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1. 计算：$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{81}} =$
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
；$\sqrt{\frac{8}{5}} ÷ \sqrt{\frac{5}{2}} =$ $\frac{4}{5}$
答案
1. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{4}{5}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的除法运算，解题时可依据二次根式的除法法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算，最终将结果化为最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开尽方的因数或因式）即可。第一问可先分别化简分子、分母的二次根式再约分，也可先合并被开方数计算后再开方；第二问直接运用除法法则将被开方数相除，再开方化简即可。
【解析】
1. 计算$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{81}}$：
先分别化简二次根式：$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{81}=9$，
代入得原式$=\frac{6\sqrt{2}}{9}$，约分得$\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
2. 计算$\sqrt{\frac{8}{5}} ÷ \sqrt{\frac{5}{2}}$：
根据二次根式除法法则，将被开方数相除：
原式$=\sqrt{\frac{8}{5}÷\frac{5}{2}}=\sqrt{\frac{8}{5}×\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；$\frac{4}{5}$
【知识点】
1. 二次根式的除法法则
2. 最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，主要考查对二次根式除法规则的掌握程度，计算时需注意被开方数的分数运算要准确，最终结果要化为最简形式，避免出现未约分、根式未化简的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的除法运算，解题时可依据二次根式的除法法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算，最终将结果化为最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开尽方的因数或因式）即可。第一问可先分别化简分子、分母的二次根式再约分，也可先合并被开方数计算后再开方；第二问直接运用除法法则将被开方数相除，再开方化简即可。
【解析】
1. 计算$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{81}}$：
先分别化简二次根式：$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{81}=9$，
代入得原式$=\frac{6\sqrt{2}}{9}$，约分得$\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
2. 计算$\sqrt{\frac{8}{5}} ÷ \sqrt{\frac{5}{2}}$：
根据二次根式除法法则，将被开方数相除：
原式$=\sqrt{\frac{8}{5}÷\frac{5}{2}}=\sqrt{\frac{8}{5}×\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；$\frac{4}{5}$
【知识点】
1. 二次根式的除法法则
2. 最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，主要考查对二次根式除法规则的掌握程度，计算时需注意被开方数的分数运算要准确，最终结果要化为最简形式，避免出现未约分、根式未化简的错误。
【难度系数】
0.8
2.计算：$\sqrt{18} ÷ \sqrt{\dfrac{3}{4}} × \sqrt{\dfrac{4}{3}} =$
$\sqrt{6a^2b} ÷ \sqrt{2ab} =$
$4\sqrt{2}$
；$\sqrt{6a^2b} ÷ \sqrt{2ab} =$
$\sqrt{3a}$
。答案
2. $4\sqrt{2}$，$\sqrt{3a}$
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：①回忆二次根式乘除运算法则：同次二次根式相乘除，可先将被开方数进行对应乘除运算，根指数保持不变，即$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$；②运算遵循从左到右的顺序，先计算被开方数部分的乘除结果；③最后将得到的二次根式化为最简二次根式即可，含字母的运算要注意隐含的字母取值范围保证式子有意义。
【解析】
(1) 计算$\sqrt{18} ÷ \sqrt{\dfrac{3}{4}} × \sqrt{\dfrac{4}{3}}$：
根据二次根式乘除法则，可合并计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{18÷\frac{3}{4}×\frac{4}{3}}\\&=\sqrt{18×\frac{4}{3}×\frac{4}{3}}\\&=\sqrt{32}\\&=\sqrt{16×2}\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 计算$\sqrt{6a^2b} ÷ \sqrt{2ab}$：
