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1.写出两个与$\sqrt{12}$是同类二次根式的根式：
如$\sqrt{3},\sqrt{27},\sqrt{75}$等
.答案
1. 如$\sqrt{3},\sqrt{27},\sqrt{75}$等.
解析
【分析】
要找出与$\sqrt{12}$是同类二次根式的根式，首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。解题时第一步先把$\sqrt{12}$化为最简二次根式，确定它的被开方数，再写出化简后被开方数和它相同的二次根式即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
可知$\sqrt{12}$化为最简二次根式后，被开方数是3。根据同类二次根式的定义，只要写出化简后被开方数为3的二次根式就符合要求，例如$\sqrt{3}$（本身是最简二次根式，被开方数为3）、$\sqrt{27}$（$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$）、$\sqrt{75}$（$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$）均满足条件。
【答案】
如$\sqrt{3},\sqrt{27},\sqrt{75}$等.
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是对二次根式基础概念的考查，解题的关键是先将已知根式化为最简形式，再结合同类二次根式的定义寻找符合要求的根式，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要找出与$\sqrt{12}$是同类二次根式的根式，首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。解题时第一步先把$\sqrt{12}$化为最简二次根式，确定它的被开方数，再写出化简后被开方数和它相同的二次根式即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
可知$\sqrt{12}$化为最简二次根式后，被开方数是3。根据同类二次根式的定义，只要写出化简后被开方数为3的二次根式就符合要求，例如$\sqrt{3}$（本身是最简二次根式，被开方数为3）、$\sqrt{27}$（$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$）、$\sqrt{75}$（$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$）均满足条件。
【答案】
如$\sqrt{3},\sqrt{27},\sqrt{75}$等.
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是对二次根式基础概念的考查，解题的关键是先将已知根式化为最简形式，再结合同类二次根式的定义寻找符合要求的根式，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2.若最简二次根式$\sqrt{4x - 2}$与$-3\sqrt{5}$是同类二次根式，则$x=$
$\dfrac{7}{4}$
.答案
2. $\dfrac{7}{4}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式。题目明确给出两个根式都是最简二次根式，因此不需要额外化简，直接令两个根式的被开方数相等，列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
解：根据同类二次根式的定义，最简二次根式的被开方数相同时为同类二次根式。
∵ 最简二次根式$\sqrt{4x - 2}$与$-3\sqrt{5}$是同类二次根式
∴ 两者被开方数相等，即：
$4x - 2 = 5$
移项得：$4x = 5 + 2$
合并同类项得：$4x = 7$
系数化为1得：$x = \frac{7}{4}$
【答案】
$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
同类二次根式的定义，最简二次根式的概念，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同类二次根式概念的理解，解题时需注意题干已经明确给出是最简二次根式，无需再化简被开方数，直接列等式计算即可，是对二次根式基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式。题目明确给出两个根式都是最简二次根式，因此不需要额外化简，直接令两个根式的被开方数相等，列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
解：根据同类二次根式的定义，最简二次根式的被开方数相同时为同类二次根式。
∵ 最简二次根式$\sqrt{4x - 2}$与$-3\sqrt{5}$是同类二次根式
∴ 两者被开方数相等，即：
$4x - 2 = 5$
移项得：$4x = 5 + 2$
合并同类项得：$4x = 7$
系数化为1得：$x = \frac{7}{4}$
【答案】
$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
同类二次根式的定义，最简二次根式的概念，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同类二次根式概念的理解，解题时需注意题干已经明确给出是最简二次根式，无需再化简被开方数，直接列等式计算即可，是对二次根式基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$\sqrt{45} - \sqrt{\frac{2}{5}} × 50 =$
$3\sqrt{5}-10\sqrt{10}$
.答案
3. $3\sqrt{5}-10\sqrt{10}$.
