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1. 如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=kx+h$交于$A,B$两点,则下列结论正确的是(
A.$ax^2+(b-k)x+c＞h$的解集是$2＜x＜4$
B.$ax^2+(b-k)x+c＞h$的解集是$x＞4$
C.$ax^2+(b-k)x+c＞h$的解集是$x＜2$
D.$ax^2+(b-k)x+c=h$的解是$x_1=2,x_2=4$
D
)。A.$ax^2+(b-k)x+c＞h$的解集是$2＜x＜4$
B.$ax^2+(b-k)x+c＞h$的解集是$x＞4$
C.$ax^2+(b-k)x+c＞h$的解集是$x＜2$
D.$ax^2+(b-k)x+c=h$的解是$x_1=2,x_2=4$
答案
1. D
解析
【分析】
首先将题干中的不等式和等式变形，转化为两个函数值的大小比较问题：$ax^2+(b-k)x+c＞h$可变形为$ax^2+bx+c＞kx+h$，对应图象中抛物线在直线上方时x的取值范围；$ax^2+(b-k)x+c=h$可变形为$ax^2+bx+c=kx+h$，对应抛物线和直线交点的横坐标。再结合图像中交点A、B的横坐标分别为2和4，逐一判断选项即可。
【解析】
1. 分析不等式$ax^2+(b-k)x+c＞h$：
移项得$ax^2+bx+c＞kx+h$，即抛物线函数值大于直线函数值，对应图象中抛物线在直线上方的区域。观察图象可知，当$x＜2$或$x＞4$时抛物线在直线上方，因此该不等式的解集为$x＜2$或$x＞4$，故选项A、B、C均错误。
2. 分析等式$ax^2+(b-k)x+c=h$：
移项得$ax^2+bx+c=kx+h$，即抛物线与直线交点的横坐标，由图可知两个交点的横坐标分别为2和4，因此方程的解为$x_1=2,x_2=4$，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
函数交点的意义、函数与方程（不等式）的关系
【点评】
本题将函数图象与方程、不等式结合考查，核心是理解函数值的大小关系对应图象的上下位置关系，解题时运用数形结合思想可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
首先将题干中的不等式和等式变形，转化为两个函数值的大小比较问题：$ax^2+(b-k)x+c＞h$可变形为$ax^2+bx+c＞kx+h$，对应图象中抛物线在直线上方时x的取值范围；$ax^2+(b-k)x+c=h$可变形为$ax^2+bx+c=kx+h$，对应抛物线和直线交点的横坐标。再结合图像中交点A、B的横坐标分别为2和4，逐一判断选项即可。
【解析】
1. 分析不等式$ax^2+(b-k)x+c＞h$：
移项得$ax^2+bx+c＞kx+h$，即抛物线函数值大于直线函数值，对应图象中抛物线在直线上方的区域。观察图象可知，当$x＜2$或$x＞4$时抛物线在直线上方，因此该不等式的解集为$x＜2$或$x＞4$，故选项A、B、C均错误。
2. 分析等式$ax^2+(b-k)x+c=h$：
移项得$ax^2+bx+c=kx+h$，即抛物线与直线交点的横坐标，由图可知两个交点的横坐标分别为2和4，因此方程的解为$x_1=2,x_2=4$，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
函数交点的意义、函数与方程（不等式）的关系
【点评】
本题将函数图象与方程、不等式结合考查，核心是理解函数值的大小关系对应图象的上下位置关系，解题时运用数形结合思想可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
2. 下列函数,其图象与抛物线$y=x^2 -2x +4$具有相同对称轴的是(
A.$y=4x^2 +2x +1$
B.$y=2x^2 -4x +1$
C.$y=2x^2 -x +4$
D.$y=x^2 -4x +2$
B
)。A.$y=4x^2 +2x +1$
B.$y=2x^2 -4x +1$
C.$y=2x^2 -x +4$
D.$y=x^2 -4x +2$
答案
2. B
解析
【分析】
本题解题核心是利用二次函数一般式的对称轴公式求解。首先回忆：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。解题步骤为：①先计算已知抛物线$y=x^2-2x+4$的对称轴；②再依次计算四个选项中函数的对称轴，与已知对称轴对比，选出一致的选项即可。
【解析】
首先计算原抛物线的对称轴：
在$y=x^2-2x+4$中，$a=1$，$b=-2$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，即原抛物线对称轴为直线$x=1$。
接下来分别计算各选项的对称轴：
A选项：$y=4x^2+2x+1$中，$a=4$，$b=2$，对称轴$x=-\frac{2}{2×4}=-\frac{1}{4}$，不符合；
B选项：$y=2x^2-4x+1$中，$a=2$，$b=-4$，对称轴$x=-\frac{-4}{2×2}=1$，与原抛物线对称轴一致，符合要求；
C选项：$y=2x^2-x+4$中，$a=2$，$b=-1$，对称轴$x=-\frac{-1}{2×2}=\frac{1}{4}$，不符合；