由二次根式及除数有意义可知$a＞0,b＞0$，根据二次根式除法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{\frac{6a^2b}{2ab}}\\&=\sqrt{3a}\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{2}$；$\sqrt{3a}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式乘除法则的应用，计算时先合并被开方数的运算再化简，能有效降低出错概率，注意最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
这两道题属于二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：①回忆二次根式乘除运算法则：同次二次根式相乘除，可先将被开方数进行对应乘除运算，根指数保持不变，即$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$；②运算遵循从左到右的顺序，先计算被开方数部分的乘除结果；③最后将得到的二次根式化为最简二次根式即可，含字母的运算要注意隐含的字母取值范围保证式子有意义。
【解析】
(1) 计算$\sqrt{18} ÷ \sqrt{\dfrac{3}{4}} × \sqrt{\dfrac{4}{3}}$：
根据二次根式乘除法则，可合并计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{18÷\frac{3}{4}×\frac{4}{3}}\\&=\sqrt{18×\frac{4}{3}×\frac{4}{3}}\\&=\sqrt{32}\\&=\sqrt{16×2}\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 计算$\sqrt{6a^2b} ÷ \sqrt{2ab}$：
由二次根式及除数有意义可知$a＞0,b＞0$，根据二次根式除法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{\frac{6a^2b}{2ab}}\\&=\sqrt{3a}\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{2}$；$\sqrt{3a}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式乘除法则的应用，计算时先合并被开方数的运算再化简，能有效降低出错概率，注意最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
3. 比较二次根式$-\sqrt{3\frac{2}{3}}$与$-\sqrt{3\frac{3}{5}}$的大小关系是
$-\sqrt{3\frac{2}{3}} ＜ -\sqrt{3\frac{3}{5}}$
。答案
3. $-\sqrt{3\frac{2}{3}} ＜ -\sqrt{3\frac{3}{5}}$
解析
【分析】
要比较两个负二次根式的大小，首先回忆负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的数反而小。因此可以先比较两个数的绝对值（即对应的正二次根式）的大小，而正二次根式的大小和被开方数的大小一致（算术平方根随被开方数增大而增大），所以只需要先把两个带分数形式的被开方数转化为同分母分数，比较大小后，再反过来判断原负数的大小即可。
【解析】
解：首先比较两个二次根式的被开方数大小：
$3\frac{2}{3} = \frac{11}{3} = \frac{55}{15}$，
$3\frac{3}{5} = \frac{18}{5} = \frac{54}{15}$，
∵ $\frac{55}{15} ＞ \frac{54}{15}$，
∴ $\sqrt{3\frac{2}{3}} ＞ \sqrt{3\frac{3}{5}}$，
又
∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴ $-\sqrt{3\frac{2}{3}} ＜ -\sqrt{3\frac{3}{5}}$。
【答案】
$-\sqrt{3\frac{2}{3}} ＜ -\sqrt{3\frac{3}{5}}$
【知识点】
负数大小比较；二次根式性质；分数大小比较
【点评】
本题考查带二次根式的负数大小比较，解题核心是将负数大小比较转化为其绝对值（正二次根式）的大小比较，结合二次根式与被开方数的同向增减性即可快速求解，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
要比较两个负二次根式的大小，首先回忆负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的数反而小。因此可以先比较两个数的绝对值（即对应的正二次根式）的大小，而正二次根式的大小和被开方数的大小一致（算术平方根随被开方数增大而增大），所以只需要先把两个带分数形式的被开方数转化为同分母分数，比较大小后，再反过来判断原负数的大小即可。
【解析】
解：首先比较两个二次根式的被开方数大小：
$3\frac{2}{3} = \frac{11}{3} = \frac{55}{15}$，
$3\frac{3}{5} = \frac{18}{5} = \frac{54}{15}$，
∵ $\frac{55}{15} ＞ \frac{54}{15}$，
∴ $\sqrt{3\frac{2}{3}} ＞ \sqrt{3\frac{3}{5}}$，
又
∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴ $-\sqrt{3\frac{2}{3}} ＜ -\sqrt{3\frac{3}{5}}$。
【答案】
$-\sqrt{3\frac{2}{3}} ＜ -\sqrt{3\frac{3}{5}}$
【知识点】
负数大小比较；二次根式性质；分数大小比较
【点评】