解析
【分析】
这道题属于二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除后加减”的运算顺序：第一步先将√45化简为最简二次根式，第二步计算乘法项$\sqrt{\frac{2}{5}} × 50$，计算时先把$\sqrt{\frac{2}{5}}$化为最简二次根式再做乘法运算，最后整理得到最终结果即可。
【解析】
解：按照二次根式混合运算顺序计算：
1. 化简$\sqrt{45}$：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
2. 计算乘法项$\sqrt{\frac{2}{5}} × 50$：
先化简$\sqrt{\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{10}{25}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
因此$\sqrt{\frac{2}{5}} × 50=\frac{\sqrt{10}}{5}×50=10\sqrt{10}$
3. 代入原式计算：
原式=$3\sqrt{5}-10\sqrt{10}$
【答案】
$3\sqrt{5}-10\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式混合运算，最简二次根式化简，二次根式乘法运算
【点评】
本题重点考察二次根式的运算规则，运算时需严格遵循先乘除后加减的顺序，注意二次根式化简时要保证被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数，避免化简失误。
【难度系数】
0.7
这道题属于二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除后加减”的运算顺序：第一步先将√45化简为最简二次根式，第二步计算乘法项$\sqrt{\frac{2}{5}} × 50$，计算时先把$\sqrt{\frac{2}{5}}$化为最简二次根式再做乘法运算，最后整理得到最终结果即可。
【解析】
解：按照二次根式混合运算顺序计算：
1. 化简$\sqrt{45}$：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
2. 计算乘法项$\sqrt{\frac{2}{5}} × 50$：
先化简$\sqrt{\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{10}{25}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
因此$\sqrt{\frac{2}{5}} × 50=\frac{\sqrt{10}}{5}×50=10\sqrt{10}$
3. 代入原式计算：
原式=$3\sqrt{5}-10\sqrt{10}$
【答案】
$3\sqrt{5}-10\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式混合运算，最简二次根式化简，二次根式乘法运算
【点评】
本题重点考察二次根式的运算规则，运算时需严格遵循先乘除后加减的顺序，注意二次根式化简时要保证被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数，避免化简失误。
【难度系数】
0.7
4.设$\sqrt{3}$的整数部分是$a$，小数部分是$b$，那么$\sqrt{3}a - b =$
$1$
.答案
4. $1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要确定无理数$\sqrt{3}$的整数部分和小数部分：第一步先估算$\sqrt{3}$的取值范围，找到它介于哪两个相邻整数之间，即可得到整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$，最后将$a$、$b$代入待求式子，按照二次根式的加减运算法则计算即可。
【解析】
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$
$\therefore \sqrt{3}$的整数部分$a=1$，小数部分$b=\sqrt{3}-1$
将$a=1$，$b=\sqrt{3}-1$代入$\sqrt{3}a - b$得：
$\begin{aligned}\sqrt{3}a - b&=\sqrt{3}×1 - (\sqrt{3}-1)\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 二次根式的加减运算
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数整数部分、小数部分的确定方法，以及二次根式的基础运算，解题关键是掌握无理数大小的估算方法，明确小数部分为原数减去整数部分的规律。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要确定无理数$\sqrt{3}$的整数部分和小数部分：第一步先估算$\sqrt{3}$的取值范围，找到它介于哪两个相邻整数之间，即可得到整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$，最后将$a$、$b$代入待求式子，按照二次根式的加减运算法则计算即可。
【解析】
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$
$\therefore \sqrt{3}$的整数部分$a=1$，小数部分$b=\sqrt{3}-1$
将$a=1$，$b=\sqrt{3}-1$代入$\sqrt{3}a - b$得：
$\begin{aligned}\sqrt{3}a - b&=\sqrt{3}×1 - (\sqrt{3}-1)\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 二次根式的加减运算
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数整数部分、小数部分的确定方法，以及二次根式的基础运算，解题关键是掌握无理数大小的估算方法，明确小数部分为原数减去整数部分的规律。
【难度系数】
0.8
5.老师在黑板上书写了一个等式，随后擦去了其中的一个二次三项式，形式如下：
$□ - 3x = x^2 - 5x + 1$，若$x = \sqrt{6} + 1$，则擦去的二次三项式的值为
$□ - 3x = x^2 - 5x + 1$，若$x = \sqrt{6} + 1$，则擦去的二次三项式的值为
$6$
。答案
5. $6$.
