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例2 如图，点$A(-2,n)$，$B(1, -2)$是一次函数$y = kx + b$的图象和反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的$x$取值范围.
(3)若$C$是$x$轴上一动点，设$t = CB - CA$，求$t$的最大值，并求出此时点$C$的坐标.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的$x$取值范围.
(3)若$C$是$x$轴上一动点，设$t = CB - CA$，求$t$的最大值，并求出此时点$C$的坐标.
答案
分析：(1)根据点$A(-2,n)$，$B(1, -2)$是一次函数$y = kx + b$的图象和反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象的两个交点，首先求出$m$的值，再求出$n$的值，最后列二元一次方程组求出一次函数解析式的系数.
(2)根据反比例函数和一次函数的图象可以直接写出满足条件的$x$的取值范围.
(3)作点$A$关于$x$轴的对称点$A'$，连接$BA'$并延长，交$x$轴于点$C$，则点$C$即为所求，求出点$A'$的坐标，利用勾股定理求出$A'B$的长度.
解：(1)$\because$点$A(-2,n)$，$B(1, -2)$是一次函数$y = kx + b$的图象和反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象的两个交点，$\therefore m = -2$，即反比例函数的解析式为$y = - \frac{2}{x}$.
$\therefore n = 1$，点$A(-2,1)$.
$\because$点$A(-2,1)$，$B(1, -2)$是一次函数$y = kx + b$的图象上两点，
$\therefore \begin{cases} -2k + b = 1, \\k + b = -2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -1, \\b = -1. \end{cases}$
故一次函数的解析式为$y = -x -1$.
(2)结合图象知：当$-2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$时，一次函数的值小于反比例函数的值.
(3)如图，作点$A$关于$x$轴的对称点$A'$，连接$BA'$并延长，交$x$轴于点$C$，则点$C$即为所求.
$\because$点$A(-2,1)$，$\therefore$点$A'(-2, -1)$.
设直线$A'B$的解析式为$y = px + q$，
$\therefore \begin{cases} -1 = -2p + q, \\ -2 = p + q, \end{cases}$解得$\begin{cases} p = - \frac{1}{3}, \\q = - \frac{5}{3}. \end{cases}$$\therefore y = - \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$.
令$y = 0$，得$x = -5$，则点$C$的坐标为$(-5,0)$.
当$t = CB - CA$有最大值时，$t = CB - CA = CB - CA' = A'B$，
$\therefore t_{\max} = A'B = \sqrt{(-2 -1)^2 + (-1 + 2)^2} = \sqrt{10}$.
解析
(1) $\because$ 点$B(1,-2)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，$\therefore m=1×(-2)=-2$，反比例函数解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
$\because$ 点$A(-2,n)$在反比例函数图象上，$\therefore n=-\frac{2}{-2}=1$，即$A(-2,1)$。
$\because$ 点$A(-2,1)$，$B(1,-2)$在一次函数$y=kx+b$的图象上，
$\therefore \begin{cases}-2k+b=1\\k+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$，
一次函数解析式为$y=-x-1$。
(2) $-2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$。
(3) 作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(-2,-1)$，设直线$A'B$的解析式为$y=px+q$，
$\because A'(-2,-1)$，$B(1,-2)$在直线$A'B$上，
$\therefore \begin{cases}-2p+q=-1\\p+q=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=-\frac{1}{3}\\q=-\frac{5}{3}\end{cases}$，
直线$A'B$的解析式为$y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$。
令$y=0$，则$-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}=0$，解得$x=-5$，$\therefore C(-5,0)$。
$t_{\max}=A'B=\sqrt{(-2-1)^2+(-1+2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
综上，$t$的最大值为$\sqrt{10}$，此时点$C$的坐标为$(-5,0)$。
$\because$ 点$A(-2,n)$在反比例函数图象上，$\therefore n=-\frac{2}{-2}=1$，即$A(-2,1)$。
$\because$ 点$A(-2,1)$，$B(1,-2)$在一次函数$y=kx+b$的图象上，
$\therefore \begin{cases}-2k+b=1\\k+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$，
一次函数解析式为$y=-x-1$。
(2) $-2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$。
(3) 作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(-2,-1)$，设直线$A'B$的解析式为$y=px+q$，
$\because A'(-2,-1)$，$B(1,-2)$在直线$A'B$上，
$\therefore \begin{cases}-2p+q=-1\\p+q=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=-\frac{1}{3}\\q=-\frac{5}{3}\end{cases}$，
直线$A'B$的解析式为$y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$。
令$y=0$，则$-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}=0$，解得$x=-5$，$\therefore C(-5,0)$。
$t_{\max}=A'B=\sqrt{(-2-1)^2+(-1+2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
综上，$t$的最大值为$\sqrt{10}$，此时点$C$的坐标为$(-5,0)$。
