用，解题核心是明确未指定四条线段的排列顺序时，需分类讨论所有可能的比例对应关系。首先设添加的线段长为$x$ cm，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，分三种情况讨论$x$在比例式中的不同位置，分别列方程求解即可。
【解析】
解：设添加的这条线段的长为$x$ cm。
根据成比例线段的性质，分以下三种情况讨论：
1. 当$x × 10 = 4 × 5$时，
解得$x = \frac{20}{10} = 2$；
2. 当$x × 5 = 4 × 10$时，
解得$x = \frac{40}{5} = 8$；
3. 当$x × 4 = 5 × 10$时，
解得$x = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$。
综上，这条线段的长为$\frac{25}{2}$、8或2 cm。
【答案】
$\frac{25}{2}$、8或2
【知识点】
成比例线段的定义，比例的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略成比例线段的顺序不唯一，导致漏解。解题时要全面考虑所有可能的比例组合，将比例式转化为乘积式计算即可。
【难度系数】
0.6
本题考查成比例线段的应用，解题核心是明确未指定四条线段的排列顺序时，需分类讨论所有可能的比例对应关系。首先设添加的线段长为$x$ cm，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，分三种情况讨论$x$在比例式中的不同位置，分别列方程求解即可。
【解析】
解：设添加的这条线段的长为$x$ cm。
根据成比例线段的性质，分以下三种情况讨论：
1. 当$x × 10 = 4 × 5$时，
解得$x = \frac{20}{10} = 2$；
2. 当$x × 5 = 4 × 10$时，
解得$x = \frac{40}{5} = 8$；
3. 当$x × 4 = 5 × 10$时，
解得$x = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$。
综上，这条线段的长为$\frac{25}{2}$、8或2 cm。
【答案】
$\frac{25}{2}$、8或2
【知识点】
成比例线段的定义，比例的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略成比例线段的顺序不唯一，导致漏解。解题时要全面考虑所有可能的比例组合，将比例式转化为乘积式计算即可。
【难度系数】
0.6
12. (1) 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{9}$，且$b+d-f=18$，则$a+c-e=$
(2) 已知线段$a$、$b$、$c$满足$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}$，且$a+2b+c=26$。
① 求线段$a$、$b$、$c$的长；
② 若线段$x$是线段$a$、$b$的比例中项，求线段$x$的长；
③ 若四条线段$a$、$b$、$c$、$d$为成比例线段，则线段$d$的长为
8
。(2) 已知线段$a$、$b$、$c$满足$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}$，且$a+2b+c=26$。
① 求线段$a$、$b$、$c$的长；
② 若线段$x$是线段$a$、$b$的比例中项，求线段$x$的长；
③ 若四条线段$a$、$b$、$c$、$d$为成比例线段，则线段$d$的长为
8
。答案
12. (1) 8 (2) ① 设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=k$,则$a=3k$,$b=2k$,$c=6k$. 由$a+2b+c=26$,得$3k+4k+6k=26$. 解得$k=2$. $\therefore a=6$,$b=4$,$c=12$ ② $\because$线段$x$是线段$a$、$b$的比例中项，$\therefore x^2=6×4$. $\therefore x=2\sqrt{6}$或$x=-2\sqrt{6}$(舍去负值). $\therefore$线段$x$的长为$2\sqrt{6}$ ③ 8
解析
【分析】
(1) 本题可利用等比性质求解：当多个比的比值相等时，对应分子的线性组合与分母的相同线性组合的比值等于原比值，已知分母的组合值，代入即可求出分子的组合值。
(2) ① 遇到连比等式时，常用设参数k的方法，将a、b、c都用含k的代数式表示，代入已知的和差方程即可求出k，进而得到各线段长度；② 根据比例中项的定义，即若x是a、b的比例中项则$x^2=ab$，结合线段长度为正舍去负根即可；③ 成比例线段是指四条线段按顺序的比值相等，即$a:b=c:d$，代入已知线段长度即可求出d。
【解析】
(1) 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{9}$，根据等比性质可得：
$\frac{a+c-e}{b+d-f}=\frac{4}{9}$
又已知$b+d-f=18$，代入得：
$a+c-e=18×\frac{4}{9}=8$
(2) ① 设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=k$（$k≠0$），则$a=3k$，$b=2k$，$c=6k$。
将其代入$a+2b+c=26$得：
$3k+2×2k+6k=26$
化简得$13k=26$，解得$k=2$。
因此$a=3×2=6$，$b=2×2=4$，$c=6×2=12$。
② 因为线段$x$是线段$a$、$b$的比例中项，根据比例中项的定义得：
$x^2=ab=6×4=24$
由于线段长度为正数，故舍去负根，得$x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
③ 因为四条线段$a$、$b$、$c$、$d$为成比例线段，所以满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，代入$a=6$，$b=4$，$c=12$得：
$\frac{6}{4}=\frac{12}{d}$
交叉相乘得$6d=4×12$，解得$d=8$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) ① $a=6$，$b=4$，$c=12$；② $\boxed{2\sqrt{6}}$；③ $\boxed{8}$