解析
【分析】
要计算擦去的二次三项式的值，首先需要推导这个二次三项式的表达式：根据“被减数=差+减数”，将等式变形得到被擦去的式子等于右侧多项式加上3x，先对得到的整式合并同类项化简，观察化简结果的特征可利用完全平方公式进一步变形，最后代入x的值计算，能有效简化运算，避免直接代入的复杂计算。
【解析】
设擦去的二次三项式为$ A $，根据题意可得：
$ A = x^2 - 5x + 1 + 3x $
合并同类项得：
$ A = x^2 - 2x + 1 $
利用完全平方公式因式分解得：
$ A = (x - 1)^2 $
将$ x = \sqrt{6} + 1 $代入上式：
$ A = (\sqrt{6} + 1 - 1)^2 = (\sqrt{6})^2 = 6 $
【答案】
$ 6 $
【知识点】
1. 整式的加减运算
2. 完全平方公式
3. 二次根式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先对所求代数式化简再代入求值，合理运用完全平方公式可以大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算擦去的二次三项式的值，首先需要推导这个二次三项式的表达式：根据“被减数=差+减数”，将等式变形得到被擦去的式子等于右侧多项式加上3x，先对得到的整式合并同类项化简，观察化简结果的特征可利用完全平方公式进一步变形，最后代入x的值计算，能有效简化运算，避免直接代入的复杂计算。
【解析】
设擦去的二次三项式为$ A $，根据题意可得：
$ A = x^2 - 5x + 1 + 3x $
合并同类项得：
$ A = x^2 - 2x + 1 $
利用完全平方公式因式分解得：
$ A = (x - 1)^2 $
将$ x = \sqrt{6} + 1 $代入上式：
$ A = (\sqrt{6} + 1 - 1)^2 = (\sqrt{6})^2 = 6 $
【答案】
$ 6 $
【知识点】
1. 整式的加减运算
2. 完全平方公式
3. 二次根式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先对所求代数式化简再代入求值，合理运用完全平方公式可以大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
6.下列根式中，与根式$\sqrt{3}$为同类二次根式的是 ……………………【 】
答案
6. B.
解析
【分析】
要判断哪个根式与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。因此解题时需要先将每个选项的根式都化简为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否为3即可。
【解析】
我们先逐个化简各选项的二次根式：
A. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，化简后被开方数为6，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式；
C. $\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，化简后被开方数为6，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不是同类二次根式。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是同类二次根式判断的基础题型，解题核心是牢记判断前必须先将二次根式化为最简形式，不能直接根据原式的被开方数判断，避免掉入命题陷阱。
【难度系数】
0.8
要判断哪个根式与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。因此解题时需要先将每个选项的根式都化简为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否为3即可。
【解析】
我们先逐个化简各选项的二次根式：
A. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，化简后被开方数为6，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式；
C. $\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，化简后被开方数为6，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数3不同，不是同类二次根式。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是同类二次根式判断的基础题型，解题核心是牢记判断前必须先将二次根式化为最简形式，不能直接根据原式的被开方数判断，避免掉入命题陷阱。