D选项：$y=x^2-4x+2$中，$a=1$，$b=-4$，对称轴$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，不符合。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数一般式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查对称轴公式的应用，只要熟记公式、代入计算时注意系数的符号，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题解题核心是利用二次函数一般式的对称轴公式求解。首先回忆：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。解题步骤为：①先计算已知抛物线$y=x^2-2x+4$的对称轴；②再依次计算四个选项中函数的对称轴，与已知对称轴对比，选出一致的选项即可。
【解析】
首先计算原抛物线的对称轴：
在$y=x^2-2x+4$中，$a=1$，$b=-2$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，即原抛物线对称轴为直线$x=1$。
接下来分别计算各选项的对称轴：
A选项：$y=4x^2+2x+1$中，$a=4$，$b=2$，对称轴$x=-\frac{2}{2×4}=-\frac{1}{4}$，不符合；
B选项：$y=2x^2-4x+1$中，$a=2$，$b=-4$，对称轴$x=-\frac{-4}{2×2}=1$，与原抛物线对称轴一致，符合要求；
C选项：$y=2x^2-x+4$中，$a=2$，$b=-1$，对称轴$x=-\frac{-1}{2×2}=\frac{1}{4}$，不符合；
D选项：$y=x^2-4x+2$中，$a=1$，$b=-4$，对称轴$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，不符合。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数一般式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查对称轴公式的应用，只要熟记公式、代入计算时注意系数的符号，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
3. (2025·甘肃中考)如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的平面直角坐标系,水流喷出的高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的关系式是$y = -x^2 + 2x + \frac{7}{4}(x ＞ 0)$,则水流喷出的最大高度是(
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
B
)。A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
答案
3. B
解析
【分析】
要计算水流喷出的最大高度，本质是求二次函数$y = -x^2 + 2x + \frac{7}{4}$的最大值。已知该二次函数二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，顶点处的纵坐标就是函数的最大值，我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式，或者直接使用顶点纵坐标公式计算即可得到结果。
【解析】
方法一（配方法）：
将函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + 1 + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + \frac{11}{4}\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，即函数的最值。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}\\&=\frac{-7-4}{-4}\\&=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}\end{aligned}$
因此水流喷出的最大高度是2.75m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的顶点式；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷水场景考查二次函数的应用，解题的核心是将求最大高度的实际问题转化为求二次函数最值的数学问题，熟练掌握二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算水流喷出的最大高度，本质是求二次函数$y = -x^2 + 2x + \frac{7}{4}$的最大值。已知该二次函数二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，顶点处的纵坐标就是函数的最大值，我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式，或者直接使用顶点纵坐标公式计算即可得到结果。
【解析】
方法一（配方法）：
