14.已知 $ a = \frac{1}{2} $，先化简，再求值：
$ \frac{4}{3}\sqrt{9a} × 8\sqrt{\frac{a^2}{16}} × 2\sqrt{\frac{1}{a}} $

14. 解:原式 $= 16a$；当 $a = \frac{1}{2}$ 时，原式 $= 8$.

【分析】
这是一道二次根式化简求值题，解题思路如下：第一步，运用二次根式乘法运算法则：几个二次根式相乘，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，再将结果化为最简形式；第二步，由已知a=1/2＞0，可知所有二次根式均有意义，开平方时结果为非负；第三步，将二次根式化简为最简整式后，代入a的数值计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$a=\frac{1}{2}＞0$
∴原式$=(\frac{4}{3}×8×2)×\sqrt{9a×\frac{a^2}{16}×\frac{1}{a}}$
$=\frac{64}{3}×\sqrt{\frac{9a^2}{16}}$
$=\frac{64}{3}×\frac{3a}{4}$
$=16a$
当$a=\frac{1}{2}$时，原式$=16×\frac{1}{2}=8$
【答案】
化简结果为$16a$，求值结果为$8$
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题时既可以先逐个化简二次根式再相乘，也可以先合并运算再化简，计算时注意二次根式有意义的前提，避免出现符号错误，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8

15.实数a在数轴上的位置如图1-1-4所示，化简$\sqrt{(a-2)^2(a-1)^2}$。

15. 解:$\because 1 ＜ a ＜ 2$，
$\therefore a - 1 ＞ 0,a - 2 ＜ 0$，
$\therefore \sqrt{(a-2)^2(a-1)^2} = \sqrt{(a-2)^2} · \sqrt{(a-1)^2}$
$= (2 - a)(a - 1) = 3a - a^2 - 2$.

【分析】
解题时首先观察数轴，得到实数a的取值范围为1＜a＜2；接下来回忆积的算术平方根的性质，可将原式拆分为两个二次根式的乘积；再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将式子转化为绝对值的乘积形式；随后根据a的取值范围判断$a-1$和$a-2$的正负，按照绝对值的性质去掉绝对值符号，最后计算整式乘法即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得$1 ＜ a ＜ 2$，
$\therefore a - 1 ＞ 0,a - 2 ＜ 0$，
根据积的算术平方根的性质：
$\sqrt{(a-2)^2(a-1)^2} = \sqrt{(a-2)^2} · \sqrt{(a-1)^2}$
结合二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|a-2|·|a-1|$
去绝对值：
原式$=(2 - a)(a - 1)$
展开计算得：
$(2 - a)(a - 1)=2a-2-a^2+a=3a - a^2 - 2$
【答案】
$3a - a^2 - 2$
【知识点】
数轴的应用、积的算术平方根、二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式化简的常规基础题，解题核心是先通过数轴判断代数式的正负，再结合二次根式和绝对值的性质完成化简，计算时要注意整式乘法的符号规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.7

16.已知 y 的算术平方根是$\sqrt{5}$，$2y - 1$的平方根是$x - 2$，求$\sqrt{15x^2y}$的值.
17.（1）计算下列各式，并在横线上填“＞”“＜”或“＝”.
$\sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ $2\sqrt{\frac{2}{3}}$，
$\sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ $3\sqrt{\frac{3}{8}}$，
$\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$ $4\sqrt{\frac{4}{15}}$，
$\sqrt{5 + \frac{5}{24}}$ $5\sqrt{\frac{5}{24}}$，
$\sqrt{6 + \frac{6}{35}}$ $6\sqrt{\frac{6}{35}}$，
$\sqrt{7 + \frac{7}{48}}$ $7\sqrt{\frac{7}{48}}$，
$\sqrt{8 + \frac{8}{63}}$ $8\sqrt{\frac{8}{63}}$，
$\sqrt{9 + \frac{9}{80}}$ $9\sqrt{\frac{9}{80}}$，
… …
（2）你从中能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围.
（3）利用你发现的规律再写出两组相等的式子，验证所发现的规律是正确的.
（4）试说明你所表示的式子的正确性.

