（绵阳中考）如图，反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$与正比例函数$y = ax$相交于$A(1,k)$，$B(-k, -1)$两点.
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式.
(2)将正比例函数$y = ax$的图象平移，得到一次函数$y = ax + b$的图象，与函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图象交于$C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$两点，且$|x_1 - x_2| · |y_1 - y_2| = 5$，求$b$的值.

（绵阳中考）(1)依题意，得点$A(1,k)$与点$B(-k, -1)$关于原点对称，$\therefore k = 1$，$A(1,1)$，$B(-1, -1)$.$\therefore$反比例函数和正比例函数的解析式分别为$y = \frac{1}{x}$，$y = x$.(2)$\because$一次函数$y = x + b$的图象过点$C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，$\therefore \begin{cases} y_1 = x_1 + b, \textcircled{1} \\ y_2 = x_2 + b, \textcircled{2} \end{cases}$② - ①，得$y_2 - y_1 = x_2 - x_1$.$\because |x_1 - x_2| · |y_1 - y_2| = 5$，$\therefore |x_1 - x_2| = |y_1 - y_2| = \sqrt{5}$.由$\begin{cases} y = x + b, \\ y = \frac{1}{x} \end{cases}$得$x^2 + bx - 1 = 0$，解得$x_1 = \frac{ - b + \sqrt{b^2 + 4}}{2}$，$x_2 = \frac{ - b - \sqrt{b^2 + 4}}{2}$.$\therefore |x_1 - x_2| = | \frac{ - b + \sqrt{b^2 + 4}}{2} - \frac{ - b - \sqrt{b^2 + 4}}{2} | = | \sqrt{b^2 + 4} | = \sqrt{5}$.解得$b = \pm 1$.

(1) 解：因为反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$与正比例函数$y = ax$的交点$A(1,k)$，$B(-k, -1)$关于原点对称，所以$k = 1$，则$A(1,1)$，$B(-1, -1)$。
所以反比例函数解析式为$y = \frac{1}{x}$，正比例函数解析式为$y = x$。
(2) 解：因为一次函数$y = x + b$与$y = \frac{1}{x}$交于$C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，所以$\begin{cases} y_1 = x_1 + b \\ y_2 = x_2 + b \end{cases}$，两式相减得$y_2 - y_1 = x_2 - x_1$，即$|y_1 - y_2| = |x_1 - x_2|$。
又因为$|x_1 - x_2| · |y_1 - y_2| = 5$，所以$|x_1 - x_2|^2 = 5$，即$|x_1 - x_2| = \sqrt{5}$。
联立$\begin{cases} y = x + b \\ y = \frac{1}{x} \end{cases}$，得$x^2 + bx - 1 = 0$，则$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = -1$。
$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{b^2 + 4} = \sqrt{5}$，解得$b^2 = 1$，所以$b = \pm 1$。