【知识点】
等比性质，比例中项，成比例线段
【点评】
本题考查比例相关性质的基础应用，设参数k是解决连比问题的常用方法，解题时要注意线段长度为非负数，遇到负根需舍去，熟练掌握比例的各类性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可利用等比性质求解：当多个比的比值相等时，对应分子的线性组合与分母的相同线性组合的比值等于原比值，已知分母的组合值，代入即可求出分子的组合值。
(2) ① 遇到连比等式时，常用设参数k的方法，将a、b、c都用含k的代数式表示，代入已知的和差方程即可求出k，进而得到各线段长度；② 根据比例中项的定义，即若x是a、b的比例中项则$x^2=ab$，结合线段长度为正舍去负根即可；③ 成比例线段是指四条线段按顺序的比值相等，即$a:b=c:d$，代入已知线段长度即可求出d。
【解析】
(1) 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{9}$，根据等比性质可得：
$\frac{a+c-e}{b+d-f}=\frac{4}{9}$
又已知$b+d-f=18$，代入得：
$a+c-e=18×\frac{4}{9}=8$
(2) ① 设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=k$（$k≠0$），则$a=3k$，$b=2k$，$c=6k$。
将其代入$a+2b+c=26$得：
$3k+2×2k+6k=26$
化简得$13k=26$，解得$k=2$。
因此$a=3×2=6$，$b=2×2=4$，$c=6×2=12$。
② 因为线段$x$是线段$a$、$b$的比例中项，根据比例中项的定义得：
$x^2=ab=6×4=24$
由于线段长度为正数，故舍去负根，得$x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
③ 因为四条线段$a$、$b$、$c$、$d$为成比例线段，所以满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，代入$a=6$，$b=4$，$c=12$得：
$\frac{6}{4}=\frac{12}{d}$
交叉相乘得$6d=4×12$，解得$d=8$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) ① $a=6$，$b=4$，$c=12$；② $\boxed{2\sqrt{6}}$；③ $\boxed{8}$
【知识点】
等比性质，比例中项，成比例线段
【点评】
本题考查比例相关性质的基础应用，设参数k是解决连比问题的常用方法，解题时要注意线段长度为非负数，遇到负根需舍去，熟练掌握比例的各类性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边MN、PQ上,且AB // NP,“晋”字的笔画“丶”的位置在AB的黄金分割点C处,且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.若NP=2 cm,求BC的长.(保留根号)
答案
$\because$四边形MNPQ是正方形,$\therefore ∠ N=∠ P=90°$. $\because AB // NP$,$\therefore ∠ NAB + ∠ N=180°$. $\therefore ∠ NAB=90°$. $\therefore$四边形ANPB为矩形. $\therefore AB=NP=2\ \mathrm{cm}$. $\because \frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore BC=(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时先结合正方形MNPQ的性质与AB//NP的条件推导AB的长度：首先根据正方形内角为直角，结合平行线同旁内角互补可证明四边形ANPB是矩形，由此可得AB与NP长度相等；再代入题目给出的黄金分割比例式，即可求出BC的长度。
【解析】
∵四边形MNPQ是正方形，
∴$∠ N=∠ P=90°$，
∵$AB// NP$，
∴$∠ NAB + ∠ N=180°$，
∴$∠ NAB=90°$，
∴四边形ANPB为矩形，
∴$AB=NP=2\ \mathrm{cm}$，
∵$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BC=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$。
【答案】
$(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
【知识点】
正方形的性质；矩形的判定与性质；黄金分割
【点评】
本题结合汉字书写的实际场景考查几何知识的应用，贴近生活，解题关键是利用矩形的性质求出AB的长度，再结合黄金分割的比例关系计算即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先结合正方形MNPQ的性质与AB//NP的条件推导AB的长度：首先根据正方形内角为直角，结合平行线同旁内角互补可证明四边形ANPB是矩形，由此可得AB与NP长度相等；再代入题目给出的黄金分割比例式，即可求出BC的长度。
【解析】
∵四边形MNPQ是正方形，
∴$∠ N=∠ P=90°$，
∵$AB// NP$，
∴$∠ NAB + ∠ N=180°$，
∴$∠ NAB=90°$，
∴四边形ANPB为矩形，
∴$AB=NP=2\ \mathrm{cm}$，
∵$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BC=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$。
【答案】
$(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
【知识点】
正方形的性质；矩形的判定与性质；黄金分割
【点评】
本题结合汉字书写的实际场景考查几何知识的应用，贴近生活，解题关键是利用矩形的性质求出AB的长度，再结合黄金分割的比例关系计算即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
