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1. 在$\triangle ABC$中,已知$∠A = ∠B + ∠C$,则$∠A$的度数为
90°
,$\triangle ABC$是直角
三角形。答案
90°;直角
解析
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$。
因为$\angle A = \angle B + \angle C$，所以将其代入上式可得：
$\angle A + \angle A = 180°$
$2\angle A = 180°$
$\angle A = 90°$
所以$\triangle ABC$是直角三角形。
90°;直角
因为$\angle A = \angle B + \angle C$，所以将其代入上式可得：
$\angle A + \angle A = 180°$
$2\angle A = 180°$
$\angle A = 90°$
所以$\triangle ABC$是直角三角形。
90°;直角
2. 在$\triangle ABC$中,若$∠A = \frac{1}{2}∠B = \frac{1}{3}∠C$,则$\triangle ABC$是(
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
B
)。A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
B
解析
设$\angle A = x$，则$\angle B = 2x$，$\angle C = 3x$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，
$6x = 180°$，
$x = 30°$，
$\angle C = 3x = 90°$，
故$\triangle ABC$是直角三角形。
B
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，
$6x = 180°$，
$x = 30°$，
$\angle C = 3x = 90°$，
故$\triangle ABC$是直角三角形。
B
3. 如果一个三角形的一个顶点是它的三条高线的交点,那么这个三角形是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
B
)。A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
B
4. 已知：如图,在$\triangle ABC$中,$AD⊥BC于点D$,$∠1 = ∠B$。求证：$\triangle ABC$为直角三角形。
答案
因为AD⊥BC,所以∠1+∠C=90°。又因为∠1=∠B,所以∠B+∠C=90°,所以△ABC为直角三角形。
解析
证明：
∵ $AD \perp BC$，
∴ $\angle ADC = 90°$，
∴ $\angle 1 + \angle C = 90°$。
∵ $\angle 1 = \angle B$，
∴ $\angle B + \angle C = 90°$。
∵ 在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，
∴ $\angle A = 180° - (\angle B + \angle C) = 180° - 90° = 90°$。
∴ $\triangle ABC$为直角三角形。
∵ $AD \perp BC$，
∴ $\angle ADC = 90°$，
∴ $\angle 1 + \angle C = 90°$。
∵ $\angle 1 = \angle B$，
∴ $\angle B + \angle C = 90°$。
∵ 在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，
∴ $\angle A = 180° - (\angle B + \angle C) = 180° - 90° = 90°$。
∴ $\triangle ABC$为直角三角形。
5. 已知命题：“若一个三角形三个内角的度数之比为$3:4:5$,则这个三角形是直角三角形。”判断这个命题的真假,并说明理由。
答案
假命题。理由如下:设△ABC的三个内角为∠A,∠B,∠C,且∠A:∠B:∠C =3:4:5,得∠C=75°,所以△ABC为锐角三角形。
解析
假命题。理由如下：设三角形三个内角的度数分别为$3x$，$4x$，$5x$。根据三角形内角和定理，得$3x + 4x + 5x = 180°$，解得$x = 15°$。则三个内角的度数分别为$3×15° = 45°$，$4×15° = 60°$，$5×15° = 75°$。因为三个角都小于$90°$，所以这个三角形是锐角三角形，不是直角三角形。
