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1 新情境 地域特色 [2025 山东]某班学生到山东博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了分别以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品,每位同学可从中随机抽取一款作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等,则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是 (
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A
)A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
1. A
解析
【分析】
本题属于两步独立随机试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确甲、乙两位同学抽取文创产品的过程互不影响，且抽到每款文创的可能性相等，属于等可能事件；我们可以通过列表法或枚举法列出所有等可能的抽取结果，再从中找出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数，最后代入等可能事件的概率公式即可算出结果。
【解析】
我们将三款文创产品分别记为：A（亚醜钺）、B（蛋壳黑陶杯）、C（颂簋）。
甲、乙两位同学抽取的所有等可能结果如下：
(A,A)、(A,B)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)
总共有$3×3=9$种等可能的结果，其中甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果只有(A,A)这1种。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 列表法求两步试验概率
【点评】
本题结合地域特色文创的新情境考查概率基础计算，题干信息清晰，解题核心是准确列举所有等可能的抽取结果，属于概率模块的基础常规题型，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
本题属于两步独立随机试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确甲、乙两位同学抽取文创产品的过程互不影响，且抽到每款文创的可能性相等，属于等可能事件；我们可以通过列表法或枚举法列出所有等可能的抽取结果，再从中找出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数，最后代入等可能事件的概率公式即可算出结果。
【解析】
我们将三款文创产品分别记为：A（亚醜钺）、B（蛋壳黑陶杯）、C（颂簋）。
甲、乙两位同学抽取的所有等可能结果如下：
(A,A)、(A,B)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)
总共有$3×3=9$种等可能的结果，其中甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果只有(A,A)这1种。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 列表法求两步试验概率
【点评】
本题结合地域特色文创的新情境考查概率基础计算，题干信息清晰，解题核心是准确列举所有等可能的抽取结果，属于概率模块的基础常规题型，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
2 从$-1,2,3,-6$这四个数中任取两个数，分别记为$m,n$，则点$(m,n)$在函数$y=\frac{6}{x}$的图象上的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们按照概率的计算逻辑逐步推导即可：首先明确概率公式为“符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先确定从4个数中任取两个不同的数作为m、n（点的坐标是有序的，m和n顺序不同对应不同的点），计算出所有等可能的点的总个数；第二步回忆反比例函数图象上点的坐标特征：若点(m,n)在$y=\frac{6}{x}$的图象上，则满足$mn=6$，据此找出所有符合条件的点的个数；最后代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
首先列举所有等可能的$(m,n)$结果：从$-1,2,3,-6$四个数中任取两个不同的数，有序的点共有以下12种：
$(-1,2)、(-1,3)、(-1,-6)、(2,-1)、(2,3)、(2,-6)、(3,-1)、(3,2)、(3,-6)、(-6,-1)、(-6,2)、(-6,3)$
接下来根据反比例函数图象上点的坐标特征，若点$(m,n)$在$y=\frac{6}{x}$上，则$mn=6$，逐一验证可得：
$(-1)×(-6)=6$，$2×3=6$，$3×2=6$，$(-6)×(-1)=6$，符合条件的点共有4种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 反比例函数图象上点的坐标特征 3. 概率公式
【点评】
本题将反比例函数的性质与概率计算相结合，解题时需注意点的坐标是有序的，避免计数时出现重复或遗漏的错误，只要熟练掌握概率的计算步骤和反比例函数的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们按照概率的计算逻辑逐步推导即可：首先明确概率公式为“符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先确定从4个数中任取两个不同的数作为m、n（点的坐标是有序的，m和n顺序不同对应不同的点），计算出所有等可能的点的总个数；第二步回忆反比例函数图象上点的坐标特征：若点(m,n)在$y=\frac{6}{x}$的图象上，则满足$mn=6$，据此找出所有符合条件的点的个数；最后代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
首先列举所有等可能的$(m,n)$结果：从$-1,2,3,-6$四个数中任取两个不同的数，有序的点共有以下12种：
$(-1,2)、(-1,3)、(-1,-6)、(2,-1)、(2,3)、(2,-6)、(3,-1)、(3,2)、(3,-6)、(-6,-1)、(-6,2)、(-6,3)$
接下来根据反比例函数图象上点的坐标特征，若点$(m,n)$在$y=\frac{6}{x}$上，则$mn=6$，逐一验证可得：
$(-1)×(-6)=6$，$2×3=6$，$3×2=6$，$(-6)×(-1)=6$，符合条件的点共有4种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 反比例函数图象上点的坐标特征 3. 概率公式
【点评】
本题将反比例函数的性质与概率计算相结合，解题时需注意点的坐标是有序的，避免计数时出现重复或遗漏的错误，只要熟练掌握概率的计算步骤和反比例函数的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
2025 广西从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为
答案
3. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路如下：第一步，先明确从3个数字中任选两个的所有等可能结果，可通过列举法完整列出；第二步，根据“和为偶数”的要求筛选符合条件的结果，两数之和为偶数的本质是两个数同为奇数或同为偶数，本题中仅3和5都是奇数，相加和为偶数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算最终结果。
【解析】
首先列举从3、4、5三个数字中任选两个的所有等可能情况：
1. 选3和4，两数之和为$3+4=7$，是奇数；
2. 选3和5，两数之和为$3+5=8$，是偶数；
3. 选4和5，两数之和为$4+5=9$，是奇数。
综上，所有等可能的结果共有3种，其中两个数字之和为偶数的结果有1种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 古典概型计算
3. 有理数加法性质
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查用列举法求解简单概率的能力，解题的关键是不重不漏地列出所有等可能的事件结果，再结合题意筛选出满足条件的结果代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路如下：第一步，先明确从3个数字中任选两个的所有等可能结果，可通过列举法完整列出；第二步，根据“和为偶数”的要求筛选符合条件的结果，两数之和为偶数的本质是两个数同为奇数或同为偶数，本题中仅3和5都是奇数，相加和为偶数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算最终结果。
【解析】