将函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + 1 + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + \frac{11}{4}\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，即函数的最值。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}\\&=\frac{-7-4}{-4}\\&=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}\end{aligned}$
因此水流喷出的最大高度是2.75m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的顶点式；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷水场景考查二次函数的应用，解题的核心是将求最大高度的实际问题转化为求二次函数最值的数学问题，熟练掌握二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. (2025·山东中考)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度$y$(cm/天)与光照强度$x$(勒克斯)之间存在一定关系。在低光照强度范围$(200 ≤ x ＜ 1\,000)$内,$y$与$x$之间近似成一次函数关系;在中高光照强度范围$(x ≥ 1\,000)$内,$y$与$x$之间近似成二次函数关系,其部分图象如图所示。根据图象,下列结论正确的是(
A.当$x ≥ 1\,000$时,$y$的值随着$x$值的增大而减小
B.当$x = 2\,000$时,$y$有最大值
C.当$y ≥ 0.6$时,$x ≥ 1\,000$
D.当$y = 0.4$时,$x = 600$
B
)。A.当$x ≥ 1\,000$时,$y$的值随着$x$值的增大而减小
B.当$x = 2\,000$时,$y$有最大值
C.当$y ≥ 0.6$时,$x ≥ 1\,000$
D.当$y = 0.4$时,$x = 600$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先明确本题是分段函数问题，分为低光照（200≤x＜1000，一次函数）和中高光照（x≥1000，二次函数）两段，结合图象给出的点坐标，分别利用一次函数、二次函数的性质逐一分析选项：①通过二次函数的增减性判断选项A；②利用二次函数的对称性确定对称轴，判断最大值对应的x值验证选项B；③找到y≥0.6对应的x取值范围判断选项C；④结合两段函数的取值，判断y=0.4时x的个数验证选项D。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 分析选项A：当x≥1000时，y与x为二次函数关系，由图象可知该二次函数开口向下，在1000≤x≤2000区间内y随x的增大而增大，在x＞2000区间内y随x的增大而减小，并非随x增大一直减小，故A错误。
2. 分析选项B：二次函数图象过(1000,0.6)和(3000,0.6)两点，两点纵坐标相同，因此二次函数对称轴为直线$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，又因图象开口向下，所以x=2000时y取得最大值，故B正确。
3. 分析选项C：由图象可得，当y≥0.6时，x的取值范围是1000≤x≤3000，x＞3000时y＜0.6，并非x≥1000都满足y≥0.6，故C错误。
4. 分析选项D：当y=0.4时，在200≤x＜1000的一次函数段有1个对应x值，在x≥1000的二次函数段还有1个对应x值，共2个x值，不只有x=600，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质，二次函数的性质，分段函数应用
【点评】
本题结合实际情境考查分段函数的相关知识，需要从图象中提取有效信息，运用数形结合思想分析一次函数、二次函数的增减性、对称性等特征，进而判断各结论的正误。
【难度系数】
0.7
解题时先明确本题是分段函数问题，分为低光照（200≤x＜1000，一次函数）和中高光照（x≥1000，二次函数）两段，结合图象给出的点坐标，分别利用一次函数、二次函数的性质逐一分析选项：①通过二次函数的增减性判断选项A；②利用二次函数的对称性确定对称轴，判断最大值对应的x值验证选项B；③找到y≥0.6对应的x取值范围判断选项C；④结合两段函数的取值，判断y=0.4时x的个数验证选项D。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 分析选项A：当x≥1000时，y与x为二次函数关系，由图象可知该二次函数开口向下，在1000≤x≤2000区间内y随x的增大而增大，在x＞2000区间内y随x的增大而减小，并非随x增大一直减小，故A错误。
2. 分析选项B：二次函数图象过(1000,0.6)和(3000,0.6)两点，两点纵坐标相同，因此二次函数对称轴为直线$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，又因图象开口向下，所以x=2000时y取得最大值，故B正确。
3. 分析选项C：由图象可得，当y≥0.6时，x的取值范围是1000≤x≤3000，x＞3000时y＜0.6，并非x≥1000都满足y≥0.6，故C错误。
