登录
11.一个口袋中有8个黑球和若干个白球,如果不将球倒出来数,那么你能估计出其中的白球个数吗?
小明解决问题的方法:从口袋中随机摸出1个球,记下颜色,再把球放回口袋中.重复上述过程,共摸了200次,其中57次摸到黑球,由此估计口袋中大约有20个白球.
方法揭示:设口袋中有x个白球,通过多次试验,可以估计从口袋中随机摸出1个球为黑球的概率为$\frac{57}{200}$,这个概率等于$\frac{8}{8+x}$.
拓展应用:口袋中只有若干个白球,而且不允许将球倒出来数,你如何运用上述方法估计白球的个数?
小明解决问题的方法:从口袋中随机摸出1个球,记下颜色,再把球放回口袋中.重复上述过程,共摸了200次,其中57次摸到黑球,由此估计口袋中大约有20个白球.
方法揭示:设口袋中有x个白球,通过多次试验,可以估计从口袋中随机摸出1个球为黑球的概率为$\frac{57}{200}$,这个概率等于$\frac{8}{8+x}$.
拓展应用:口袋中只有若干个白球,而且不允许将球倒出来数,你如何运用上述方法估计白球的个数?
答案
可以往口袋中另放几个黑球,或从口袋中抽出几个球把它们做上标记,然后用小明的办法。
解析
【分析】
首先明确小明解题方法的核心逻辑：一是大量重复试验下，随机事件发生的频率近似等于其概率；二是摸出某类球的概率=该类球的数量÷口袋中球的总数量，通过建立方程即可求解未知球数。现在口袋中只有白球，没有已知数量的可区分参照球，因此首先需要构造已知数量的参照样本：要么向口袋中放入已知个数的黑球，要么抽取部分白球做标记后放回，将这部分已知数量的特殊球作为参照，之后就可以沿用小明的试验方法，列方程估算白球总数。
【解析】
我们可以通过两种方式构造参照样本，再用小明的方法估算：
方案1：往口袋中放入a个已知数量的黑球（a为正整数），充分摇匀口袋中的球后，重复进行摸球试验：每次随机摸出1个球，记录颜色后放回口袋，重复足够多次（如200次以上），统计摸到黑球的次数为m，可得摸到黑球的频率为$\frac{m}{n}$（n为总摸球次数）。根据频率近似等于概率，可得$\frac{m}{n}≈\frac{a}{a+x}$（x为白球总个数），解方程即可估算出白球数x。
方案2：从口袋中抽出b个白球，做上不影响识别的标记后放回口袋，充分摇匀后重复摸球试验：每次随机摸出1个球，记录是否带标记后放回，重复足够多次，统计摸到标记球的次数为k，可得摸到标记球的频率为$\frac{k}{n}$，根据频率近似等于概率，可得$\frac{k}{n}≈\frac{b}{x}$，解方程即可估算出白球数x。
【答案】
可以往口袋中另放几个黑球,或从口袋中抽出几个球把它们做上标记,然后用小明的办法。
【知识点】
频率估计概率、概率公式、用样本估计总体
【点评】
本题考查概率统计知识的迁移应用能力，核心是要抓住原有方法的本质，灵活构造已知数量的参照样本，再利用频率与概率的关系建立等量关系求解，体现了统计思想在实际估算问题中的应用。
【难度系数】
0.6
首先明确小明解题方法的核心逻辑：一是大量重复试验下，随机事件发生的频率近似等于其概率；二是摸出某类球的概率=该类球的数量÷口袋中球的总数量，通过建立方程即可求解未知球数。现在口袋中只有白球，没有已知数量的可区分参照球，因此首先需要构造已知数量的参照样本：要么向口袋中放入已知个数的黑球，要么抽取部分白球做标记后放回，将这部分已知数量的特殊球作为参照，之后就可以沿用小明的试验方法，列方程估算白球总数。
【解析】
我们可以通过两种方式构造参照样本，再用小明的方法估算：
方案1：往口袋中放入a个已知数量的黑球（a为正整数），充分摇匀口袋中的球后，重复进行摸球试验：每次随机摸出1个球，记录颜色后放回口袋，重复足够多次（如200次以上），统计摸到黑球的次数为m，可得摸到黑球的频率为$\frac{m}{n}$（n为总摸球次数）。根据频率近似等于概率，可得$\frac{m}{n}≈\frac{a}{a+x}$（x为白球总个数），解方程即可估算出白球数x。
方案2：从口袋中抽出b个白球，做上不影响识别的标记后放回口袋，充分摇匀后重复摸球试验：每次随机摸出1个球，记录是否带标记后放回，重复足够多次，统计摸到标记球的次数为k，可得摸到标记球的频率为$\frac{k}{n}$，根据频率近似等于概率，可得$\frac{k}{n}≈\frac{b}{x}$，解方程即可估算出白球数x。
【答案】
可以往口袋中另放几个黑球,或从口袋中抽出几个球把它们做上标记,然后用小明的办法。
【知识点】
频率估计概率、概率公式、用样本估计总体
【点评】
本题考查概率统计知识的迁移应用能力，核心是要抓住原有方法的本质，灵活构造已知数量的参照样本，再利用频率与概率的关系建立等量关系求解，体现了统计思想在实际估算问题中的应用。
【难度系数】
0.6
12.某商场为吸引顾客，设置了两种促销方式，每位顾客只能选择一种方式.