本题考查带二次根式的负数大小比较，解题核心是将负数大小比较转化为其绝对值（正二次根式）的大小比较，结合二次根式与被开方数的同向增减性即可快速求解，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
4.已知矩形的面积为$20\sqrt{15}\ \mathrm{cm}^2$，矩形的长是$\frac{5}{2}\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，则矩形的宽为
$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
。答案
4. $8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆矩形的面积公式：矩形面积=长×宽，因此矩形的宽=面积÷长。接下来将已知的面积和长的数值代入公式，再根据二次根式的除法运算法则计算即可，计算时注意系数和被开方数分别运算，最后把结果化为最简二次根式。
【解析】
解：根据矩形面积公式，可得矩形的宽为：
$\begin{aligned}&20\sqrt{15} ÷ \frac{5}{2}\sqrt{5} \\=&(20 ÷ \frac{5}{2}) × (\sqrt{15} ÷ \sqrt{5}) \\=&(20 × \frac{2}{5}) × \sqrt{\frac{15}{5}} \\=&8 × \sqrt{3} \\=&8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形面积公式；二次根式的除法运算；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算结合几何公式的基础应用题，解题的核心是正确推导宽的计算式，熟练掌握二次根式除法的运算规则，运算过程中注意系数的运算不要出错，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆矩形的面积公式：矩形面积=长×宽，因此矩形的宽=面积÷长。接下来将已知的面积和长的数值代入公式，再根据二次根式的除法运算法则计算即可，计算时注意系数和被开方数分别运算，最后把结果化为最简二次根式。
【解析】
解：根据矩形面积公式，可得矩形的宽为：
$\begin{aligned}&20\sqrt{15} ÷ \frac{5}{2}\sqrt{5} \\=&(20 ÷ \frac{5}{2}) × (\sqrt{15} ÷ \sqrt{5}) \\=&(20 × \frac{2}{5}) × \sqrt{\frac{15}{5}} \\=&8 × \sqrt{3} \\=&8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形面积公式；二次根式的除法运算；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算结合几何公式的基础应用题，解题的核心是正确推导宽的计算式，熟练掌握二次根式除法的运算规则，运算过程中注意系数的运算不要出错，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
5.若等式$\sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$成立，则$x$的取值范围是……【 】
A.$x≤ -1$
B.$x≥ 1$且$x≠ 2$
C.$x＞2$
D.$x≥ -1$且$x≠ 2$
A.$x≤ -1$
B.$x≥ 1$且$x≠ 2$
C.$x＞2$
D.$x≥ -1$且$x≠ 2$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次根式除法法则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的成立条件：一是分子的被开方数非负，保证二次根式有意义；二是分母的被开方数大于0，同时满足二次根式有意义和分母不为0的要求。我们只需要将题目中的对应式子代入条件，列出不等式组求解，再取解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式商的算术平方根的性质，等式$\sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$成立需满足：
$\begin{cases}x+1≥0 \quad ① \\x-2＞0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①得：$x≥-1$，
解不等式②得：$x＞2$，
两个不等式的公共解集为$x＞2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式除法法则
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式除法运算的成立条件，易错点是容易忽略分母的被开方数不能为0，误将$x-2$的范围写成$x≥2$从而错选D，解题时要同时兼顾被开方数非负、分母不为0两个限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确二次根式除法法则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的成立条件：一是分子的被开方数非负，保证二次根式有意义；二是分母的被开方数大于0，同时满足二次根式有意义和分母不为0的要求。我们只需要将题目中的对应式子代入条件，列出不等式组求解，再取解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式商的算术平方根的性质，等式$\sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$成立需满足：
$\begin{cases}x+1≥0 \quad ① \\x-2＞0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①得：$x≥-1$，
解不等式②得：$x＞2$，
