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6.二次函数$y= ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图
所示,该图象经过点(2,2),(1,0),
(3,0).根据图象解答下列问题.
(1)写出方程$ax^2+bx+c= 0$的两个根.
(2)写出不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集.
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x
的取值范围.
所示,该图象经过点(2,2),(1,0),
(3,0).根据图象解答下列问题.
(1)写出方程$ax^2+bx+c= 0$的两个根.
(2)写出不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集.
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x
的取值范围.
答案
【解析】：
（1）观察二次函数图象与$x$轴的交点，交点的横坐标就是对应的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
已知图象经过点$(1,0)$，$(3,0)$，所以方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根就是$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
（2）不等式$ax^2 + bx + c＞0$的解集，就是二次函数图象在$x$轴上方部分对应的$x$的取值范围。
从图象可以看出，当$1＜x＜3$时，函数图象在$x$轴上方，所以不等式$ax^2 + bx + c＞0$的解集为$1＜x＜3$。
（3）对于二次函数$y = ax^2 + bx + c(a≠0)$，其对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，同时对称轴是图象与$x$轴两个交点横坐标的平均值，这里两个交点横坐标为$1$和$3$，所以对称轴为$x = \frac{1 + 3}{2}=2$。
又因为二次函数图象开口向下（$a＜0$），所以在对称轴右侧，即$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：
(1)$x_1 = 1$，$x_2 = 3$；
(2)$1＜x＜3$；
(3)$x＞2$。
（1）观察二次函数图象与$x$轴的交点，交点的横坐标就是对应的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
已知图象经过点$(1,0)$，$(3,0)$，所以方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根就是$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
（2）不等式$ax^2 + bx + c＞0$的解集，就是二次函数图象在$x$轴上方部分对应的$x$的取值范围。
从图象可以看出，当$1＜x＜3$时，函数图象在$x$轴上方，所以不等式$ax^2 + bx + c＞0$的解集为$1＜x＜3$。
（3）对于二次函数$y = ax^2 + bx + c(a≠0)$，其对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，同时对称轴是图象与$x$轴两个交点横坐标的平均值，这里两个交点横坐标为$1$和$3$，所以对称轴为$x = \frac{1 + 3}{2}=2$。
又因为二次函数图象开口向下（$a＜0$），所以在对称轴右侧，即$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：
(1)$x_1 = 1$，$x_2 = 3$；
(2)$1＜x＜3$；
(3)$x＞2$。
7.已知二次函数$y= ax^2+bx+c$的图象如图所
示,根据图象解答下列问题.
(1)写出方程$ax^2+bx+c= 0$的两个根.
(2)写出不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集.
(3)求y的取值范围.
示,根据图象解答下列问题.
(1)写出方程$ax^2+bx+c= 0$的两个根.
(2)写出不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集.
(3)求y的取值范围.
答案
(1)解：由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A(-5,0)$和点$B(1,0)$，所以方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=-5$，$x_2=1$。
(2)解：因为二次函数图象开口向下，且与$x$轴交于点$(-5,0)$和$(1,0)$，所以不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$-5＜x＜1$。
(3)解：设二次函数的顶点坐标为$(h,k)$，由于二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-5+1}{2}=-2$，即$h=-2$。将$x=-2$代入函数，结合图象顶点为最高点，设函数表达式为$y=a(x+5)(x-1)$，把点$C(0,5)$代入得$5=a(0+5)(0-1)$，解得$a=-1$，所以函数表达式为$y=-(x+5)(x-1)=-(x^2+4x-5)=-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9$，所以顶点纵坐标$k=9$，因此$y$的取值范围是$y≤9$。
(2)解：因为二次函数图象开口向下，且与$x$轴交于点$(-5,0)$和$(1,0)$，所以不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$-5＜x＜1$。
(3)解：设二次函数的顶点坐标为$(h,k)$，由于二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-5+1}{2}=-2$，即$h=-2$。将$x=-2$代入函数，结合图象顶点为最高点，设函数表达式为$y=a(x+5)(x-1)$，把点$C(0,5)$代入得$5=a(0+5)(0-1)$，解得$a=-1$，所以函数表达式为$y=-(x+5)(x-1)=-(x^2+4x-5)=-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9$，所以顶点纵坐标$k=9$，因此$y$的取值范围是$y≤9$。
8.如图,直线y= x+m和抛物线$y= x^2+bx+$
c都经过点A(1,0),B(3,n).
(1)求m,n的值和抛物线对应的函数解
析式.
(2)求不等式$x^2+bx+c＞x+m$的解集.
(直接写出答案)
c都经过点A(1,0),B(3,n).
(1)求m,n的值和抛物线对应的函数解
析式.
(2)求不等式$x^2+bx+c＞x+m$的解集.
(直接写出答案)
答案
(1)解：∵直线y=x+m经过点A(1,0)，
∴1+m=0，解得m=-1，
∴直线解析式为y=x-1，
∵点B(3,n)在直线y=x-1上，
∴n=3-1=2，
∵抛物线y=x²+bx+c经过点A(1,0)，B(3,2)，
∴$\begin{cases}1+b+c=0\\9+3b+c=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b=-3\\c=2\end{cases}$，
∴抛物线对应的函数解析式为y=x²-3x+2。
(2)x＜1或x＞3
∴1+m=0，解得m=-1，
∴直线解析式为y=x-1，
∵点B(3,n)在直线y=x-1上，
∴n=3-1=2，
∵抛物线y=x²+bx+c经过点A(1,0)，B(3,2)，
∴$\begin{cases}1+b+c=0\\9+3b+c=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b=-3\\c=2\end{cases}$，
∴抛物线对应的函数解析式为y=x²-3x+2。
(2)x＜1或x＞3
