1. 在比例尺为1:80000的南京市城区图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为 【 】

A.320 cm
B.320 m
C.2000 cm
D.20 000 m

D

【分析】
解题首先要明确比例尺的计算公式：比例尺=图上距离÷实际距离，因此实际距离=图上距离÷比例尺。解题步骤为：第一步根据比例尺公式列比例式，第二步求解得到以厘米为单位的实际距离，第三步将单位换算为米，最后匹配对应选项即可。
【解析】
设太平南路的实际长度为$ x \, \mathrm{cm} $，根据比例尺的定义可得比例式：
$\frac{1}{80000} = \frac{25}{x}$
解比例式得：
$x = 25 × 80000 = 2000000 \, \mathrm{cm}$
进行单位换算：因为$ 1 \, \mathrm{m} = 100 \, \mathrm{cm} $，所以$ 2000000 \, \mathrm{cm} = 2000000 ÷ 100 = 20000 \, \mathrm{m} $。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
比例尺的应用，成比例线段，单位换算
【点评】
本题考查比例尺的基础应用，核心是掌握比例尺的计算公式，解题时要注意单位的统一换算，避免因单位混淆出现错误，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 下列线段成比例的是 【 】

A.$a=2, b=\sqrt{5}, c=\sqrt{15}, d=2\sqrt{3}$
B.$a=\sqrt{2}, b=3, c=2, d=\sqrt{3}$
C.$a=4, b=6, c=5, d=10$
D.$a=12, b=8, c=15, d=11$

A

【分析】
要判断四条线段是否成比例，首先回忆成比例线段的判定方法：先将四条线段按长度从小到大（或从大到小）排序，再验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积（依据比例的基本性质，若$ad=bc$，则四条线段$a、b、c、d$成比例），若乘积相等则四条线段成比例，反之则不成比例。接下来对每个选项逐一按这个方法验证即可。
【解析】
判断四条线段成比例的步骤：先排序，再验证“最小×最大=中间两数乘积”是否成立。
选项A：四条线段长度分别为$a=2$，$b=\sqrt{5}$，$c=\sqrt{15}$，$d=2\sqrt{3}$，从小到大排序为：$2$，$\sqrt{5}$，$2\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$。
计算乘积：最小×最大=$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，中间两数乘积=$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，两者相等，故这四条线段成比例。
选项B：四条线段长度分别为$a=\sqrt{2}$，$b=3$，$c=2$，$d=\sqrt{3}$，从小到大排序为：$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$2$，$3$。
计算乘积：$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}$，$\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}≠2\sqrt{3}$，故不成比例。
选项C：四条线段长度分别为$a=4$，$b=6$，$c=5$，$d=10$，从小到大排序为：$4$，$5$，$6$，$10$。
计算乘积：$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，故不成比例。
选项D：四条线段长度分别为$a=12$，$b=8$，$c=15$，$d=11$，从小到大排序为：$8$，$11$，$12$，$15$。
计算乘积：$8×15=120$，$11×12=132$，$120≠132$，故不成比例。
【答案】
A
【知识点】
成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】
本题属于成比例线段判定的基础题型，解题的核心是掌握“先排序、再验乘积”的判定技巧，该方法能快速避免因线段顺序混乱导致的判断错误，熟练掌握后可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

3. 已知$3a=4b(ab≠0)$，则下列各式中正确的是 【 】

A.$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}$
D.$\dfrac{a}{3}=\dfrac{4}{b}$

A

【分析】
本题考查比例式与等积式的互化，解题思路有两种：一是将题干给出的等积式$3a=4b$利用等式的性质变形为比例式，和选项对比；二是利用比例的基本性质（内项之积等于外项之积），将每个选项的比例式还原为等积式，和题干的$3a=4b$对比，一致的即为正确选项。已知$ab≠0$，说明变形时除以a或b都有意义，不会出现分母为0的情况。
【解析】
方法1：将题干等积式变形为比例式
已知$3a=4b$，且$b≠0$，等式两边同时除以$3b$，可得：
$\frac{3a}{3b}=\frac{4b}{3b}$，化简得$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，对应选项A正确。
方法2：逐个验证选项
根据比例的基本性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$，则$mq=np$。
选项B：$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，交叉相乘得$4a=3b$，与题干$3a=4b$不符，错误；
选项C：$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$，交叉相乘得$4a=3b$，与题干$3a=4b$不符，错误；
选项D：$\frac{a}{3}=\frac{4}{b}$，交叉相乘得$ab=12$，与题干$3a=4b$不符，错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质、等式的变形
【点评】
本题是基础题，核心考查比例基本性质的应用，熟练掌握“比例的内项之积等于外项之积”这一性质，就能快速完成等积式和比例式的互化，准确判断选项正误。
【难度系数】
0.9

4.（深圳模拟）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”的美. 如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）. 如果AB的长度为10 cm，那么AP的长度为 【 】

A.$(5\sqrt{5} -5)\mathrm{cm}$
B.$(15 -5\sqrt{5})\mathrm{cm}$
C.6.18 cm
D.$(5\sqrt{5} +5)\mathrm{cm}$

A

【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：黄金分割点将线段分成较长线段和较短线段，其中较长线段与原线段的比值为固定值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题明确给出$AP＞PB$，说明AP是较长线段，因此直接用原线段AB的长度乘以黄金比即可求出AP的长度。
【解析】
解：
∵P为线段AB的黄金分割点，且$AP＞PB$，
∴较长线段AP与原线段AB的比值为黄金比，即$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}· AB$，
已知$AB=10\mathrm{cm}$，代入得：
$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=5(\sqrt{5}-1)=(5\sqrt{5}-5)\mathrm{cm}$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割；线段比例计算
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对黄金分割定义的理解，解题的关键是明确黄金分割中较长线段与原线段的数量关系，区分清楚较长段和较短段即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且$a=1\ \mathrm{cm}$，$b=3\ \mathrm{cm}$，$c=4\ \mathrm{cm}$，则d的值为cm.

