登录
3. 已知二次函数$y= ax^2+bx+c$的部分图象如图所示,根据函数图象可知,当y＞0时,x的取值范围是
$-1 ＜ x ＜ 3$
.答案
【解析】：
由图象可知，二次函数的对称轴为$x = 1$，且函数图象过点$(-1,0)$。
根据二次函数的对称性，函数图象与$x$轴的另一个交点坐标可以通过对称轴和已知交点求得。
设另一个交点坐标为$(x_0, 0)$，则由于对称性有$\frac{-1 + x_0}{2} = 1$，
解得$x_0 = 3$。
因此，当$y ＞ 0$时，$x$的取值范围应在这两个交点之间，即$-1 ＜ x ＜ 3$。
【答案】：
$-1 ＜ x ＜ 3$。
由图象可知，二次函数的对称轴为$x = 1$，且函数图象过点$(-1,0)$。
根据二次函数的对称性，函数图象与$x$轴的另一个交点坐标可以通过对称轴和已知交点求得。
设另一个交点坐标为$(x_0, 0)$，则由于对称性有$\frac{-1 + x_0}{2} = 1$，
解得$x_0 = 3$。
因此，当$y ＞ 0$时，$x$的取值范围应在这两个交点之间，即$-1 ＜ x ＜ 3$。
【答案】：
$-1 ＜ x ＜ 3$。
4. 已知抛物线$y= -x^2 +2x+2,$完成下列各题.
(1)该抛物线的对称轴是
(2)选取适当的数据填入下表,并在下图中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线.
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | $-6$ | $-1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $-1$ | $\cdots$ |
图略
(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x＞x2＞1,试比较y1与y2的大小.
(1)该抛物线的对称轴是
$x=1$
,顶点为$(1,3)$
.(2)选取适当的数据填入下表,并在下图中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线.
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | $-6$ | $-1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $-1$ | $\cdots$ |
图略
(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x＞x2＞1,试比较y1与y2的大小.
$y_1＜y_2$
答案
【解析】：
（1）要求抛物线的对称轴和顶点，
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，
其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，
顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，
在抛物线$y=-x^2+2x+2$中，$a=-1$，$b=2$，$c=2$，
对称轴：$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
顶点纵坐标：$\frac{4×(-1)×2-2^2}{4×(-1)}=\frac{-8-4}{-4}=\frac{-12}{-4}=3$，
所以顶点为$(1,3)$。
（2）
如图所示
（3）比较$y_1$与$y_2$的大小，
已知$x_1＞x_2＞1$，
由于抛物线的对称轴是$x=1$，且$a=-1＜0$，
所以抛物线开口向下，
在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而减小，
因此，当$x_1＞x_2＞1$时，有$y_1＜y_2$。
1. 已知二次函数$y= ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示,其对称轴是x= -1. 下列结论:①abc＜0;②b＞2ac;$ ③ax^2+bx+c= 0$的两个根分别为-3和1;④a-2b+c＞0. 其中,正确的结论是(
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①②③④
C
).A.①②
B.②③
C.①②③
D.①②③④
答案
解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵对称轴x=-1=-b/(2a)，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴abc＜0，①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b²-4ac＞0，
∵a＞0，∴b²＞4ac＞2ac（c＜0），即b＞2ac（b＞0），②正确；
③∵对称轴x=-1，抛物线过点（1，0），
∴另一交点为x=-1-（1+1）=-3，
∴方程ax²+bx+c=0的两根为-3和1，③正确；
④当x=-2时，y=a(-2)²+b(-2)+c=4a-2b+c，
∵对称轴x=-1，x=-2与x=0关于对称轴对称，
又x=0时y=c＜0，∴x=-2时y=4a-2b+c=c＜0，
∵b=2a，∴a-2b+c=a-4a+c=-3a+c＜0，④错误.
综上，正确结论是①②③，选C.
答案：C
∵对称轴x=-1=-b/(2a)，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴abc＜0，①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b²-4ac＞0，
∵a＞0，∴b²＞4ac＞2ac（c＜0），即b＞2ac（b＞0），②正确；
③∵对称轴x=-1，抛物线过点（1，0），
∴另一交点为x=-1-（1+1）=-3，
∴方程ax²+bx+c=0的两根为-3和1，③正确；
④当x=-2时，y=a(-2)²+b(-2)+c=4a-2b+c，
∵对称轴x=-1，x=-2与x=0关于对称轴对称，
又x=0时y=c＜0，∴x=-2时y=4a-2b+c=c＜0，
∵b=2a，∴a-2b+c=a-4a+c=-3a+c＜0，④错误.
综上，正确结论是①②③，选C.
