1. 用40 cm长的绳子围成一个的矩形，则矩形的面积y cm²与一边长为x cm之间的函数解析式为().
A.$y = x^2$
B.$y = -x^2 + 40x$
C.$y = -x^2 + 20x$
D.$y = -x^2 + 20$

1. 首先，根据矩形的周长公式：
已知矩形周长$C = 40cm$，一边长为$x cm$，设另一边长为$a cm$，根据矩形周长公式$C = 2(x + a)$，则$40 = 2(x + a)$。
求解$a$：
由$40 = 2(x + a)$，两边同时除以$2$得$20=x + a$，所以$a=(20 - x)cm$。
2. 然后，根据矩形的面积公式：
矩形面积公式$y=x× a$（其中$y$为面积，$x$为长，$a$为宽）。
把$a = 20 - x$代入面积公式，得$y=x(20 - x)$。
展开式子：
根据单项式乘多项式法则$m(a + b)=ma+mb$（这里$m = x$，$a = 20$，$b=-x$），则$y=x×20-x× x$。
所以$y=-x^{2}+20x$，其中$0\lt x\lt20$。
综上，答案是C。

2. 在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图. 如果要使整幅挂图的面积是y cm²，设金色纸边的宽度为x cm，那么y与x之间的函数解析式是().

A.$y = (60 + 2x)(40 + 2x)$
B.$y = (60 + x)(40 + x)$
C.$y = (60 + 2x)(40 + x)$
D.$y = (60 + x)(40 + 2x)$

解：
已知矩形风景画长$60cm$，宽$40cm$，金色纸边宽度为$x cm$。
则矩形挂图的长为$(60 + 2x)cm$，宽为$(40 + 2x)cm$。
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可得$y=(60 + 2x)(40 + 2x)$。
所以答案是A。

3. 如图，矩形ABCD的周长为18，其中E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点. 若AB = x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数解析式为_________.

1. 首先，根据矩形周长公式求$AD$的长度：
已知矩形$ABCD$的周长$C = 18$，$AB=x$，由矩形周长公式$C = 2(AB + AD)$，即$18 = 2(x + AD)$。
解关于$AD$的方程：
两边同时除以$2$得$9=x + AD$，所以$AD=9 - x$。
2. 然后，分析四边形$EFGH$的面积：
因为$E$，$F$，$G$，$H$为矩形$ABCD$各边中点，连接矩形各边中点所得四边形$EFGH$的面积$y$等于矩形$ABCD$面积的一半。
矩形$ABCD$的面积$S_{ABCD}=AB× AD$，$AB = x$，$AD=9 - x$，则$S_{ABCD}=x(9 - x)=9x - x^{2}$。
所以$y=\frac{1}{2}S_{ABCD}$。
3. 最后，得出函数解析式：
把$S_{ABCD}=9x - x^{2}$代入$y=\frac{1}{2}S_{ABCD}$，可得$y =-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x$。
故$y$与$x$之间的函数解析式为$y =-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x$。

4. 用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场. 设围成的矩形的一边长为x m，面积为y m².
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）当x为何值时，围成的养鸡场的面积为60 m²?
（3）能否围成面积为70 m²的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由.

$(1)$ 求$y$关于$x$的函数解析式
解：已知矩形的一边长为$x m$，篱笆长$32m$，则矩形的另一边长为$\frac{32 - 2x}{2}=(16 - x)m$。
根据矩形面积公式$y =长×宽$，可得$y=x(16 - x)=-x^{2}+16x$。
因为矩形边长大于$0$，所以$\begin{cases}x\gt0\\16 - x\gt0\end{cases}$，解得$0\lt x\lt16$。
故$y$关于$x$的函数解析式为$y = -x^{2}+16x(0\lt x\lt16)$。
$(2)$ 当$x$为何值时，围成的养鸡场的面积为$60m^{2}$
解：当$y = 60$时，即$-x^{2}+16x = 60$。
移项化为标准的一元二次方程形式：$x^{2}-16x + 60 = 0$。
分解因式$(x - 6)(x - 10)=0$。
则$x - 6 = 0$或$x - 10 = 0$。
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=10$。
所以当$x = 6$或$x = 10$时，围成的养鸡场的面积为$60m^{2}$。
$(3)$ 能否围成面积为$70m^{2}$的养鸡场
解：当$y = 70$时，$-x^{2}+16x = 70$。
移项化为标准的一元二次方程形式：$x^{2}-16x + 70 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = -16$，$c = 70$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
则$\Delta=(-16)^{2}-4×1×70=256 - 280=-24\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
所以不能围成面积为$70m^{2}$的养鸡场。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{y = -x^{2}+16x(0\lt x\lt16)}$；$(2)$$\boldsymbol{x = 6}$或$\boldsymbol{x = 10}$；$(3)$不能围成，理由见上述解析。