【难度系数】
0.8
7.下列各组中的两个二次根式,是同类二次根式的是 ……………………【 】
A.$\sqrt{0.36}$ 与 $\sqrt{3.6}$
B.$\sqrt{xy}$ 与 $\sqrt{x+y}$
C.$\sqrt{5x^2y}$ 与 $\sqrt{5xy^2}$
D.$\sqrt{x-y}$ 与 $\sqrt{\dfrac{x^2 - y^2}{x + y}}$
A.$\sqrt{0.36}$ 与 $\sqrt{3.6}$
B.$\sqrt{xy}$ 与 $\sqrt{x+y}$
C.$\sqrt{5x^2y}$ 与 $\sqrt{5xy^2}$
D.$\sqrt{x-y}$ 与 $\sqrt{\dfrac{x^2 - y^2}{x + y}}$
答案
7. D.
解析
【分析】
要判断两个二次根式是否为同类二次根式，核心解题思路是：首先将两个二次根式都化为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否完全相同，相同则为同类二次根式。解题时逐个对选项中的二次根式进行化简、对比，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
判断同类二次根式需先将各根式化为最简二次根式，再对比被开方数：
A选项：$\sqrt{0.36}=0.6$，是常数；$\sqrt{3.6}=\sqrt{\frac{18}{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$，被开方数为10，二者被开方数不同，不是同类二次根式。
B选项：$\sqrt{xy}$与$\sqrt{x+y}$均为最简二次根式，被开方数分别为$xy$和$x+y$，二者不相同，不是同类二次根式。
C选项：$\sqrt{5x^2y}=|x|\sqrt{5y}$，$\sqrt{5xy^2}=|y|\sqrt{5x}$，化简后被开方数分别为$5y$和$5x$，二者不一定相同，不是同类二次根式。
D选项：由分式有意义的条件得$x+y≠0$，因此$\sqrt{\frac{x^2-y^2}{x+y}}=\sqrt{\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}}=\sqrt{x-y}$，与$\sqrt{x-y}$的被开方数完全相同，是同类二次根式。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简；最简二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，解题关键是牢记“先化简再对比被开方数”的规则，避免未化简直接对比原式被开方数的错误，同时要注意二次根式和分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
要判断两个二次根式是否为同类二次根式，核心解题思路是：首先将两个二次根式都化为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否完全相同，相同则为同类二次根式。解题时逐个对选项中的二次根式进行化简、对比，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
判断同类二次根式需先将各根式化为最简二次根式，再对比被开方数：
A选项：$\sqrt{0.36}=0.6$，是常数；$\sqrt{3.6}=\sqrt{\frac{18}{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$，被开方数为10，二者被开方数不同，不是同类二次根式。
B选项：$\sqrt{xy}$与$\sqrt{x+y}$均为最简二次根式，被开方数分别为$xy$和$x+y$，二者不相同，不是同类二次根式。
C选项：$\sqrt{5x^2y}=|x|\sqrt{5y}$，$\sqrt{5xy^2}=|y|\sqrt{5x}$，化简后被开方数分别为$5y$和$5x$，二者不一定相同，不是同类二次根式。
D选项：由分式有意义的条件得$x+y≠0$，因此$\sqrt{\frac{x^2-y^2}{x+y}}=\sqrt{\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}}=\sqrt{x-y}$，与$\sqrt{x-y}$的被开方数完全相同，是同类二次根式。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简；最简二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，解题关键是牢记“先化简再对比被开方数”的规则，避免未化简直接对比原式被开方数的错误，同时要注意二次根式和分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
8.已知$x=\sqrt{3}+\sqrt{2},y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,下列计算错误的是 ……………………【 】