两个不等式的公共解集为$x＞2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式除法法则
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式除法运算的成立条件，易错点是容易忽略分母的被开方数不能为0，误将$x-2$的范围写成$x≥2$从而错选D，解题时要同时兼顾被开方数非负、分母不为0两个限制条件。
【难度系数】
0.7
6. 下列运算正确的是 …………【 】
A.$\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
B.$\frac{-3\sqrt{6}}{\sqrt{27}} = -\sqrt{\frac{9 × 6}{27}} = \sqrt{2}$
C.$\sqrt{( \frac{x}{y} )^2 + ( \frac{y}{x} )^2} = \sqrt{( \frac{x}{y} )^2} + \sqrt{( \frac{y}{x} )^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
D.$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$
A.$\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
B.$\frac{-3\sqrt{6}}{\sqrt{27}} = -\sqrt{\frac{9 × 6}{27}} = \sqrt{2}$
C.$\sqrt{( \frac{x}{y} )^2 + ( \frac{y}{x} )^2} = \sqrt{( \frac{x}{y} )^2} + \sqrt{( \frac{y}{x} )^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
D.$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题思路是逐一验证每个选项的运算是否符合二次根式的性质、运算法则：首先明确带分数需先化为假分数再化简，二次根式乘除法法则的适用条件，根号下的加减运算不能直接拆分为两个根式的和差，分母有理化的规范操作，逐个排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：带分数$2\frac{1}{4}$表示$2+\frac{1}{4}$，不是$2×\frac{1}{4}$，正确化简应为$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，因此A运算错误。
选项B：运算过程中负号不能丢失，正确计算为$\frac{-3\sqrt{6}}{\sqrt{27}}=-\sqrt{\frac{9×6}{27}}=-\sqrt{2}$，因此B运算错误。
选项C：二次根式的性质中，$\sqrt{a^2+b^2}≠\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}$（根号下的和不能直接拆分），代入$x=y=1$验证：左边为$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，右边为$1+1=2$，两边不相等，因此C运算错误。
选项D：采用分母有理化的方法，分子分母同乘$\sqrt{2}$，运算过程为$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$，运算完全正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的除法；分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，易错点集中在带分数的意义混淆、运算符号遗漏、错误拆分根号下的和差运算，只要熟练掌握二次根式的运算法则和性质，注意规避常见错误就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的相关运算，解题思路是逐一验证每个选项的运算是否符合二次根式的性质、运算法则：首先明确带分数需先化为假分数再化简，二次根式乘除法法则的适用条件，根号下的加减运算不能直接拆分为两个根式的和差，分母有理化的规范操作，逐个排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：带分数$2\frac{1}{4}$表示$2+\frac{1}{4}$，不是$2×\frac{1}{4}$，正确化简应为$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，因此A运算错误。
选项B：运算过程中负号不能丢失，正确计算为$\frac{-3\sqrt{6}}{\sqrt{27}}=-\sqrt{\frac{9×6}{27}}=-\sqrt{2}$，因此B运算错误。
选项C：二次根式的性质中，$\sqrt{a^2+b^2}≠\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}$（根号下的和不能直接拆分），代入$x=y=1$验证：左边为$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，右边为$1+1=2$，两边不相等，因此C运算错误。
选项D：采用分母有理化的方法，分子分母同乘$\sqrt{2}$，运算过程为$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$，运算完全正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的除法；分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，易错点集中在带分数的意义混淆、运算符号遗漏、错误拆分根号下的和差运算，只要熟练掌握二次根式的运算法则和性质，注意规避常见错误就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
