登录
8.如图5-1-5①,长为5m、宽为4m的长方形内部有一个不规则图案,随机向长方形区域内扔一个小球,并记录小球落在不规则图案上的次数,将若干次有效试验的结果绘制成折线统计图(如图5-1-5②),由此可以估计不规则图案的面积大约为 …………【 】
A.9 m²
B.8 m²
C.7 m²
D.6 m²
A.9 m²
B.8 m²
C.7 m²
D.6 m²
答案
C。
解析
【分析】
这道题可结合频率估计概率和几何概率的知识求解。首先明确：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在其概率附近，且小球落在不规则图案的概率等于不规则图案面积与长方形面积的比值。解题步骤为：先计算长方形的总面积，再从折线图中找到稳定的频率作为概率，最后用长方形总面积乘概率即可得到不规则图案的估计面积。
【解析】
解：先计算长方形的面积：
$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = 5 × 4 = 20\ \mathrm{m}^2$
观察折线统计图可知，随着试验次数不断增加，小球落在不规则图案中的频率稳定在0.35左右，根据频率估计概率的原理，可估计小球落在不规则图案的概率为0.35。
设不规则图案的面积为$S$，根据几何概率的性质有：
$\frac{S}{S_{\mathrm{长方形}}} = 0.35$
将$S_{\mathrm{长方形}}=20$代入得：
$S = 20 × 0.35 = 7\ \mathrm{m}^2$
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率、几何概率计算
【点评】
本题属于概率基础应用题，将统计特性和几何概率相结合，解题关键是准确提取折线图中的稳定频率值，理解频率与概率、面积比与概率的对应关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
这道题可结合频率估计概率和几何概率的知识求解。首先明确：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在其概率附近，且小球落在不规则图案的概率等于不规则图案面积与长方形面积的比值。解题步骤为：先计算长方形的总面积，再从折线图中找到稳定的频率作为概率，最后用长方形总面积乘概率即可得到不规则图案的估计面积。
【解析】
解：先计算长方形的面积：
$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = 5 × 4 = 20\ \mathrm{m}^2$
观察折线统计图可知，随着试验次数不断增加，小球落在不规则图案中的频率稳定在0.35左右，根据频率估计概率的原理，可估计小球落在不规则图案的概率为0.35。
设不规则图案的面积为$S$，根据几何概率的性质有：
$\frac{S}{S_{\mathrm{长方形}}} = 0.35$
将$S_{\mathrm{长方形}}=20$代入得：
$S = 20 × 0.35 = 7\ \mathrm{m}^2$
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率、几何概率计算
【点评】
本题属于概率基础应用题，将统计特性和几何概率相结合，解题关键是准确提取折线图中的稳定频率值，理解频率与概率、面积比与概率的对应关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
9.某批篮球的质量检验结果如下表：
（1）将表中数据补充完整.
（2）画出优等品的频率的折线统计图.
（3）从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值是多少？
（1）将表中数据补充完整.
（2）画出优等品的频率的折线统计图.
（3）从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值是多少？
答案
9. (1) 0.91，0.96，0.95，0.94，0.94，0.942，0.94。
(2) 图略。
(3) 这批篮球优等品概率的估计值是0.94。
(2) 图略。
(3) 这批篮球优等品概率的估计值是0.94。
解析
【分析】
本题围绕频率计算和频率估计概率展开，解题思路如下：①第一问计算频率：根据频率的定义，频率=频数÷试验总数，将表格中每一组的优等品频数m除以抽取篮球数n，即可得到对应频率，补全表格；②第二问绘制折线统计图：以抽取篮球数为横坐标，优等品频率为纵坐标，先描出每组对应的坐标点，再用线段依次连接各点即可；③第三问求概率估计值：大量重复试验时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生概率的估计值，观察频率的稳定值即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算每组的优等品频率：
$91÷100=0.91$，$192÷200=0.96$，$380÷400=0.95$，$564÷600=0.94$，$752÷800=0.94$，$942÷1000=0.942$，$1128÷1200=0.94$，依次填入表格即可。
(2) 绘制折线统计图步骤：建立平面直角坐标系，横坐标标注抽取篮球数100、200、…、1200，纵坐标标注优等品频率，依次描出7组数据对应的点，再用线段顺次连接各点，即得所求折线统计图。
(3) 观察计算得到的频率可知，随着抽取篮球数的增大，优等品的频率逐渐稳定在0.94附近，根据频率估计概率的规律，大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，因此任意抽取一个篮球是优等品的概率估计值为0.94。
【答案】
(1) 0.91，0.96，0.95，0.94，0.94，0.942，0.94
(2) 图略
(3) 0.94
【知识点】
频率的计算，折线统计图绘制，用频率估计概率
【点评】
本题属于基础应用类题目，重点考察对频率与概率关系的理解，解题核心是掌握频率的计算公式，以及大量重复试验中频率稳定于概率的规律，同时锻炼了学生的数据处理和统计图表绘制能力。
