6. (多选题)在$\triangle ABC$中,$P为边BC$上一点,且$PB = PC$。下列条件能使$\triangle ABC$为直角三角形的是()。
A.$∠BAP = ∠ABP$
B.$AP = PC$
C.$∠PAC = ∠B$
D.$AP⊥BC$

AB

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,点$D$,$E分别在边AC$,$AB$上。若$∠B = ∠ADE$,有下列说法：
①$∠AED = 90^{\circ}$；②$∠A与∠ADE$互为余角；
③$BC = BE$；④$∠CDE与∠B$互为补角。
其中说法正确的有。

①②④

在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，则$\angle A+\angle B=90^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，$\angle A+\angle ADE+\angle AED=180^{\circ}$，因为$\angle B=\angle ADE$，所以$\angle A+\angle B+\angle AED=180^{\circ}$，即$90^{\circ}+\angle AED=180^{\circ}$，可得$\angle AED=90^{\circ}$，故①正确；
因为$\angle A+\angle B=90^{\circ}$且$\angle B=\angle ADE$，所以$\angle A+\angle ADE=90^{\circ}$，即$\angle A$与$\angle ADE$互为余角，故②正确；
仅由已知条件无法得出$BC=BE$，故③错误；
因为$\angle AED=90^{\circ}$，所以$\angle BED=90^{\circ}$，在四边形$CDEB$中，$\angle C+\angle CDE+\angle DEB+\angle B=360^{\circ}$，即$90^{\circ}+\angle CDE+90^{\circ}+\angle B=360^{\circ}$，可得$\angle CDE+\angle B=180^{\circ}$，即$\angle CDE$与$\angle B$互为补角，故④正确。
①②④

8. 已知：如图,$AD$,$BF分别是\triangle ABC$的高线与角平分线,$BF与AD交于点E$,$∠1 = ∠2$。求证：$\triangle ABC$是直角三角形。

因为∠1=∠2,∠1=∠BED,所以∠2=∠BED。因为BF平分∠ABC,所以∠ABF=∠CBF。因为AD⊥BC,所以∠CBF+∠BED=90°。所以∠ABF+∠2=90°,即△ABC为直角三角形。

证明：
∵∠1=∠2，∠1=∠BED（对顶角相等），
∴∠2=∠BED。
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF。
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠CBF+∠BED=90°（直角三角形两锐角互余）。
∴∠ABF+∠2=90°，即∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形。

9. 如图,已知$∠AON = 60^{\circ}$,$AO = 10$,$P是射线ON$上一动点。
(1)当$OP = $时,$\triangle AOP$为直角三角形。
(2)设$OP = x$,则$x$满足时,$\triangle AOP$为钝角三角形。

(1)5或20
(2)0＜x＜5或x＞20