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13. $\sqrt{2\frac{1}{2}} ÷ 3\sqrt{28} × (-5\sqrt{2\frac{2}{7}}).$
答案
$-\frac{5}{21}\sqrt{10}$
解析
【分析】
本题是二次根式的乘除混合运算，解题思路可分为三步：第一步，先将算式中的带分数全部化为假分数，方便后续运算；第二步，将运算中的系数和二次根式部分分开计算，先确定结果的符号（算式中只有一个负因数，结果为负），再分别计算系数的乘除、被开方数的乘除；第三步，将计算得到的二次根式化为最简二次根式，最后合并系数和根式部分得到最终结果。
【解析】
解：先将带分数化为假分数：
$2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$2\frac{2}{7}=\frac{16}{7}$
原式$=\sqrt{\frac{5}{2}} ÷ 3\sqrt{28} × (-5\sqrt{\frac{16}{7}})$
将系数与二次根式分开运算，确定符号为负：
$= -(1÷3×5) × \sqrt{\frac{5}{2}÷28×\frac{16}{7}}$
计算系数部分：$1÷3×5=\frac{5}{3}$
计算根号内的部分：
$\frac{5}{2}÷28×\frac{16}{7}=\frac{5}{2}×\frac{1}{28}×\frac{16}{7}=\frac{5×16}{2×28×7}=\frac{80}{392}=\frac{10}{49}$
化简二次根式：$\sqrt{\frac{10}{49}}=\frac{\sqrt{10}}{7}$
合并结果：
$= -\frac{5}{3} × \frac{\sqrt{10}}{7} = -\frac{5\sqrt{10}}{21}=-\frac{5}{21}\sqrt{10}$
【答案】
$-\frac{5}{21}\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式；带分数化假分数
【点评】
本题属于二次根式运算的常规题型，重点考查二次根式乘除法则的应用，计算时需注意先统一数的形式，分开处理系数和被开方数，同时留意运算符号，最后结果要化为最简二次根式，熟练掌握约分技巧可提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的乘除混合运算，解题思路可分为三步：第一步，先将算式中的带分数全部化为假分数，方便后续运算；第二步，将运算中的系数和二次根式部分分开计算，先确定结果的符号（算式中只有一个负因数，结果为负），再分别计算系数的乘除、被开方数的乘除；第三步，将计算得到的二次根式化为最简二次根式，最后合并系数和根式部分得到最终结果。
【解析】
解：先将带分数化为假分数：
$2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$2\frac{2}{7}=\frac{16}{7}$
原式$=\sqrt{\frac{5}{2}} ÷ 3\sqrt{28} × (-5\sqrt{\frac{16}{7}})$
将系数与二次根式分开运算，确定符号为负：
$= -(1÷3×5) × \sqrt{\frac{5}{2}÷28×\frac{16}{7}}$
计算系数部分：$1÷3×5=\frac{5}{3}$
计算根号内的部分：
$\frac{5}{2}÷28×\frac{16}{7}=\frac{5}{2}×\frac{1}{28}×\frac{16}{7}=\frac{5×16}{2×28×7}=\frac{80}{392}=\frac{10}{49}$
化简二次根式：$\sqrt{\frac{10}{49}}=\frac{\sqrt{10}}{7}$
合并结果：
$= -\frac{5}{3} × \frac{\sqrt{10}}{7} = -\frac{5\sqrt{10}}{21}=-\frac{5}{21}\sqrt{10}$
【答案】
$-\frac{5}{21}\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式；带分数化假分数
【点评】
本题属于二次根式运算的常规题型，重点考查二次根式乘除法则的应用，计算时需注意先统一数的形式，分开处理系数和被开方数，同时留意运算符号，最后结果要化为最简二次根式，熟练掌握约分技巧可提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
14.已知$a = \sqrt{2} - 2$，先化简，再求值：$\frac{a^2 + 3a}{a^2 + 4a + 4} $
$ \frac{a + 3}{a + 2} - \frac{2}{a + 2}$
$ \frac{a + 3}{a + 2} - \frac{2}{a + 2}$答案
解:原式$=\frac{a-2}{a+2}$；代入$a$的值得$1-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，遵循先化简再求值的原则解题：首先明确分式混合运算顺序为“先乘除，后加减”，第一步先处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，将除法转化为乘法；接下来对各分式的分子、分母进行因式分解，便于约分简化乘法运算；约分后得到同分母的分式减法，按同分母分式减法法则计算得到最简结果；最后将a的取值代入最简式，通过分母有理化计算得到最终数值即可。
【解析】
解：先对原式因式分解并处理除法运算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a(a+3)}{(a+2)^2} ÷ \frac{a+3}{a+2} - \frac{2}{a+2}\\&=\frac{a(a+3)}{(a+2)^2} × \frac{a+2}{a+3} - \frac{2}{a+2}\\&=\frac{a}{a+2} - \frac{2}{a+2}\\&=\frac{a-2}{a+2}\end{aligned}$
将$a=\sqrt{2}-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(\sqrt{2}-2)-2}{(\sqrt{2}-2)+2}\\&=\frac{\sqrt{2}-4}{\sqrt{2}}\\&=\frac{(\sqrt{2}-4)×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}\\&=\frac{2 - 4\sqrt{2}}{2}\\&=1 - 2\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$\frac{a-2}{a+2}$，求值结果为$1-2\sqrt{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查分式运算规则和二次根式的计算能力，解题时要注意运算顺序的正确性，因式分解要准确，代入计算时注意分母有理化的规范，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，遵循先化简再求值的原则解题：首先明确分式混合运算顺序为“先乘除，后加减”，第一步先处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，将除法转化为乘法；接下来对各分式的分子、分母进行因式分解，便于约分简化乘法运算；约分后得到同分母的分式减法，按同分母分式减法法则计算得到最简结果；最后将a的取值代入最简式，通过分母有理化计算得到最终数值即可。
【解析】
解：先对原式因式分解并处理除法运算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a(a+3)}{(a+2)^2} ÷ \frac{a+3}{a+2} - \frac{2}{a+2}\\&=\frac{a(a+3)}{(a+2)^2} × \frac{a+2}{a+3} - \frac{2}{a+2}\\&=\frac{a}{a+2} - \frac{2}{a+2}\\&=\frac{a-2}{a+2}\end{aligned}$