7. 给出下列二次根式：① $\frac{\sqrt{3}}{3}$；② $\sqrt{\frac{2}{5}}$；③ $\sqrt{0.09}$；④ $\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a^2b^2}$；⑤ $\frac{\sqrt{a^3}}{a^2}$；⑥ $-x\sqrt{\frac{1}{3x}}$。
最简二次根式是 ……………………【 】
A.①
B.①④
C.①③④
D.①③④⑤
最简二次根式是 ……………………【 】
A.①
B.①④
C.①③④
D.①③④⑤
答案
B
解析
【分析】
解决本题首先要明确最简二次根式的两个判定条件：1.被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母，也不能是小数）；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来我们按照这两个标准逐一判断给出的6个二次根式是否符合要求，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐个分析：
① $\frac{\sqrt{3}}{3}$：被开方数是3，不含分母，也没有能开得尽方的因数，分母3在根号外，满足最简二次根式的要求；
② $\sqrt{\frac{2}{5}}$：被开方数含有分母5，不满足要求，不是最简二次根式；
③ $\sqrt{0.09}$：0.09是$0.3^2$，属于能开得尽方的数，化简结果为0.3，不是最简二次根式；
④ $\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a^2b^2}$：被开方数是$a^2+b^2$，无法分解出能开得尽方的因式，也不含分母，分母$a^2b^2$在根号外，满足最简二次根式的要求；
⑤ $\frac{\sqrt{a^3}}{a^2}$：被开方数$a^3=a^2· a$，含有能开得尽方的因式$a^2$，化简结果为$\frac{\sqrt{a}}{a}$，不是最简二次根式；
⑥ $-x\sqrt{\frac{1}{3x}}$：被开方数含有分母$3x$，不满足要求，不是最简二次根式。
综上，属于最简二次根式的是①④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，解题核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，判断时要注意区分根号内和根号外的分母，同时要排查被开方数中隐含的可开方因式，避免误判。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确最简二次根式的两个判定条件：1.被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母，也不能是小数）；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来我们按照这两个标准逐一判断给出的6个二次根式是否符合要求，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐个分析：
① $\frac{\sqrt{3}}{3}$：被开方数是3，不含分母，也没有能开得尽方的因数，分母3在根号外，满足最简二次根式的要求；
② $\sqrt{\frac{2}{5}}$：被开方数含有分母5，不满足要求，不是最简二次根式；
③ $\sqrt{0.09}$：0.09是$0.3^2$，属于能开得尽方的数，化简结果为0.3，不是最简二次根式；
④ $\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a^2b^2}$：被开方数是$a^2+b^2$，无法分解出能开得尽方的因式，也不含分母，分母$a^2b^2$在根号外，满足最简二次根式的要求；
⑤ $\frac{\sqrt{a^3}}{a^2}$：被开方数$a^3=a^2· a$，含有能开得尽方的因式$a^2$，化简结果为$\frac{\sqrt{a}}{a}$，不是最简二次根式；
⑥ $-x\sqrt{\frac{1}{3x}}$：被开方数含有分母$3x$，不满足要求，不是最简二次根式。
综上，属于最简二次根式的是①④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，解题核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，判断时要注意区分根号内和根号外的分母，同时要排查被开方数中隐含的可开方因式，避免误判。
【难度系数】
0.7
8.已知$a＞0,b≥0$,下列计算中,计算过程或结果错误的是 ………………【 】
A.$\sqrt{\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{5}{3^2}}=3\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{\frac{3}{2}}=2\sqrt{\frac{3×2}{2^2}}=\sqrt{6}$
C.$5\sqrt{\frac{b}{5a^2}}=\sqrt{\frac{25b}{5a^2}}=\frac{\sqrt{5b}}{a}$
D.$\frac{\sqrt{27a^3}}{\sqrt{3a}}=\sqrt{\frac{27a^3}{3a}}=\sqrt{9a^2}=3a$
A.$\sqrt{\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{5}{3^2}}=3\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{\frac{3}{2}}=2\sqrt{\frac{3×2}{2^2}}=\sqrt{6}$
C.$5\sqrt{\frac{b}{5a^2}}=\sqrt{\frac{25b}{5a^2}}=\frac{\sqrt{5b}}{a}$