A.$x+y=2\sqrt{3}$
B.$x-y=2\sqrt{2}$
C.$x^2-y^2=4\sqrt{6}$
D.$xy=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$
A.$x+y=2\sqrt{3}$
B.$x-y=2\sqrt{2}$
C.$x^2-y^2=4\sqrt{6}$
D.$xy=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$
答案
8. D.
解析
【分析】
本题已知两个含二次根式的代数式x、y，要求选出计算错误的选项。解题时可逐个验证四个选项的计算结果是否正确：计算x+y、x-y可直接合并同类二次根式；计算x²-y²、xy时可借助平方差公式简化运算，再将计算结果与选项对比即可找到错误项。
【解析】
已知$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，逐个验证选项：
A. $x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$，计算正确，不符合题意；
B. $x-y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，计算正确，不符合题意；
C. 由平方差公式可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入A、B的计算结果得：$x^2-y^2=2\sqrt{3} × 2\sqrt{2}=4\sqrt{6}$，计算正确，不符合题意；
D. 由平方差公式可得$xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$，与选项中$xy=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$不符，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题侧重考查二次根式的混合运算能力，解题时合理运用乘法公式能大幅简化计算步骤、降低出错概率，属于基础考点，需要熟练掌握二次根式运算法则和常用乘法公式。
【难度系数】
0.8
本题已知两个含二次根式的代数式x、y，要求选出计算错误的选项。解题时可逐个验证四个选项的计算结果是否正确：计算x+y、x-y可直接合并同类二次根式；计算x²-y²、xy时可借助平方差公式简化运算，再将计算结果与选项对比即可找到错误项。
【解析】
已知$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，逐个验证选项：
A. $x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$，计算正确，不符合题意；
B. $x-y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，计算正确，不符合题意；
C. 由平方差公式可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入A、B的计算结果得：$x^2-y^2=2\sqrt{3} × 2\sqrt{2}=4\sqrt{6}$，计算正确，不符合题意；
D. 由平方差公式可得$xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$，与选项中$xy=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$不符，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题侧重考查二次根式的混合运算能力，解题时合理运用乘法公式能大幅简化计算步骤、降低出错概率，属于基础考点，需要熟练掌握二次根式运算法则和常用乘法公式。
【难度系数】
0.8
9.一个矩形的周长为$\sqrt{200}$，它的一边长为$\sqrt{20}$，则该边的邻边长为…………【 】
A.$10 - 2\sqrt{10}$
B.$4\sqrt{10}$
C.$5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}$
A.$10 - 2\sqrt{10}$
B.$4\sqrt{10}$
C.$5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}$
答案
9. C.
解析
【分析】
解决本题首先要回忆矩形周长公式，矩形周长=2×(长+宽)，要求已知边的邻边，可先求出周长的一半（即长与宽的和），再减去已知边长即可，接下来需要先将题目中的二次根式化为最简二次根式，再进行减法运算。
【解析】
解：根据矩形周长公式，周长的一半为邻边长度之和，计算如下：
1. 先化简周长并求半周长：
$\frac{\sqrt{200}}{2}=\frac{\sqrt{100×2}}{2}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$
2. 化简已知边长：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$
3. 计算邻边长度：
邻边长 = 半周长 - 已知边长 = $5\sqrt{2}-2\sqrt{5}$
对应选项为C。
【答案】C
【知识点】矩形周长计算；二次根式化简；二次根式加减
【点评】本题是二次根式运算与几何公式结合的基础题，解题关键是正确运用周长公式列出表达式，熟练掌握二次根式化简和加减的运算法则，注意只有同类二次根式才能合并。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回忆矩形周长公式，矩形周长=2×(长+宽)，要求已知边的邻边，可先求出周长的一半（即长与宽的和），再减去已知边长即可，接下来需要先将题目中的二次根式化为最简二次根式，再进行减法运算。
【解析】
解：根据矩形周长公式，周长的一半为邻边长度之和，计算如下：
1. 先化简周长并求半周长：
$\frac{\sqrt{200}}{2}=\frac{\sqrt{100×2}}{2}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$