答案：C
2. 已知二次函数$y= ax^2+bx+c$的图象如图所示,则关于x的方程$ax^2+bx+c-3= 0$的根的情况是(
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
C
).A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
【解析】：
本题考查二次函数图象与一元二次方程的关系，通过观察二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象，分析$y$的最大值，进而判断方程$ax^2 + bx + c - 3 = 0$的根的情况，也就是判断$y=ax^2 + bx + c$与$y = 3$交点的情况。
从图象可知，二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象开口向下，且顶点纵坐标为$3$，即$y$的最大值为$3$。
那么对于方程$ax^2 + bx + c - 3 = 0$，可变形为$ax^2 + bx + c = 3$，其根的情况就取决于二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象与直线$y = 3$的交点情况。
因为二次函数$y = ax^2 + bx + c$的最大值为$3$，所以二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象与直线$y = 3$只有一个交点，即方程$ax^2 + bx + c = 3$有两个相等的实数根。
【答案】：C
本题考查二次函数图象与一元二次方程的关系，通过观察二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象，分析$y$的最大值，进而判断方程$ax^2 + bx + c - 3 = 0$的根的情况，也就是判断$y=ax^2 + bx + c$与$y = 3$交点的情况。
从图象可知，二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象开口向下，且顶点纵坐标为$3$，即$y$的最大值为$3$。
那么对于方程$ax^2 + bx + c - 3 = 0$，可变形为$ax^2 + bx + c = 3$，其根的情况就取决于二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象与直线$y = 3$的交点情况。
因为二次函数$y = ax^2 + bx + c$的最大值为$3$，所以二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象与直线$y = 3$只有一个交点，即方程$ax^2 + bx + c = 3$有两个相等的实数根。
【答案】：C
3.二次函数$y= x^2-6x+8$的图象如图所示,
当y＞0时,自变量x的取值范围是
当y＞0时,自变量x的取值范围是
$x ＜ 2$或$x ＞ 4$
.答案
解：令$y = 0$，则$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x - 4) = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$。
由二次函数$y = x^2 - 6x + 8$的图象可知，抛物线开口向上，
所以当$y ＞ 0$时，自变量$x$的取值范围是$x ＜ 2$或$x ＞ 4$。
$x ＜ 2$或$x ＞ 4$
因式分解得$(x - 2)(x - 4) = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$。
由二次函数$y = x^2 - 6x + 8$的图象可知，抛物线开口向上，
所以当$y ＞ 0$时，自变量$x$的取值范围是$x ＜ 2$或$x ＞ 4$。
$x ＜ 2$或$x ＞ 4$
4.已知二次函数$y= αx^2+bx+c$的自变量x与函数y的部分对应值列表如下:
则方程$ax^2+bx+c= 0$的正数解x的取值范围是
则方程$ax^2+bx+c= 0$的正数解x的取值范围是
1＜x＜2
.答案
解：由表格可知，当$x=-4$时，$y=3$；当$x=-3$时，$y=-2$。因为二次函数图象是抛物线，且$x=-2$和$x=0$时$y=-5$，所以抛物线对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
根据抛物线对称性，与$x=-4$关于对称轴对称的点为$x=2$，此时$y=3$；与$x=-3$关于对称轴对称的点为$x=1$，此时$y=-2$。
当$x=1$时，$y=-2$；当$x=2$时，$y=3$，函数值由负变为正，所以方程$ax^2+bx+c=0$的正数解$x$的取值范围是$1＜x＜2$。
$1＜x＜2$
根据抛物线对称性，与$x=-4$关于对称轴对称的点为$x=2$，此时$y=3$；与$x=-3$关于对称轴对称的点为$x=1$，此时$y=-2$。
当$x=1$时，$y=-2$；当$x=2$时，$y=3$，函数值由负变为正，所以方程$ax^2+bx+c=0$的正数解$x$的取值范围是$1＜x＜2$。
$1＜x＜2$
5.如图所示的抛物线是二次函数$y= ax^2-3x +a^2-1$的图象,那么α的值是
-1
答案
【解析】：
由图可知，抛物线$y = ax^2 - 3x + a^2 - 1$经过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入抛物线方程可得：
$0=a×0^2 - 3×0 + a^2 - 1$，即$a^2 - 1 = 0$，
因式分解得$(a + 1)(a - 1)=0$，
解得$a = 1$或$a = -1$。
又因为抛物线开口向下，所以$a\lt0$，故$a = -1$。
【答案】：
$-1$
由图可知，抛物线$y = ax^2 - 3x + a^2 - 1$经过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入抛物线方程可得：
$0=a×0^2 - 3×0 + a^2 - 1$，即$a^2 - 1 = 0$，
因式分解得$(a + 1)(a - 1)=0$，
解得$a = 1$或$a = -1$。
又因为抛物线开口向下，所以$a\lt0$，故$a = -1$。
【答案】：
$-1$