将$a=\sqrt{2}-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(\sqrt{2}-2)-2}{(\sqrt{2}-2)+2}\\&=\frac{\sqrt{2}-4}{\sqrt{2}}\\&=\frac{(\sqrt{2}-4)×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}\\&=\frac{2 - 4\sqrt{2}}{2}\\&=1 - 2\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$\frac{a-2}{a+2}$，求值结果为$1-2\sqrt{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查分式运算规则和二次根式的计算能力，解题时要注意运算顺序的正确性，因式分解要准确，代入计算时注意分母有理化的规范，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
15.(1)计算:
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) =$
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) =$
(2)化简: $\frac{1}{\sqrt{3}+2} =$
(3)若 $a = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$, 求 $a^2 - 2a - 3$ 的值.
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) =$
$1$
;$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) =$
$1$
.(2)化简: $\frac{1}{\sqrt{3}+2} =$
$2-\sqrt{3}$
.(3)若 $a = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$, 求 $a^2 - 2a - 3$ 的值.
答案
15. (1) 1,1；(2) $2-\sqrt{3}$；(3) $-2$
解析
【分析】
（1）观察两个算式都是两数之和乘两数之差的结构，可直接套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，二次根式平方后即可去根号快速得到结果；
（2）分母含有二次根式，需进行分母有理化，给分子分母同时乘分母的有理化因式$2-\sqrt{3}$，利用平方差将分母转化为整数即可完成化简；
（3）先对$a$进行分母有理化化简，再观察所求代数式$a^2-2a-3$的结构，可通过配方转化为含$(a-1)$的式子，整体代入计算比直接代入更简便，可减少计算失误。
【解析】
（1）根据平方差公式计算：
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2=2-1=1$；
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$。
（2）分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{1×(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$。
（3）先化简$a$：
$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$，
对代数式变形可得：$a^2-2a-3=(a-1)^2 - 4$，
将$a-1=\sqrt{2}$代入得：原式$=(\sqrt{2})^2 - 4=2-4=-2$。
【答案】
(1) 1，1；(2) $2-\sqrt{3}$；(3) $-2$
【知识点】
平方差公式，分母有理化，二次根式化简求值
【点评】
本题围绕二次根式的运算展开，核心考查利用平方差公式完成分母有理化的方法，第三小问渗透整体代入的思想，能有效简化计算，是二次根式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
（1）观察两个算式都是两数之和乘两数之差的结构，可直接套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，二次根式平方后即可去根号快速得到结果；
（2）分母含有二次根式，需进行分母有理化，给分子分母同时乘分母的有理化因式$2-\sqrt{3}$，利用平方差将分母转化为整数即可完成化简；
（3）先对$a$进行分母有理化化简，再观察所求代数式$a^2-2a-3$的结构，可通过配方转化为含$(a-1)$的式子，整体代入计算比直接代入更简便，可减少计算失误。
【解析】
（1）根据平方差公式计算：
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2=2-1=1$；
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$。
（2）分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{1×(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$。
（3）先化简$a$：
$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$，
对代数式变形可得：$a^2-2a-3=(a-1)^2 - 4$，
将$a-1=\sqrt{2}$代入得：原式$=(\sqrt{2})^2 - 4=2-4=-2$。
【答案】
(1) 1，1；(2) $2-\sqrt{3}$；(3) $-2$
【知识点】
平方差公式，分母有理化，二次根式化简求值
【点评】
本题围绕二次根式的运算展开，核心考查利用平方差公式完成分母有理化的方法，第三小问渗透整体代入的思想，能有效简化计算，是二次根式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
16. 观察下列各式的转化过程：
$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{2 × 3}} = \sqrt{\frac{2}{2^2 × 3}} = \sqrt{\frac{1}{2^2} × \frac{2}{3}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}.$
$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \sqrt{\frac{1}{2 × 3 × 4}} = \sqrt{\frac{3}{2 × 3^2 × 4}} = \sqrt{\frac{1}{3^2} × \frac{3}{8}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}.$
$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} = \sqrt{\frac{1}{3 × 4 × 5}} = \sqrt{\frac{4}{3 × 4^2 × 5}} = \sqrt{\frac{1}{4^2} × \frac{4}{15}} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}.$
（1）根据上述各式的转化过程和所得结果，先猜想$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5} - \frac{1}{6})}$的变形结果，再进行验证。
（2）针对上述各式反映的规律，请写出用$n$（$n$为任意正整数）表示的等式。
$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{2 × 3}} = \sqrt{\frac{2}{2^2 × 3}} = \sqrt{\frac{1}{2^2} × \frac{2}{3}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}.$
$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \sqrt{\frac{1}{2 × 3 × 4}} = \sqrt{\frac{3}{2 × 3^2 × 4}} = \sqrt{\frac{1}{3^2} × \frac{3}{8}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}.$