2. 化简已知边长：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$
3. 计算邻边长度：
邻边长 = 半周长 - 已知边长 = $5\sqrt{2}-2\sqrt{5}$
对应选项为C。
【答案】C
【知识点】矩形周长计算；二次根式化简；二次根式加减
【点评】本题是二次根式运算与几何公式结合的基础题，解题关键是正确运用周长公式列出表达式，熟练掌握二次根式化简和加减的运算法则，注意只有同类二次根式才能合并。
【难度系数】
0.7
10.下列计算正确的是…………【 】
A.$(\sqrt{7}+\sqrt{3})\sqrt{10}=\sqrt{10}×\sqrt{10}=10$
B.$(6-2\sqrt{3})(6+2\sqrt{3})=36-6=30$
C.$\sqrt{3}÷(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3$
D.$(a\sqrt{m}-b\sqrt{m})(a\sqrt{m}+b\sqrt{m})=(a^2 - b^2)m(m＞0)$
A.$(\sqrt{7}+\sqrt{3})\sqrt{10}=\sqrt{10}×\sqrt{10}=10$
B.$(6-2\sqrt{3})(6+2\sqrt{3})=36-6=30$
C.$\sqrt{3}÷(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3$
D.$(a\sqrt{m}-b\sqrt{m})(a\sqrt{m}+b\sqrt{m})=(a^2 - b^2)m(m＞0)$
答案
10. D.
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路是逐个分析选项，结合二次根式的运算法则、平方差公式、分母有理化等知识，验证每个选项的计算是否正确，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项：
选项A：根据乘法分配律，$(\sqrt{7}+\sqrt{3})\sqrt{10}=\sqrt{7}×\sqrt{10}+\sqrt{3}×\sqrt{10}=\sqrt{70}+\sqrt{30}≠10$，故A错误。
选项B：利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，这里$a=6$，$b=2\sqrt{3}$，则$(6-2\sqrt{3})(6+2\sqrt{3})=6^2-(2\sqrt{3})^2=36-12=24≠30$，故B错误。
选项C：进行分母有理化，分子分母同乘$(2-\sqrt{3})$，得$\sqrt{3}÷(2+\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}-3}{4-3}=2\sqrt{3}-3≠2\sqrt{3}+3$，故C错误。
选项D：利用平方差公式，$(a\sqrt{m}-b\sqrt{m})(a\sqrt{m}+b\sqrt{m})=(a\sqrt{m})^2-(b\sqrt{m})^2=a^2m - b^2m=(a^2-b^2)m$（$m＞0$），计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算，平方差公式，分母有理化
【点评】
本题核心是考查二次根式相关运算和乘法公式的应用，解题时要注意区分易混淆的运算错误，比如不能直接将根号下不同的数的根号和直接合并，使用平方差公式时要正确计算平方项，分母有理化时要注意符号变化，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题思路是逐个分析选项，结合二次根式的运算法则、平方差公式、分母有理化等知识，验证每个选项的计算是否正确，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项：
选项A：根据乘法分配律，$(\sqrt{7}+\sqrt{3})\sqrt{10}=\sqrt{7}×\sqrt{10}+\sqrt{3}×\sqrt{10}=\sqrt{70}+\sqrt{30}≠10$，故A错误。
选项B：利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，这里$a=6$，$b=2\sqrt{3}$，则$(6-2\sqrt{3})(6+2\sqrt{3})=6^2-(2\sqrt{3})^2=36-12=24≠30$，故B错误。
选项C：进行分母有理化，分子分母同乘$(2-\sqrt{3})$，得$\sqrt{3}÷(2+\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}-3}{4-3}=2\sqrt{3}-3≠2\sqrt{3}+3$，故C错误。
选项D：利用平方差公式，$(a\sqrt{m}-b\sqrt{m})(a\sqrt{m}+b\sqrt{m})=(a\sqrt{m})^2-(b\sqrt{m})^2=a^2m - b^2m=(a^2-b^2)m$（$m＞0$），计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算，平方差公式，分母有理化
【点评】
本题核心是考查二次根式相关运算和乘法公式的应用，解题时要注意区分易混淆的运算错误，比如不能直接将根号下不同的数的根号和直接合并，使用平方差公式时要正确计算平方项，分母有理化时要注意符号变化，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
11. $\sqrt{72} - \sqrt{18} + 10\sqrt{\frac{1}{50}}.$
答案
11. $4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步，先将算式中每个二次根式化为最简二次根式，即保证被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式；第二步，筛选出被开方数相同的同类二次根式，将同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变，最终得到计算结果。
【解析】
解：先分别化简每个二次根式：
$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
$10\sqrt{\frac{1}{50}}=10×\sqrt{\frac{2}{100}}=10×\frac{\sqrt{2}}{10}=\sqrt{2}$
将化简结果代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{2}\\&=(6-3+1)\sqrt{2}\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础常规题，核心要求是先化简再合并，运算过程中需注意系数的符号不要出错，熟练掌握最简二次根式的化简方法是解这类题的基础。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步，先将算式中每个二次根式化为最简二次根式，即保证被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式；第二步，筛选出被开方数相同的同类二次根式，将同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变，最终得到计算结果。