【方式一】每购买100元商品，获得一次转转盘的机会，转盘停止后，指针对准100元、50元、20元的相应区域，顾客就可以获得相应数量的购物券，凭购物券继续购物.
【方式二】每购买100元商品，可直接获得10元购物券.
（1）据统计，一天中共有1000人次选择转转盘的方式，指针落在100元、50元、20元的区域分别为50次、100次、200次，求指针落在得不到购物券区域的概率.
（2）通过计算说明选择哪种方式顾客更合算.
【方式一】每购买100元商品，获得一次转转盘的机会，转盘停止后，指针对准100元、50元、20元的相应区域，顾客就可以获得相应数量的购物券，凭购物券继续购物.
【方式二】每购买100元商品，可直接获得10元购物券.
（1）据统计，一天中共有1000人次选择转转盘的方式，指针落在100元、50元、20元的区域分别为50次、100次、200次，求指针落在得不到购物券区域的概率.
（2）通过计算说明选择哪种方式顾客更合算.
答案
12. (1) P(得不到购物券) = 0.65。
(2) 以1000人次为例：
方式一获购物券14000元；
方式二获购物券10000元。
所以方式一更合算。
(2) 以1000人次为例：
方式一获购物券14000元；
方式二获购物券10000元。
所以方式一更合算。
解析
【分析】
（1）求指针落在得不到购物券区域的概率，可先通过总人次减去落在有奖区域的总人次，得到落在无奖区域的人次，结合大量重复试验中频率近似等于概率的规律，用无奖人次除以总人次即可求出对应概率。
（2）判断哪种促销方式更合算，可计算相同人次下两种方式获得的购物券总金额，总金额更高的方式更优惠，本题可直接使用题干给出的1000人次数据计算对比即可。
【解析】
（1）先计算指针落在无奖区域的人次：
已知总人次为1000次，落在100元、50元、20元有奖区域的人次总和为$50+100+200=350$次，
因此落在得不到购物券区域的人次为$1000-350=650$次，
根据概率的计算方法可得：$P(\mathrm{得不到购物券})=\frac{\mathrm{无奖人次}}{\mathrm{总人次}}=\frac{650}{1000}=0.65$。
（2）分别计算1000人次下两种促销方式获得的购物券总金额：
方式一总金额：$50×100 + 100×50 + 200×20=5000+5000+4000=14000$元；
方式二每消费100元可直接获得10元购物券，1000人次总金额：$1000×10=10000$元；
因为$14000＞10000$，所以选择方式一更合算。
【答案】
(1) $P(\mathrm{得不到购物券}) = 0.65$；
(2) 选择方式一更合算。
【知识点】
1. 概率计算
2. 频率估计概率
3. 方案决策
【点评】
本题结合生活中常见的商场促销场景命题，既考查了概率的基础计算能力，也引导学生运用数学知识解决实际生活中的选择问题，解题时需注意准确提取题干数据，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
（1）求指针落在得不到购物券区域的概率，可先通过总人次减去落在有奖区域的总人次，得到落在无奖区域的人次，结合大量重复试验中频率近似等于概率的规律，用无奖人次除以总人次即可求出对应概率。
（2）判断哪种促销方式更合算，可计算相同人次下两种方式获得的购物券总金额，总金额更高的方式更优惠，本题可直接使用题干给出的1000人次数据计算对比即可。
【解析】
（1）先计算指针落在无奖区域的人次：
已知总人次为1000次，落在100元、50元、20元有奖区域的人次总和为$50+100+200=350$次，
因此落在得不到购物券区域的人次为$1000-350=650$次，
根据概率的计算方法可得：$P(\mathrm{得不到购物券})=\frac{\mathrm{无奖人次}}{\mathrm{总人次}}=\frac{650}{1000}=0.65$。
（2）分别计算1000人次下两种促销方式获得的购物券总金额：
方式一总金额：$50×100 + 100×50 + 200×20=5000+5000+4000=14000$元；
方式二每消费100元可直接获得10元购物券，1000人次总金额：$1000×10=10000$元；
因为$14000＞10000$，所以选择方式一更合算。
【答案】
(1) $P(\mathrm{得不到购物券}) = 0.65$；
(2) 选择方式一更合算。
【知识点】
1. 概率计算
2. 频率估计概率
3. 方案决策
【点评】
本题结合生活中常见的商场促销场景命题，既考查了概率的基础计算能力，也引导学生运用数学知识解决实际生活中的选择问题，解题时需注意准确提取题干数据，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