$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} = \sqrt{\frac{1}{3 × 4 × 5}} = \sqrt{\frac{4}{3 × 4^2 × 5}} = \sqrt{\frac{1}{4^2} × \frac{4}{15}} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}.$
（1）根据上述各式的转化过程和所得结果，先猜想$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5} - \frac{1}{6})}$的变形结果，再进行验证。
（2）针对上述各式反映的规律，请写出用$n$（$n$为任意正整数）表示的等式。
答案
(1) $\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})} = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证略。
(2) $\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})} = \frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}$
(2) $\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})} = \frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}$
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先观察已知3个式子的结构特征：等式左边根号内是$\frac{1}{k}$乘以$(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})$的形式，等式右边是$\frac{1}{k+1}$乘以根号下（分子为$k+1$）的形式，对照已知例子的对应关系先猜想结果，再按照例子给出的化简步骤验证即可。
（2）解决第二问时，把第一问的具体数字替换成正整数$n$，先对根号内的分式通分化简，再根据二次根式的性质，给根号内分子分母同乘$(n+1)$凑出平方项后开方，即可得到一般规律。
【解析】
（1）猜想：$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5} - \frac{1}{6})}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$
验证：
左边$=\sqrt{\frac{1}{4}×(\frac{6 - 5}{5×6})}=\sqrt{\frac{1}{4×5×6}}=\sqrt{\frac{5}{4×5^2×6}}$
$=\sqrt{\frac{1}{5^2}×\frac{5}{4×6}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$=右边，猜想成立。
（2）推导通式：
对任意正整数$n$，
左边$=\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}=\sqrt{\frac{1}{n}×\frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$
$=\sqrt{\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}=\sqrt{\frac{n+1}{n·(n+1)^2·(n+2)}}$
$=\sqrt{\frac{1}{(n+1)^2}×\frac{n+1}{n(n+2)}}=\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{n(n+2)}}$
因为$n(n+2)=(n+1)^2 -1$，因此可得最终规律。
【答案】
(1) $\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})} = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证成立；
(2) $\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})} = \frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}$（$n$为正整数）
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 数字规律探究
3. 分式的运算
【点评】
本题是二次根式与规律探究结合的典型题型，需要先通过观察特例找到形式上的共性，再通过代数推导验证一般规律，既考查了二次根式的化简运算能力，也考查了归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先观察已知3个式子的结构特征：等式左边根号内是$\frac{1}{k}$乘以$(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})$的形式，等式右边是$\frac{1}{k+1}$乘以根号下（分子为$k+1$）的形式，对照已知例子的对应关系先猜想结果，再按照例子给出的化简步骤验证即可。
（2）解决第二问时，把第一问的具体数字替换成正整数$n$，先对根号内的分式通分化简，再根据二次根式的性质，给根号内分子分母同乘$(n+1)$凑出平方项后开方，即可得到一般规律。
【解析】
（1）猜想：$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5} - \frac{1}{6})}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$
验证：
左边$=\sqrt{\frac{1}{4}×(\frac{6 - 5}{5×6})}=\sqrt{\frac{1}{4×5×6}}=\sqrt{\frac{5}{4×5^2×6}}$
$=\sqrt{\frac{1}{5^2}×\frac{5}{4×6}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$=右边，猜想成立。
（2）推导通式：
对任意正整数$n$，
左边$=\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}=\sqrt{\frac{1}{n}×\frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$
$=\sqrt{\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}=\sqrt{\frac{n+1}{n·(n+1)^2·(n+2)}}$
$=\sqrt{\frac{1}{(n+1)^2}×\frac{n+1}{n(n+2)}}=\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{n(n+2)}}$
因为$n(n+2)=(n+1)^2 -1$，因此可得最终规律。
【答案】
(1) $\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})} = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证成立；
(2) $\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})} = \frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}$（$n$为正整数）
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 数字规律探究
3. 分式的运算
【点评】
本题是二次根式与规律探究结合的典型题型，需要先通过观察特例找到形式上的共性，再通过代数推导验证一般规律，既考查了二次根式的化简运算能力，也考查了归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