D.$\frac{\sqrt{27a^3}}{\sqrt{3a}}=\sqrt{\frac{27a^3}{3a}}=\sqrt{9a^2}=3a$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的化简与除法运算，解题时需结合二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）、$\sqrt{a^2}=|a|$以及根号外非负因数移入根号内的规则（需平方后乘入被开方数），逐个验证四个选项的计算过程和结果，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐一对选项进行验证：
选项A：$\sqrt{\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{5}{3^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，选项中结果写为$3\sqrt{5}$，计算错误。
选项B：$2\sqrt{\frac{3}{2}}=2\sqrt{\frac{3×2}{2^2}}=2×\frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$，计算正确。
选项C：因为$a＞0,b≥0$，所以$5\sqrt{\frac{b}{5a^2}}=\sqrt{5^2×\frac{b}{5a^2}}=\sqrt{\frac{25b}{5a^2}}=\sqrt{\frac{5b}{a^2}}=\frac{\sqrt{5b}}{\sqrt{a^2}}=\frac{\sqrt{5b}}{a}$，计算正确。
选项D：因为$a＞0$，所以$\frac{\sqrt{27a^3}}{\sqrt{3a}}=\sqrt{\frac{27a^3}{3a}}=\sqrt{9a^2}=3a$，计算正确。
综上，计算错误的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的除法；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关运算规则，尤其要注意根号外的数移入根号内需平方、开根号时要结合字母的取值范围确定符号，避免出现分子分母颠倒或者符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次根式的化简与除法运算，解题时需结合二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）、$\sqrt{a^2}=|a|$以及根号外非负因数移入根号内的规则（需平方后乘入被开方数），逐个验证四个选项的计算过程和结果，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐一对选项进行验证：
选项A：$\sqrt{\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{5}{3^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，选项中结果写为$3\sqrt{5}$，计算错误。
选项B：$2\sqrt{\frac{3}{2}}=2\sqrt{\frac{3×2}{2^2}}=2×\frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$，计算正确。
选项C：因为$a＞0,b≥0$，所以$5\sqrt{\frac{b}{5a^2}}=\sqrt{5^2×\frac{b}{5a^2}}=\sqrt{\frac{25b}{5a^2}}=\sqrt{\frac{5b}{a^2}}=\frac{\sqrt{5b}}{\sqrt{a^2}}=\frac{\sqrt{5b}}{a}$，计算正确。
选项D：因为$a＞0$，所以$\frac{\sqrt{27a^3}}{\sqrt{3a}}=\sqrt{\frac{27a^3}{3a}}=\sqrt{9a^2}=3a$，计算正确。
综上，计算错误的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的除法；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关运算规则，尤其要注意根号外的数移入根号内需平方、开根号时要结合字母的取值范围确定符号，避免出现分子分母颠倒或者符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
9.如果式子$\sqrt{\dfrac{-2x}{3y}}=\dfrac{\sqrt{-2x}}{\sqrt{3y}}$成立，那么x和y的取值范围是………………【 】
A.$x≥ 0,y＜0$
B.$x≤ 0,y＞0$
C.$x≤ 0,y＜0$
D.$x≥ 0,y＞0$
A.$x≥ 0,y＜0$
B.$x≤ 0,y＞0$
C.$x≤ 0,y＜0$
D.$x≥ 0,y＞0$
答案
B
解析
【分析】
要判断该等式成立的x、y取值范围，需依据二次根式除法法则的成立条件：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是①分子的被开方数$a≥0$，②分母的被开方数$b＞0$（分母不能为0，且根号下的数必须非负）。我们只需将题目中对应的被开方数代入上述条件，解不等式即可得到x、y的取值范围。
【解析】
根据二次根式除法法则的成立条件，结合题中式子可得：
1. 分子被开方数非负：$-2x≥ 0$，不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$x≤ 0$；
2. 分母被开方数为正：$3y＞0$，不等式两边同时除以$3$，解得$y＞0$。
综上，$x≤ 0$且$y＞0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式除法法则、二次根式有意义的条件、一元一次不等式求解
【点评】
本题考查二次根式除法运算的成立条件，易错点有两个：一是忽略分母的被开方数不能为0，二是解系数为负数的一元一次不等式时忘记改变不等号方向，解题时要牢记二次根式被开方数非负、分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
