12. 如图，已知 $DE // BC$，$FE // CD$，$AF = 3$，$AD = 5$，$AE = 4$. 求：
(1) $CE$ 的长；
(2) $AB$ 的长.

（1）$\because FE // CD,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD},即\frac{4}{AC}=\frac{3}{5}. 解得AC=\frac{20}{3}.\therefore CE=AC-AE=\frac{20}{3}-4=\frac{8}{3}$ （2）$\because DE // BC,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD},即\frac{5}{AB}=\frac{3}{5}. 解得AB=\frac{25}{3}$

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：
1. 求CE的长：首先观察到$FE// CD$，根据平行线分线段成比例定理可得对应线段成比例$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$，代入已知的AF、AD、AE的长度，先求出AC的长度，再利用$CE=AC-AE$即可算出CE的长度。
2. 求AB的长：由$DE// BC$，再次运用平行线分线段成比例定理得到$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，结合第一问得到的$\frac{AE}{AC}$的比值，代入AD的长度即可求出AB的长度。
【解析】
(1) $\because FE// CD$，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$
将$AF=3$，$AD=5$，$AE=4$代入上式，得：
$\frac{4}{AC}=\frac{3}{5}$
解得$AC=\frac{20}{3}$
$\therefore CE=AC-AE=\frac{20}{3}-4=\frac{20}{3}-\frac{12}{3}=\frac{8}{3}$
(2) $\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
由(1)可知$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}=\frac{3}{5}$，将$AD=5$代入得：
$\frac{5}{AB}=\frac{3}{5}$
解得$AB=\frac{25}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{8}{3}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{25}{3}}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例方程求解
【点评】
本题是平行线分线段成比例的典型基础应用题，解题的核心是根据平行关系准确找到成比例的对应线段，再代入已知条件列方程求解，计算时注意分数的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.75

13. 如图,已知直线 $ l_1 $、$ l_2 $、$ l_3 $ 分别截直线 $ l_4 $ 于点A、B、C,截直线 $ l_5 $ 于点D、E、F,且 $ l_1 // l_2 // l_3 $.
(1) 如果 $ AB=4 $, $ BC=8 $, $ EF=12 $, 求 $ DE $ 的长;
(2) 如果 $ DE:EF=2:3 $, $ AC=25 $, 求 $ AB $ 的长.

（1）$\because l_1 // l_2 // l_3,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}.\because AB=4, BC=8, EF=12,\therefore \frac{4}{8}=\frac{DE}{12}. 解得DE=6$ （2）$\because l_1 // l_2 // l_3,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}.\because \frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}, AC=25,\therefore \frac{AB}{25-AB}=\frac{2}{3}. 解得AB=10$

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：
（1）根据$l_1// l_2// l_3$，利用平行线分线段成比例定理可得两条被截直线上的对应线段成比例，即$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，将已知线段长度代入比例式即可求出$DE$的长。
（2）同样由平行线分线段成比例定理可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，结合$DE:EF=2:3$和$AC=AB+BC=25$，将$BC$替换为$25-AB$代入比例式，构造一元一次方程即可求解$AB$的长。
【解析】
（1）$\because l_1// l_2// l_3$，由平行线分线段成比例定理，两条直线被三条平行线所截，所得对应线段成比例，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
将$AB=4$，$BC=8$，$EF=12$代入得：
$\frac{4}{8}=\frac{DE}{12}$，
解得$DE=\frac{4×12}{8}=6$。
（2）$\because l_1// l_2// l_3$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
已知$DE:EF=2:3$，$AC=25$，即$BC=AC-AB=25-AB$，代入比例式得：
$\frac{AB}{25-AB}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得$3AB=2(25-AB)$，
整理得$5AB=50$，
解得$AB=10$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{DE=6}$；（2）$\boldsymbol{AB=10}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例的性质
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于平行线分线段成比例的基础应用题，解题核心是准确识别对应线段、正确列出比例式，计算难度低，熟练掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8