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1. 下列三组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。
(1) $7$,$8$,$12$； (2) $\sqrt{34}$,$5$,$3$； (3) $3k$,$4k$,$5k$($k$是正整数)。
(1) $7$,$8$,$12$； (2) $\sqrt{34}$,$5$,$3$； (3) $3k$,$4k$,$5k$($k$是正整数)。
答案
（1）因为7＜8＜12，又因为$7^{2}+8^{2}＜12^{2}$，所以7,8,12不能作为直角三角形的三边长。（2）因为$3＜5＜\sqrt{34}$，又因为$3^{2}+5^{2}=(\sqrt{34})^{2}$，所以$3,5,\sqrt{34}$能作为直角三角形的三边长。（3）因为$3k＜4k＜5k$，又因为$(3k)^{2}+(4k)^{2}=(5k)^{2}$，所以$3k,4k,5k$能作为直角三角形的三边长。
解析
（1）因为$7＜8＜12$，又因为$7^{2}+8^{2}=49 + 64=113$，$12^{2}=144$，$113＜144$，所以$7$，$8$，$12$不能作为直角三角形的三边长。
（2）因为$3＜5＜\sqrt{34}$，又因为$3^{2}+5^{2}=9 + 25=34$，$(\sqrt{34})^{2}=34$，所以$3$，$5$，$\sqrt{34}$能作为直角三角形的三边长。
（3）因为$3k＜4k＜5k$（$k$是正整数），又因为$(3k)^{2}+(4k)^{2}=9k^{2}+16k^{2}=25k^{2}$，$(5k)^{2}=25k^{2}$，所以$3k$，$4k$，$5k$能作为直角三角形的三边长。
（2）因为$3＜5＜\sqrt{34}$，又因为$3^{2}+5^{2}=9 + 25=34$，$(\sqrt{34})^{2}=34$，所以$3$，$5$，$\sqrt{34}$能作为直角三角形的三边长。
（3）因为$3k＜4k＜5k$（$k$是正整数），又因为$(3k)^{2}+(4k)^{2}=9k^{2}+16k^{2}=25k^{2}$，$(5k)^{2}=25k^{2}$，所以$3k$，$4k$，$5k$能作为直角三角形的三边长。
2. 如图,三个正方形的面积分别为$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$。若$S_{1}= 5$,$S_{2}= 4$,$S_{3}= 9$,则$\triangle ABC$是直角三角形吗？为什么？
答案
$\triangle ABC$为直角三角形。理由如下：因为$S_{1}=5,S_{2}=4,S_{3}=9$，所以$S_{1}+S_{2}=S_{3}$，即$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$\triangle ABC$为直角三角形。
解析
$\triangle ABC$是直角三角形。理由如下：
因为$S_{1}=5$，$S_{2}=4$，$S_{3}=9$，所以$S_{1}+S_{2}=5+4=9=S_{3}$。
由正方形面积公式可知，$S_{1}=AC^{2}$，$S_{2}=BC^{2}$，$S_{3}=AB^{2}$，
因此$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形。
因为$S_{1}=5$，$S_{2}=4$，$S_{3}=9$，所以$S_{1}+S_{2}=5+4=9=S_{3}$。
由正方形面积公式可知，$S_{1}=AC^{2}$，$S_{2}=BC^{2}$，$S_{3}=AB^{2}$，
因此$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形。
3. 若三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,且满足$(a + b)^{2}-c^{2}= 2ab$,则此三角形中最大的角是(
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.无法确定
B
)。A.锐角
B.直角
C.钝角
D.无法确定
答案
B
解析
$(a + b)^{2}-c^{2}= 2ab$
展开得$a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=2ab$
化简得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
根据勾股定理逆定理，此三角形为直角三角形，最大角为直角。
B
展开得$a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=2ab$
化简得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
根据勾股定理逆定理，此三角形为直角三角形，最大角为直角。
B
4. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$上一点,$AB = 20$,$BD = 16$,$DC = 9$,$AD = 12$。找出图中所有的直角,并说明理由。
答案
直角有$\angle ADB,\angle ADC,\angle BAC$。理由如下：由$AB=20,BD=16,AD=12$，得$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，所以$\angle ADB=90^{\circ}$。由此可得$\angle ADC=90^{\circ}$。所以$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$。所以$AC^{2}+BA^{2}=CB^{2}$，所以$\angle BAC=90^{\circ}$。
解析
直角有$\angle ADB$，$\angle ADC$，$\angle BAC$。理由如下：
在$\triangle ABD$中，$AD=12$，$BD=16$，$AB=20$。
因为$AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+16^{2}=144 + 256=400$，$AB^{2}=20^{2}=400$，所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，故$\angle ADB=90^{\circ}$。
因为$\angle ADB+\angle ADC=180^{\circ}$，所以$\angle ADC=180^{\circ}-\angle ADB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，$AD=12$，$DC=9$，$\angle ADC=90^{\circ}$，所以$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$。
在$\triangle ABC$中，$AB=20$，$AC=15$，$BC=BD + DC=16 + 9=25$。
因为$AC^{2}+AB^{2}=15^{2}+20^{2}=225 + 400=625$，$BC^{2}=25^{2}=625$，所以$AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}$，故$\angle BAC=90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$AD=12$，$BD=16$，$AB=20$。
因为$AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+16^{2}=144 + 256=400$，$AB^{2}=20^{2}=400$，所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，故$\angle ADB=90^{\circ}$。
因为$\angle ADB+\angle ADC=180^{\circ}$，所以$\angle ADC=180^{\circ}-\angle ADB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，$AD=12$，$DC=9$，$\angle ADC=90^{\circ}$，所以$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$。
在$\triangle ABC$中，$AB=20$，$AC=15$，$BC=BD + DC=16 + 9=25$。
因为$AC^{2}+AB^{2}=15^{2}+20^{2}=225 + 400=625$，$BC^{2}=25^{2}=625$，所以$AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}$，故$\angle BAC=90^{\circ}$。
5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 13\ cm$,$D是AC$上一点,$DC = 1\ cm$,$BD = 5\ cm$。求$\triangle ABC$的面积。
答案
由已知，$AD=AC - CD=13 - 1=12(cm)$。又因为$AB=13cm,BD=5cm$，所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，所以$\angle ADB=90^{\circ}$。所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{65}{2}cm^{2}$。
解析
$AD=AC - CD=13 - 1=12\ cm$
$AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=144 + 25=169=13^{2}=AB^{2}$
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×13×5=\frac{65}{2}\ cm^{2}$
$AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=144 + 25=169=13^{2}=AB^{2}$
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×13×5=\frac{65}{2}\ cm^{2}$