要判断该等式成立的x、y取值范围，需依据二次根式除法法则的成立条件：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是①分子的被开方数$a≥0$，②分母的被开方数$b＞0$（分母不能为0，且根号下的数必须非负）。我们只需将题目中对应的被开方数代入上述条件，解不等式即可得到x、y的取值范围。
【解析】
根据二次根式除法法则的成立条件，结合题中式子可得：
1. 分子被开方数非负：$-2x≥ 0$，不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$x≤ 0$；
2. 分母被开方数为正：$3y＞0$，不等式两边同时除以$3$，解得$y＞0$。
综上，$x≤ 0$且$y＞0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式除法法则、二次根式有意义的条件、一元一次不等式求解
【点评】
本题考查二次根式除法运算的成立条件，易错点有两个：一是忽略分母的被开方数不能为0，二是解系数为负数的一元一次不等式时忘记改变不等号方向，解题时要牢记二次根式被开方数非负、分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
10.如果$a,b$为正数，且$\frac{\sqrt{a^2 - 9}}{\sqrt{a + 3}} + \sqrt{b - 2}=0$，那么$a\sqrt{b^2}$的值是…………【 】
A.$\pm 6$
B.$\pm 3$
C.$-3$
D.$6$
A.$\pm 6$
B.$\pm 3$
C.$-3$
D.$6$
答案
D
解析
【分析】
解题需用到二次根式的两个核心性质：一是二次根式的非负性，若两个非负数之和为0，则两个非负数各自为0；二是二次根式的除法运算法则，以及二次根式有意义的隐含条件。首先先对原式中的分式利用二次根式除法法则化简，结合a为正数的条件确定a的取值范围，再根据非负性列方程求出a、b的取值，最后代入式子化简计算即可，注意计算$\sqrt{b^2}$时要先转化为绝对值再结合b的正负性化简。
【解析】
第一步：化简原式中的分式
根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}$（$A≥0,B＞0$），结合$a$是正数，可得$a+3＞0$，且分子$\sqrt{a^2-9}$有意义则$a^2-9≥0$，即$a≥3$。
对分子因式分解：$a^2-9=(a+3)(a-3)$，代入分式得：
$\frac{\sqrt{a^2 - 9}}{\sqrt{a + 3}}=\sqrt{\frac{(a+3)(a-3)}{a+3}}=\sqrt{a-3}$
此时原式转化为：$\sqrt{a-3}+\sqrt{b-2}=0$
第二步：根据非负性求a、b的值
∵二次根式的结果均为非负数，即$\sqrt{a-3}≥0$，$\sqrt{b-2}≥0$，两个非负数的和为0，则每一项都为0
∴列方程得：$a-3=0$，$b-2=0$
解得：$a=3$，$b=2$
第三步：代入计算$a\sqrt{b^2}$的值
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{b^2}=|b|$，因为$b=2＞0$，所以$\sqrt{b^2}=b=2$
代入得：$a\sqrt{b^2}=3×2=6$
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的非负性；二次根式的除法运算；二次根式的化简
【点评】
本题重点考查二次根式的性质与运算，解题的突破口是熟练掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，同时要注意二次根式有意义的隐含条件，避免忽略取值范围出现错误。
【难度系数】
0.7
解题需用到二次根式的两个核心性质：一是二次根式的非负性，若两个非负数之和为0，则两个非负数各自为0；二是二次根式的除法运算法则，以及二次根式有意义的隐含条件。首先先对原式中的分式利用二次根式除法法则化简，结合a为正数的条件确定a的取值范围，再根据非负性列方程求出a、b的取值，最后代入式子化简计算即可，注意计算$\sqrt{b^2}$时要先转化为绝对值再结合b的正负性化简。
【解析】
第一步：化简原式中的分式
根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}$（$A≥0,B＞0$），结合$a$是正数，可得$a+3＞0$，且分子$\sqrt{a^2-9}$有意义则$a^2-9≥0$，即$a≥3$。
对分子因式分解：$a^2-9=(a+3)(a-3)$，代入分式得：
$\frac{\sqrt{a^2 - 9}}{\sqrt{a + 3}}=\sqrt{\frac{(a+3)(a-3)}{a+3}}=\sqrt{a-3}$
此时原式转化为：$\sqrt{a-3}+\sqrt{b-2}=0$
第二步：根据非负性求a、b的值
∵二次根式的结果均为非负数，即$\sqrt{a-3}≥0$，$\sqrt{b-2}≥0$，两个非负数的和为0，则每一项都为0
∴列方程得：$a-3=0$，$b-2=0$
解得：$a=3$，$b=2$
第三步：代入计算$a\sqrt{b^2}$的值
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{b^2}=|b|$，因为$b=2＞0$，所以$\sqrt{b^2}=b=2$
代入得：$a\sqrt{b^2}=3×2=6$
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的非负性；二次根式的除法运算；二次根式的化简
【点评】
本题重点考查二次根式的性质与运算，解题的突破口是熟练掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，同时要注意二次根式有意义的隐含条件，避免忽略取值范围出现错误。
【难度系数】
0.7
11. $\sqrt{12} × 3\sqrt{2} × \frac{1}{\sqrt{2}}$
答案