【解析】
解：先分别化简每个二次根式：
$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
$10\sqrt{\frac{1}{50}}=10×\sqrt{\frac{2}{100}}=10×\frac{\sqrt{2}}{10}=\sqrt{2}$
将化简结果代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{2}\\&=(6-3+1)\sqrt{2}\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础常规题，核心要求是先化简再合并，运算过程中需注意系数的符号不要出错，熟练掌握最简二次根式的化简方法是解这类题的基础。
【难度系数】
0.85
12. $\sqrt{18} - \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{8}}{2}$
13. $\sqrt{27} - 15\sqrt{\frac{1}{3}} + \frac{1}{4}\sqrt{48}$
14. $\sqrt{12} - \sqrt{0.75} - 3\sqrt{\frac{1}{3}}$
15. $(\sqrt{8} - \sqrt{50}) - (6\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{6}\sqrt{\frac{9}{2}})$
13. $\sqrt{27} - 15\sqrt{\frac{1}{3}} + \frac{1}{4}\sqrt{48}$
14. $\sqrt{12} - \sqrt{0.75} - 3\sqrt{\frac{1}{3}}$
15. $(\sqrt{8} - \sqrt{50}) - (6\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{6}\sqrt{\frac{9}{2}})$
答案
12. $\sqrt{2}$.
13. $-\sqrt{3}$.
14. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
15. $-\dfrac{23}{4}\sqrt{2}$.
13. $-\sqrt{3}$.
14. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
15. $-\dfrac{23}{4}\sqrt{2}$.
解析
第12题
【分析】
解决本题的核心思路是先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。第一步先对每一项分别化简：$\sqrt{18}$可拆分出完全平方因数9化简，$\frac{2}{\sqrt{2}}$通过分母有理化化简，$\frac{\sqrt{8}}{2}$先化简$\sqrt{8}$再约分，最后把化简后同类二次根式的系数相加减即可。
【解析】
解：先化简各项：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
$\frac{\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{4×2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
代入原式计算：
原式$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，重点考查最简二次根式的化简和同类二次根式的合并规则，运算时注意分母有理化的方法要正确。
【难度系数】
0.8
---
第13题
【分析】
解题思路同二次根式加减的通用步骤：先化简每一项为最简二次根式，再合并同类二次根式。$\sqrt{27}$拆分完全平方因数9化简，$\sqrt{\frac{1}{3}}$分母有理化后再乘系数15，$\sqrt{48}$拆分完全平方因数16化简后乘系数$\frac{1}{4}$，最后合并同类项即可。
【解析】
解：先化简各项：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
$15\sqrt{\frac{1}{3}}=15×\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$，
$\frac{1}{4}\sqrt{48}=\frac{1}{4}×\sqrt{16×3}=\frac{1}{4}×4\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
代入原式计算：
原式$=3\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\sqrt{3}$。
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题考查含分数系数的二次根式加减运算，化简时要注意系数和根式部分分开计算，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.75
---
第14题
【分析】
首先将小数$0.75$转化为分数$\frac{3}{4}$，再将所有项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式。注意小数化分数是本题的易错点，化简后所有项都是含$\sqrt{3}$的同类二次根式，直接合并系数即可。
【解析】
解：先转化并化简各项：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
$\sqrt{0.75}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$3\sqrt{\frac{1}{3}}=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
代入原式计算：
原式$=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=(2-\frac{1}{2}-1)\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题需要先将小数转化为分数再化简二次根式，运算时注意分数系数的加减计算要准确。
【难度系数】
0.7
---
第15题
【分析】
第一步先去括号，注意第二个括号前是负号，去括号后括号内的每一项都要变号；第二步把所有二次根式化为最简二次根式；第三步合并同类二次根式即可，运算时要注意分数系数的计算不要出错。
【解析】
解：先去括号，再化简各项：
