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8 [2024龙东地区]七年级(1)班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是
$\frac{3}{5}$
。答案
8. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
本题考查不放回抽取的概率计算，解题思路如下：第一步，先对所有学生编号区分，方便后续列举结果；第二步，用树状图（或列表法）列举出抽取两名学生的所有等可能结果，注意抽取为不放回形式，第二次抽取的可选人数比第一次少1；第三步，统计出恰好抽到1名男生和1名女生的结果数；第四步，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
设2名男生记为男₁、男₂，3名女生记为女₁、女₂、女₃。
采用树状图法分析：第一次抽取有5种可选结果，第二次抽取时已选走1人，剩余4种可选结果，因此所有等可能的抽取结果共有$5×4=20$种。
其中恰好选到1名男生和1名女生的结果分为两类：①先抽男生、后抽女生，共$2×3=6$种；②先抽女生、后抽男生，共$3×2=6$种，合计符合条件的结果有$6+6=12$种。
根据概率公式计算：
$P(\mathrm{恰好1名男生1名女生})=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
（也可采用不考虑顺序的组合计数：从5人中选2人的不重复组合共10种，其中1男1女的组合有$2×3=6$种，计算得概率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，结果一致。）
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
1. 树状图法求概率
2. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，核心是准确列举所有等可能的结果，解题时要注意区分放回抽取和不放回抽取的差异，避免出现结果重复或遗漏的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查不放回抽取的概率计算，解题思路如下：第一步，先对所有学生编号区分，方便后续列举结果；第二步，用树状图（或列表法）列举出抽取两名学生的所有等可能结果，注意抽取为不放回形式，第二次抽取的可选人数比第一次少1；第三步，统计出恰好抽到1名男生和1名女生的结果数；第四步，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
设2名男生记为男₁、男₂，3名女生记为女₁、女₂、女₃。
采用树状图法分析：第一次抽取有5种可选结果，第二次抽取时已选走1人，剩余4种可选结果，因此所有等可能的抽取结果共有$5×4=20$种。
其中恰好选到1名男生和1名女生的结果分为两类：①先抽男生、后抽女生，共$2×3=6$种；②先抽女生、后抽男生，共$3×2=6$种，合计符合条件的结果有$6+6=12$种。
根据概率公式计算：
$P(\mathrm{恰好1名男生1名女生})=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
（也可采用不考虑顺序的组合计数：从5人中选2人的不重复组合共10种，其中1男1女的组合有$2×3=6$种，计算得概率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，结果一致。）
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
1. 树状图法求概率
2. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，核心是准确列举所有等可能的结果，解题时要注意区分放回抽取和不放回抽取的差异，避免出现结果重复或遗漏的错误。
【难度系数】
0.7
9 [2025潍坊]如图，小莹对三个相连的方格进行涂色.在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率为
$\frac{1}{4}$
.答案
9. $\frac{1}{4}$
【解析】画树状图如图所示
.由树状图,可知对三个相连的方格进行“红、蓝”涂色共有8种等可能的结果,其中相邻两个方格所涂颜色不同的结果有2种:(红,蓝,红),(蓝,红,蓝),∴ P(相邻两个方格所涂颜色不同)=$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
这是涉及三步独立操作的概率求解问题，每一步涂色都有红、蓝2种等可能的选择。我们可以通过画树状图的方法，不重不漏地列举出所有等可能的涂色结果，再从中筛选出“相邻两个方格颜色不同”的结果，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
画树状图如图所示。
由树状图可知，对三个相连的方格进行红、蓝两色涂色，共有8种等可能的结果，其中满足相邻两个方格所涂颜色不同的结果有2种：（红，蓝，红）、（蓝，红，蓝）。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{相邻两个方格所涂颜色不同})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 树状图法 2. 概率公式 3. 列举法
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是通过树状图清晰列举所有等可能的结果，再准确筛选符合要求的结果代入公式计算，考查学生对基础概率求解方法的掌握情况。
【难度系数】
0.7
这是涉及三步独立操作的概率求解问题，每一步涂色都有红、蓝2种等可能的选择。我们可以通过画树状图的方法，不重不漏地列举出所有等可能的涂色结果，再从中筛选出“相邻两个方格颜色不同”的结果，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
画树状图如图所示
。由树状图可知，对三个相连的方格进行红、蓝两色涂色，共有8种等可能的结果，其中满足相邻两个方格所涂颜色不同的结果有2种：（红，蓝，红）、（蓝，红，蓝）。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{相邻两个方格所涂颜色不同})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 树状图法 2. 概率公式 3. 列举法
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是通过树状图清晰列举所有等可能的结果，再准确筛选符合要求的结果代入公式计算，考查学生对基础概率求解方法的掌握情况。
【难度系数】
0.7
10 新情境 环境保护 为落实“垃圾分类”，某小区要求垃圾按A，B，C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾；乙投放了两袋不同类的垃圾.