首先列举从3、4、5三个数字中任选两个的所有等可能情况：
1. 选3和4，两数之和为$3+4=7$，是奇数；
2. 选3和5，两数之和为$3+5=8$，是偶数；
3. 选4和5，两数之和为$4+5=9$，是奇数。
综上，所有等可能的结果共有3种，其中两个数字之和为偶数的结果有1种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 古典概型计算
3. 有理数加法性质
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查用列举法求解简单概率的能力，解题的关键是不重不漏地列出所有等可能的事件结果，再结合题意筛选出满足条件的结果代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
4 新情境科技创新[2025大庆]2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同学从“豆包”“腾讯元宝”“即梦AI”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为
$\frac{1}{6}$
.答案
4. $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确事件类型：从4种软件中随机选2种，每种选取结果出现的可能性相等，属于古典概型，可使用公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$计算。第一步先列举出所有不重复的选取两种软件的结果，得到总结果数；第二步找出符合“选取的两种为豆包和腾讯元宝”的结果数；最后代入公式计算即可，注意列举时不考虑选取顺序，避免重复计数。
【解析】
设“豆包”记为A，“腾讯元宝”记为B，“即梦AI”记为C，“文心一言”记为D。
从四种软件中随机选取两种的所有等可能结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的结果只有AB这1种。
根据概率计算公式得：$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型计算、列举法求概率
【点评】
本题结合AI大模型的热点新情境考查概率基础计算，解题的核心是准确列举所有等可能结果，避免重复或遗漏，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确事件类型：从4种软件中随机选2种，每种选取结果出现的可能性相等，属于古典概型，可使用公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$计算。第一步先列举出所有不重复的选取两种软件的结果，得到总结果数；第二步找出符合“选取的两种为豆包和腾讯元宝”的结果数；最后代入公式计算即可，注意列举时不考虑选取顺序，避免重复计数。
【解析】
设“豆包”记为A，“腾讯元宝”记为B，“即梦AI”记为C，“文心一言”记为D。
从四种软件中随机选取两种的所有等可能结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的结果只有AB这1种。
根据概率计算公式得：$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型计算、列举法求概率
【点评】
本题结合AI大模型的热点新情境考查概率基础计算，解题的核心是准确列举所有等可能结果，避免重复或遗漏，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
5 [2024 河北]甲、乙、丙三张卡片正面分别写有$a+b,2a+b,a-b$，除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1,b=-2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次抽取的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1,b=-2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次抽取的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
答案
5. (1) 当$a=1,b=-2$时,$a+b=-1,2a+b=0,a-b=3$. 从三张卡片中随机抽取一张,共有3种等可能的结果,其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种,$\therefore P$(取出的卡片上代数式的值为负数)$=\frac{1}{3}$
(2) 补全表格如下：
| 第一次\第二次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
由表格,可知共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有4种,$\therefore P$(和为单项式)$=\frac{4}{9}$
(2) 补全表格如下：
| 第一次\第二次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
由表格,可知共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有4种,$\therefore P$(和为单项式)$=\frac{4}{9}$
解析
【分析】
（1）第一问先将$a=1,b=-2$分别代入三个代数式计算出对应的值，统计值为负数的结果数量，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
（2）第二问是放回抽取试验，两次抽取各有3种可能，共9种等可能结果。首先按整式加法规则计算出表格中缺失的两次代数式之和并化简，再判断哪些和是单项式，统计符合条件的结果数，最后代入概率公式计算概率。
【解析】
（1）当$a=1,b=-2$时，分别计算三个代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，
$2a+b=2×1+(-2)=0$，
$a-b=1-(-2)=3$。
从三张卡片中随机抽取1张，共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果有1种，
因此$P(\mathrm{取出的卡片上代数式的值为负数})=\frac{1}{3}$。
（2）根据整式加法计算两次抽取代数式的和，补全表格如下：
| 第一次\第二次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有4种，
因此$P(\mathrm{和为单项式})=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 补全表格见解析，和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$
【知识点】
代数式求值，概率计算，单项式的判断
【点评】
本题将整式运算与概率计算相结合，考查了列表法求解两步试验的概率，解题时需要注意放回抽取的试验特点，同时要准确掌握单项式的概念，正确判断符合条件的结果，避免因判断失误导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先将$a=1,b=-2$分别代入三个代数式计算出对应的值，统计值为负数的结果数量，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
（2）第二问是放回抽取试验，两次抽取各有3种可能，共9种等可能结果。首先按整式加法规则计算出表格中缺失的两次代数式之和并化简，再判断哪些和是单项式，统计符合条件的结果数，最后代入概率公式计算概率。
【解析】
（1）当$a=1,b=-2$时，分别计算三个代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，
$2a+b=2×1+(-2)=0$，
$a-b=1-(-2)=3$。
从三张卡片中随机抽取1张，共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果有1种，
因此$P(\mathrm{取出的卡片上代数式的值为负数})=\frac{1}{3}$。
（2）根据整式加法计算两次抽取代数式的和，补全表格如下：
| 第一次\第二次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有4种，
因此$P(\mathrm{和为单项式})=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 补全表格见解析，和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$
【知识点】
代数式求值，概率计算，单项式的判断
【点评】
本题将整式运算与概率计算相结合，考查了列表法求解两步试验的概率，解题时需要注意放回抽取的试验特点，同时要准确掌握单项式的概念，正确判断符合条件的结果，避免因判断失误导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