原式$=\sqrt{8}-\sqrt{50}-6\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{9}{2}}$，
化简各项：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$6\sqrt{\frac{1}{2}}=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，$\frac{1}{6}\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{1}{6}×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
代入计算：
原式$=2\sqrt{2}-5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=(2-5-3+\frac{1}{4})\sqrt{2}=-\frac{23}{4}\sqrt{2}$。
【答案】
$-\dfrac{23}{4}\sqrt{2}$
【知识点】
去括号法则，二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题是带括号的二次根式加减综合题，要注意去括号的符号规则，化简含分数的二次根式时运算要细致，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
解决本题的核心思路是先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。第一步先对每一项分别化简：$\sqrt{18}$可拆分出完全平方因数9化简，$\frac{2}{\sqrt{2}}$通过分母有理化化简，$\frac{\sqrt{8}}{2}$先化简$\sqrt{8}$再约分，最后把化简后同类二次根式的系数相加减即可。
【解析】
解：先化简各项：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
$\frac{\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{4×2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
代入原式计算：
原式$=3\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，重点考查最简二次根式的化简和同类二次根式的合并规则，运算时注意分母有理化的方法要正确。
【难度系数】
0.8
---
第13题
【分析】
解题思路同二次根式加减的通用步骤：先化简每一项为最简二次根式，再合并同类二次根式。$\sqrt{27}$拆分完全平方因数9化简，$\sqrt{\frac{1}{3}}$分母有理化后再乘系数15，$\sqrt{48}$拆分完全平方因数16化简后乘系数$\frac{1}{4}$，最后合并同类项即可。
【解析】
解：先化简各项：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
$15\sqrt{\frac{1}{3}}=15×\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$，
$\frac{1}{4}\sqrt{48}=\frac{1}{4}×\sqrt{16×3}=\frac{1}{4}×4\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
代入原式计算：
原式$=3\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\sqrt{3}$。
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题考查含分数系数的二次根式加减运算，化简时要注意系数和根式部分分开计算，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.75
---
第14题
【分析】
首先将小数$0.75$转化为分数$\frac{3}{4}$，再将所有项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式。注意小数化分数是本题的易错点，化简后所有项都是含$\sqrt{3}$的同类二次根式，直接合并系数即可。
【解析】
解：先转化并化简各项：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
$\sqrt{0.75}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$3\sqrt{\frac{1}{3}}=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
代入原式计算：
原式$=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=(2-\frac{1}{2}-1)\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题需要先将小数转化为分数再化简二次根式，运算时注意分数系数的加减计算要准确。
【难度系数】
0.7
---
第15题
【分析】
第一步先去括号，注意第二个括号前是负号，去括号后括号内的每一项都要变号；第二步把所有二次根式化为最简二次根式；第三步合并同类二次根式即可，运算时要注意分数系数的计算不要出错。
【解析】
解：先去括号，再化简各项：
原式$=\sqrt{8}-\sqrt{50}-6\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{9}{2}}$，
化简各项：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$6\sqrt{\frac{1}{2}}=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，$\frac{1}{6}\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{1}{6}×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
代入计算：
原式$=2\sqrt{2}-5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=(2-5-3+\frac{1}{4})\sqrt{2}=-\frac{23}{4}\sqrt{2}$。
【答案】
$-\dfrac{23}{4}\sqrt{2}$
【知识点】
去括号法则，二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题是带括号的二次根式加减综合题，要注意去括号的符号规则，化简含分数的二次根式时运算要细致，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.6