5. 12

【分析】
首先明确成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d是成比例线段，则满足$a:b = c:d$，四条线段的顺序不可随意调换。解题时先根据定义列出比例式，再代入已知线段的长度，利用比例的基本性质求解d即可。
【解析】
∵线段a、b、c、d是成比例线段
∴根据成比例线段的定义可得：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
将$a=1\ \mathrm{cm}$，$b=3\ \mathrm{cm}$，$c=4\ \mathrm{cm}$代入比例式得：
$\frac{1}{3}=\frac{4}{d}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$1× d=3×4$
解得$d=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
12
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查成比例线段的概念，解题的关键是牢记成比例线段的顺序是固定的，不能随意调换四条线段的位置，掌握相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. (1) 若$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，则$\frac{x-y}{y}=$；(2) 若$\frac{a}{4}=\frac{b}{5}$，则$\frac{2a+b}{a-b}=$；(3) 若$2x -5y=0$，则$(3x + y):(4x -3y)=$。

6. (1) $-\frac{1}{3}$ (2) $-13$ (3) $17:14$

【分析】
本题3个小问均考查比例相关的计算，核心解题思路是利用比例的性质或参数法求解：①已知两个量的比值求分式值时，既可以拆分分式直接代入已知比值计算，也可以设公共参数，将两个未知量用含同一参数的式子表示，代入待求式后约去参数即可得到结果；②已知两个量的等量关系求比值时，先将等量关系转化为比例式，再用参数法代入计算即可。
【解析】
(1) 拆分分式可得$\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1$，将$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$代入得：
原式$=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$。
(2) 设$\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=k(k≠0)$，则$a=4k$，$b=5k$，代入$\frac{2a+b}{a-b}$得：
原式$=\frac{2×4k +5k}{4k -5k}=\frac{8k+5k}{-k}=\frac{13k}{-k}=-13$。
(3) 由$2x-5y=0$可得$2x=5y$，即$\frac{x}{y}=\frac{5}{2}$，设$x=5k$，$y=2k(k≠0)$，代入$(3x+y):(4x-3y)$得：
原式$=(3×5k +2k):(4×5k -3×2k)=(15k+2k):(20k-6k)=17k:14k=17:14$。
【答案】
(1) $-\frac{1}{3}$；(2) $-13$；(3) $17:14$
【知识点】
比例的基本性质，参数法求比值，分式化简
【点评】
本题属于比例相关的基础常考题型，重点考查比例性质的灵活应用，掌握设公共参数的方法可快速解决此类比值计算问题，计算时注意符号处理和约分即可。
【难度系数】
0.8

7. 已知$a$、$b$、$c$是$△ ABC$的三边长，且$\frac{2}{a}=\frac{3}{b}=\frac{4}{c}$。
（1）求$\frac{a+2b}{3c}$的值；
（2）若$△ ABC$的周长为81，求三边$a$、$b$、$c$的长。

由$\frac{2}{a}=\frac{3}{b}=\frac{4}{c}$,设$a=2k$,则$b=3k$,$c=4k$. (1) $\frac{a+2b}{3c}=\frac{2k+6k}{12k}=\frac{2}{3}$ (2) $\because△ ABC$的周长为81,$\therefore a+b+c=2k+3k+4k=9k=81$. 解得$k=9$. $\therefore a=18$,$b=27$,$c=36$

【分析】
遇到连比等式的问题，通常采用设参数的方法简化计算。我们可以根据已知的连比关系，设一个参数k，将a、b、c三边都用含k的代数式表示。第一问将用k表示的a、b、c代入待求分式，约去参数k即可求出分式的值；第二问利用三角形周长等于三边之和的条件，代入含k的三边表达式，建立关于k的一元一次方程，解出k的值后就能求出三边的长度。
【解析】
解：由$\frac{2}{a}=\frac{3}{b}=\frac{4}{c}$，可设$a=2k$（$k≠0$），则$b=3k$，$c=4k$。
（1）将$a=2k$、$b=3k$、$c=4k$代入$\frac{a+2b}{3c}$得：
$\frac{a+2b}{3c}=\frac{2k + 2×3k}{3×4k}=\frac{2k+6k}{12k}=\frac{8k}{12k}=\frac{2}{3}$
（2）$\because △ ABC$的周长为81，$\therefore a+b+c=81$，
代入$a=2k$、$b=3k$、$c=4k$得：
$2k+3k+4k=81$
合并同类项得$9k=81$，解得$k=9$，
$\therefore a=2×9=18$，$b=3×9=27$，$c=4×9=36$。
【答案】
（1）$\frac{2}{3}$；（2）$a=18$，$b=27$，$c=36$
【知识点】
比例的性质、代数式求值、三角形周长公式
【点评】
本题是比例应用的基础题型，核心解题方法是设参数法，将连比关系中的多个未知量统一为单一参数表示，大幅降低计算难度，掌握该方法可快速解决同类型的比例计算问题。
【难度系数】
0.8