4. 分析选项D：当y=0.4时，在200≤x＜1000的一次函数段有1个对应x值，在x≥1000的二次函数段还有1个对应x值，共2个x值，不只有x=600，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质，二次函数的性质，分段函数应用
【点评】
本题结合实际情境考查分段函数的相关知识，需要从图象中提取有效信息，运用数形结合思想分析一次函数、二次函数的增减性、对称性等特征，进而判断各结论的正误。
【难度系数】
0.7
5. (2025·青岛中考)将二次函数$y=x^2 -2x -3$的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是(
A.图象与y轴的交点坐标是$(0,-3)$
B.当$x=1$时，函数取得最大值
C.图象与x轴两个交点之间的距离为4
D.当$x＞1$时，y的值随着x值的增大而增大
C
)。A.图象与y轴的交点坐标是$(0,-3)$
B.当$x=1$时，函数取得最大值
C.图象与x轴两个交点之间的距离为4
D.当$x＞1$时，y的值随着x值的增大而增大
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先先求出原二次函数与x轴、y轴的交点及对称轴，再根据“x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方”的变换规则，得到新分段函数的性质，最后逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
先对原二次函数$y=x^2-2x-3$进行分析：
1. 求与x轴交点：令$y=0$，则$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即原函数与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$两点。
2. 翻折后函数的性质：x轴下方的部分（即$-1＜x＜3$的区间）沿x轴翻折后，该区间的函数解析式变为$y=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$；$x≤-1$或$x≥3$的部分在x轴上方，保持原解析式不变。
逐一判断选项：
A选项：令$x=0$，$0\in(-1,3)$，代入翻折后的解析式得$y=3$，即图象与y轴交点为$(0,3)$，A错误。
B选项：当$x=1$时，翻折部分的函数值为4，是该段的最大值，但$x＞3$时原函数开口向上，y随x增大而增大，函数值可远大于4，故$x=1$时不是整个函数的最大值，B错误。
C选项：翻折后图象与x轴的交点仍为$(-1,0)$、$(3,0)$，两点距离为$3-(-1)=4$，C正确。
D选项：当$1＜x＜3$时，翻折部分的函数开口向下，y随x增大而减小；当$x＞3$时y随x增大而增大，故$x＞1$时y不是一直随x增大而增大，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的翻折变换；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题结合翻折变换考查二次函数的相关性质，解题时要注意翻折后的函数为分段函数，需分区间讨论函数的增减性、最值等特征，避免忽略分段区间直接按原函数性质判断出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先先求出原二次函数与x轴、y轴的交点及对称轴，再根据“x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方”的变换规则，得到新分段函数的性质，最后逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
先对原二次函数$y=x^2-2x-3$进行分析：
1. 求与x轴交点：令$y=0$，则$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即原函数与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$两点。
2. 翻折后函数的性质：x轴下方的部分（即$-1＜x＜3$的区间）沿x轴翻折后，该区间的函数解析式变为$y=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$；$x≤-1$或$x≥3$的部分在x轴上方，保持原解析式不变。
逐一判断选项：
A选项：令$x=0$，$0\in(-1,3)$，代入翻折后的解析式得$y=3$，即图象与y轴交点为$(0,3)$，A错误。
B选项：当$x=1$时，翻折部分的函数值为4，是该段的最大值，但$x＞3$时原函数开口向上，y随x增大而增大，函数值可远大于4，故$x=1$时不是整个函数的最大值，B错误。
C选项：翻折后图象与x轴的交点仍为$(-1,0)$、$(3,0)$，两点距离为$3-(-1)=4$，C正确。
D选项：当$1＜x＜3$时，翻折部分的函数开口向下，y随x增大而减小；当$x＞3$时y随x增大而增大，故$x＞1$时y不是一直随x增大而增大，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的翻折变换；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题结合翻折变换考查二次函数的相关性质，解题时要注意翻折后的函数为分段函数，需分区间讨论函数的增减性、最值等特征，避免忽略分段区间直接按原函数性质判断出错。
【难度系数】
0.6