【难度系数】
0.85
本题围绕频率计算和频率估计概率展开，解题思路如下：①第一问计算频率：根据频率的定义，频率=频数÷试验总数，将表格中每一组的优等品频数m除以抽取篮球数n，即可得到对应频率，补全表格；②第二问绘制折线统计图：以抽取篮球数为横坐标，优等品频率为纵坐标，先描出每组对应的坐标点，再用线段依次连接各点即可；③第三问求概率估计值：大量重复试验时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生概率的估计值，观察频率的稳定值即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算每组的优等品频率：
$91÷100=0.91$，$192÷200=0.96$，$380÷400=0.95$，$564÷600=0.94$，$752÷800=0.94$，$942÷1000=0.942$，$1128÷1200=0.94$，依次填入表格即可。
(2) 绘制折线统计图步骤：建立平面直角坐标系，横坐标标注抽取篮球数100、200、…、1200，纵坐标标注优等品频率，依次描出7组数据对应的点，再用线段顺次连接各点，即得所求折线统计图。
(3) 观察计算得到的频率可知，随着抽取篮球数的增大，优等品的频率逐渐稳定在0.94附近，根据频率估计概率的规律，大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，因此任意抽取一个篮球是优等品的概率估计值为0.94。
【答案】
(1) 0.91，0.96，0.95，0.94，0.94，0.942，0.94
(2) 图略
(3) 0.94
【知识点】
频率的计算，折线统计图绘制，用频率估计概率
【点评】
本题属于基础应用类题目，重点考察对频率与概率关系的理解，解题核心是掌握频率的计算公式，以及大量重复试验中频率稳定于概率的规律，同时锻炼了学生的数据处理和统计图表绘制能力。
【难度系数】
0.85
10.一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个,某学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色,再把它放回口袋中,不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近
(2)假如你去摸一次,摸到白球的概率是
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个.
(1)估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近
0.6
.(2)假如你去摸一次,摸到白球的概率是
0.6
,摸到黑球的概率是0.4
.(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个.
答案
10. (1) 0.6。
(2) 0.6；0.4。
(3) 8，12。
(2) 0.6；0.4。
(3) 8，12。
解析
【分析】
(1) 根据频率的稳定性规律，当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定数值附近，只需观察表格中摸球次数增大时，摸到白球的频率的趋近值即可求解。
(2) 大量重复试验中，事件的频率稳定值可以用来估计该事件发生的概率，因此摸到白球的概率为频率的稳定值，摸到黑球的概率用整体概率1减去摸到白球的概率即可得到。
(3) 已知球的总数量，用总数量分别乘摸到白球、黑球的概率，就能估算出两种颜色球的具体个数。
【解析】
(1) 观察表格数据，随着摸球次数$n$不断增大，摸到白球的频率依次为0.58、0.64、0.58、0.59、0.605、0.601，逐渐稳定在0.6附近，因此当$n$很大时，摸到白球的频率接近0.6。
(2) 根据用频率估计概率的结论，摸到白球的概率为频率的稳定值0.6；摸到黑球的概率为：$1-0.6=0.4$。
(3) 白球数量估算：$20×0.6=12$（个）
黑球数量估算：$20×0.4=8$（个）
【答案】
(1) 0.6
(2) 0.6；0.4
(3) 黑球8个，白球12个
【知识点】
频率的稳定性，用频率估计概率，概率计算
【点评】
本题是频率与概率模块的典型基础题，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为对应事件的概率，结合概率的基础计算即可快速求解，需要熟练掌握频率和概率的关联逻辑。
【难度系数】
0.8
(1) 根据频率的稳定性规律，当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定数值附近，只需观察表格中摸球次数增大时，摸到白球的频率的趋近值即可求解。
(2) 大量重复试验中，事件的频率稳定值可以用来估计该事件发生的概率，因此摸到白球的概率为频率的稳定值，摸到黑球的概率用整体概率1减去摸到白球的概率即可得到。
(3) 已知球的总数量，用总数量分别乘摸到白球、黑球的概率，就能估算出两种颜色球的具体个数。
【解析】
(1) 观察表格数据，随着摸球次数$n$不断增大，摸到白球的频率依次为0.58、0.64、0.58、0.59、0.605、0.601，逐渐稳定在0.6附近，因此当$n$很大时，摸到白球的频率接近0.6。
(2) 根据用频率估计概率的结论，摸到白球的概率为频率的稳定值0.6；摸到黑球的概率为：$1-0.6=0.4$。
(3) 白球数量估算：$20×0.6=12$（个）
黑球数量估算：$20×0.4=8$（个）
【答案】
(1) 0.6
(2) 0.6；0.4
(3) 黑球8个，白球12个
【知识点】
频率的稳定性，用频率估计概率，概率计算
【点评】
本题是频率与概率模块的典型基础题，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为对应事件的概率，结合概率的基础计算即可快速求解，需要熟练掌握频率和概率的关联逻辑。
【难度系数】
0.8