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的概率.
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的概率.
答案
10. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 画树状图如图所示
.由树状图,可知甲、乙投放的垃圾共有18种等可能的结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种,∴ P(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类)=$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$
解析
【分析】
（1）甲投放垃圾时，共有A、B、C三类垃圾可选，且选择每一类的可能性相等，恰好选A类的情况只有1种，直接利用概率公式即可求解。
（2）该问题涉及两个主体的投放选择，属于多步试验的概率问题，可通过树状图列举出所有等可能的结果，再从中找出“乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）甲投放垃圾共有3种等可能的结果，其中恰好投放A类垃圾的结果有1种，
因此甲投放的垃圾恰好是A类的概率为 $\frac{1}{3}$。
（2）根据题意画树状图如图所示：
由树状图可得，甲、乙投放垃圾的等可能结果总共有18种，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种，
因此所求概率为 $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图所示。由树状图,可知甲、乙投放的垃圾共有18种等可能的结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种,
∴ P(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类)=$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率
【点评】
本题结合垃圾分类的热点生活情境考查概率的求解，第一问是基础的一步概率计算，第二问考查用树状图解决多步试验的概率问题，既考查了概率相关的基础知识点，也引导学生关注数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
（1）甲投放垃圾时，共有A、B、C三类垃圾可选，且选择每一类的可能性相等，恰好选A类的情况只有1种，直接利用概率公式即可求解。
（2）该问题涉及两个主体的投放选择，属于多步试验的概率问题，可通过树状图列举出所有等可能的结果，再从中找出“乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）甲投放垃圾共有3种等可能的结果，其中恰好投放A类垃圾的结果有1种，
因此甲投放的垃圾恰好是A类的概率为 $\frac{1}{3}$。
（2）根据题意画树状图如图所示
：由树状图可得，甲、乙投放垃圾的等可能结果总共有18种，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种，
因此所求概率为 $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图所示
。由树状图,可知甲、乙投放的垃圾共有18种等可能的结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种,∴ P(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类)=$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率
【点评】
本题结合垃圾分类的热点生活情境考查概率的求解，第一问是基础的一步概率计算，第二问考查用树状图解决多步试验的概率问题，既考查了概率相关的基础知识点，也引导学生关注数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
11 [2025 沭阳段考]一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1,2,3,4，这些小球除编号外都相同.
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是4的概率为
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率(用画树状图的方法说明).
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是4的概率为
$\frac{1}{4}$
.（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率(用画树状图的方法说明).
答案
11. (1) $\frac{1}{4}$ (2) 画树状图如图所示
.由树状图,可知一共有 16 种等可能的结果,其中第 2 次摸到的小球编号比第 1 次摸到的小球编号大2的结果有2种,∴ P(第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2)=$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$
解析
【分析】
（1）第一问为单次摸球的等可能事件概率计算，先明确所有等可能的结果总数，以及符合“编号是4”的结果数，直接代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
（2）第二问是有放回的两次摸球试验，两次摸球结果相互独立，通过画树状图可以不重不漏地列出所有等可能的结果，再从中筛选出“第二次摸到的编号比第一次大2”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）搅匀后任意摸出1个球，总共有4种等可能的结果，其中摸到编号为4的结果只有1种，因此这个球的编号是4的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）根据题意画出树状图，由树状图可知，两次摸球一共有16种等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次大2的结果有：第一次摸1第二次摸3、第一次摸2第二次摸4，共2种，因此可得对应概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示。由树状图，可知一共有 16 种等可能的结果，其中第 2 次摸到的小球编号比第 1 次摸到的小球编号大2的结果有2种，
∴ P(第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2)=$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，放回型试验概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问考查单次试验的简单概率计算，第二问考查用树状图解决有放回的两次试验概率问题，树状图可以直观清晰地列举所有等可能结果，是解决多步概率问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
（1）第一问为单次摸球的等可能事件概率计算，先明确所有等可能的结果总数，以及符合“编号是4”的结果数，直接代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
（2）第二问是有放回的两次摸球试验，两次摸球结果相互独立，通过画树状图可以不重不漏地列出所有等可能的结果，再从中筛选出“第二次摸到的编号比第一次大2”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）搅匀后任意摸出1个球，总共有4种等可能的结果，其中摸到编号为4的结果只有1种，因此这个球的编号是4的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）根据题意画出树状图
，由树状图可知，两次摸球一共有16种等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次大2的结果有：第一次摸1第二次摸3、第一次摸2第二次摸4，共2种，因此可得对应概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示
。由树状图，可知一共有 16 种等可能的结果，其中第 2 次摸到的小球编号比第 1 次摸到的小球编号大2的结果有2种，∴ P(第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2)=$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，放回型试验概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问考查单次试验的简单概率计算，第二问考查用树状图解决有放回的两次试验概率问题，树状图可以直观清晰地列举所有等可能结果，是解决多步概率问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