$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是二次根式的乘除混合运算题，解题时先观察式子特征，可发现后两项$3\sqrt{2}$和$\frac{1}{\sqrt{2}}$相乘时，$\sqrt{2}$可直接约分，因此可以利用乘法结合律先计算后两项的乘积简化运算，再和第一项$\sqrt{12}$相乘，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：利用乘法结合律计算：
$\begin{aligned}\sqrt{12} × 3\sqrt{2} × \frac{1}{\sqrt{2}}&=\sqrt{12}×(3\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{2}})\\&=\sqrt{12}×3\\&=2\sqrt{3}×3\\&=6\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式化简、乘法结合律
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题时优先观察式子特点，合理运用运算律可简化计算步骤，注意最终运算结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.9
这是二次根式的乘除混合运算题，解题时先观察式子特征，可发现后两项$3\sqrt{2}$和$\frac{1}{\sqrt{2}}$相乘时，$\sqrt{2}$可直接约分，因此可以利用乘法结合律先计算后两项的乘积简化运算，再和第一项$\sqrt{12}$相乘，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：利用乘法结合律计算：
$\begin{aligned}\sqrt{12} × 3\sqrt{2} × \frac{1}{\sqrt{2}}&=\sqrt{12}×(3\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{2}})\\&=\sqrt{12}×3\\&=2\sqrt{3}×3\\&=6\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式化简、乘法结合律
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题时优先观察式子特点，合理运用运算律可简化计算步骤，注意最终运算结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.9
12. $\sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{32}{3}} ÷ (-\sqrt{\dfrac{1}{2}})$
答案
$-24$
解析
【分析】
本题属于二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：第一步先确定运算结果的符号，式中仅除数带负号，因此最终结果为负；第二步利用二次根式乘除运算法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，将所有二次根式的被开方数整合到同一个根号内进行乘除运算；第三步化简得到的二次根式即可得到最终结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&= -(\sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{32}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{2}}) \\&= -\sqrt{27 × \dfrac{32}{3} ÷ \dfrac{1}{2}} \\&= -\sqrt{27 × \dfrac{32}{3} × 2} \\&= -\sqrt{9 × 32 × 2} \\&= -\sqrt{576} \\&= -24\end{aligned}$
【答案】
$-24$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的乘除混合运算，属于基础题型，解题时需先判断结果的符号，再按照运算法则计算，运算过程中可先约分再计算，减少计算量，最后注意结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题属于二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：第一步先确定运算结果的符号，式中仅除数带负号，因此最终结果为负；第二步利用二次根式乘除运算法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，将所有二次根式的被开方数整合到同一个根号内进行乘除运算；第三步化简得到的二次根式即可得到最终结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&= -(\sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{32}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{2}}) \\&= -\sqrt{27 × \dfrac{32}{3} ÷ \dfrac{1}{2}} \\&= -\sqrt{27 × \dfrac{32}{3} × 2} \\&= -\sqrt{9 × 32 × 2} \\&= -\sqrt{576} \\&= -24\end{aligned}$
【答案】
$-24$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的乘除混合运算，属于基础题型，解题时需先判断结果的符号，再按照运算法则计算，运算过程中可先约分再计算，减少计算量，最后注意结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