16. 解:由 $y$ 的算术平方根是$\sqrt{5}$,得 $y = 5$.
$\therefore 2y - 1 = 9$, 9 的平方根是 $\pm 3$.
又由题意知 $2y - 1$ 的平方根是 $x - 2$,
$\therefore x - 2 = 3$,或 $x - 2 = -3$,
即 $x = 5$, 或 $x = -1$.
当 $x = 5$ 时, $\sqrt{15x^2y} = 25\sqrt{3}$；
当 $x = -1$ 时, $\sqrt{15x^2y} = 5\sqrt{3}$.
17. 解:(1) $=$ , $=$ , $=$ , $=$ , $=$ , $=$ , $=$ , $=$ .
(2) $\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}(n ≥ 2)$.
(3) 答案略.
(4) 理由如下：
$\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n(1 + \frac{1}{n^2 - 1})}$
$= \sqrt{n · \frac{n^2}{n^2 - 1}} = \sqrt{n^2 · \frac{n}{n^2 - 1}}$
$= \sqrt{n^2} · \sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}$.

第16题
【分析】
要计算$\sqrt{15x^2y}$的值，需先求出$x$和$y$的取值。第一步，根据算术平方根的定义，由$y$的算术平方根是$\sqrt{5}$可直接求出$y$；第二步，将$y$代入$2y-1$，再根据平方根的定义（正数的平方根有两个，互为相反数）列出关于$x$的方程，求出$x$的两个可能值；第三步，将$x$、$y$代入待求式，利用二次根式的性质化简即可得到结果。
【解析】
解：$\because y$的算术平方根是$\sqrt{5}$，根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，
$\therefore y=(\sqrt{5})^2=5$。
将$y=5$代入$2y-1$，得$2×5-1=9$。
$\because 9$的平方根是$\pm3$，且$2y-1$的平方根是$x-2$，
$\therefore x-2=3$或$x-2=-3$，
解得$x=5$或$x=-1$。
①当$x=5$，$y=5$时：
$\sqrt{15x^2y}=\sqrt{15×5^2×5}=\sqrt{1875}=25\sqrt{3}$；
②当$x=-1$，$y=5$时：
$\sqrt{15x^2y}=\sqrt{15×(-1)^2×5}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
【答案】
$25\sqrt{3}$或$5\sqrt{3}$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题重点考查平方根、算术平方根的概念，解题时注意正数的平方根有两个，不要漏解，化简二次根式时要将被开方数中所有能开得尽方的因数全部开出来。
【难度系数】
0.7
---
第17题
【分析】
（1）分别计算每组左右两边二次根式的化简结果，即可比较大小；
（2）观察式子特征，左边被开方数是“$n+\frac{n}{n^2-1}$”，右边是$n$乘以$\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，$n$从2开始取自然数；
（3）根据总结的规律，任取两个$n≥2$的自然数代入，即可写出符合要求的式子；
（4）要证明等式成立，只需将左边的二次根式通分化简，利用积的算术平方根的性质，将被开方数中能开尽方的因式开出来，验证和右边相等即可。
【解析】
（1）解：计算每组左右两边：
$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，填$=$；
$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，填$=$；
同理可得其余各组均相等，故所有空均填$=$。
（2）解：观察式子可得规律：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，其中$n≥2$且$n$为自然数。
（3）解：示例：
$\sqrt{10+\frac{10}{99}}=10\sqrt{\frac{10}{99}}$；
$\sqrt{11+\frac{11}{120}}=11\sqrt{\frac{11}{120}}$。（答案不唯一，合理即可）
（4）证明：
左边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}$
$=\sqrt{\frac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}$
$=\sqrt{n^2·\frac{n}{n^2-1}}$
$\because n≥2$，$\therefore \sqrt{n^2}=n$，
$\therefore$上式$=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=$右边，等式成立。
【答案】
（1）$=$；$=$；$=$；$=$；$=$；$=$；$=$；$=$
（2）$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（$n≥2$且$n$为自然数）
（3）示例：$\sqrt{10+\frac{10}{99}}=10\sqrt{\frac{10}{99}}$，$\sqrt{11+\frac{11}{120}}=11\sqrt{\frac{11}{120}}$（答案不唯一）
（4）证明见解析
【知识点】
二次根式的化简；规律探究；积的算术平方根的性质
【点评】
本题是二次根式相关的规律探究题，先通过计算归纳规律，再利用二次根式的运算性质证明规律，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，善于观察式子中数字的变化特征总结规律。
【难度系数】
0.65