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1 [2025 齐齐哈尔]假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查两次独立试验下的概率计算，解题思路如下：首先明确每枚鸟卵孵化出雄鸟、雌鸟是等可能事件，且两次孵化结果互不影响；我们可以通过树状图法梳理出所有等可能的孵化结果，再找出“2只雏鸟都是雄鸟”的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总等可能情况数”计算即可。
【解析】
用树状图法梳理所有孵化结果：
第一步，第一枚鸟卵孵化，有2种等可能结果：雄鸟、雌鸟；
第二步，第二枚鸟卵孵化，与第一枚结果无关，也有2种等可能结果：雄鸟、雌鸟。
绘制树状图如下：
```
第一枚 第二枚 总结果
雄 ── 雄 → （雄，雄）
└─ 雌 → （雄，雌）
雌 ── 雄 → （雌，雄）
└─ 雌 → （雌，雌）
```
由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，独立事件概率
【点评】
本题是概率常考基础题型，解题核心是准确梳理所有等可能的试验结果，避免出现将“雄雌”和“雌雄”误认为同一种结果的错误，掌握树状图法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查两次独立试验下的概率计算，解题思路如下：首先明确每枚鸟卵孵化出雄鸟、雌鸟是等可能事件，且两次孵化结果互不影响；我们可以通过树状图法梳理出所有等可能的孵化结果，再找出“2只雏鸟都是雄鸟”的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总等可能情况数”计算即可。
【解析】
用树状图法梳理所有孵化结果：
第一步，第一枚鸟卵孵化，有2种等可能结果：雄鸟、雌鸟；
第二步，第二枚鸟卵孵化，与第一枚结果无关，也有2种等可能结果：雄鸟、雌鸟。
绘制树状图如下：
```
第一枚 第二枚 总结果
雄 ── 雄 → （雄，雄）
└─ 雌 → （雄，雌）
雌 ── 雄 → （雌，雄）
└─ 雌 → （雌，雌）
```
由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，独立事件概率
【点评】
本题是概率常考基础题型，解题核心是准确梳理所有等可能的试验结果，避免出现将“雄雌”和“雌雄”误认为同一种结果的错误，掌握树状图法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2 [2025 福建]在三张分别写有－1,1,2 的相同卡片中,不放回地随机抽取两张,这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是 （
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题是两步不放回试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确等可能事件的概率公式为$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$；接下来我们可以通过列举法找出不放回抽取两张卡片的所有等可能结果，再从中筛选出两张卡片数字互为相反数的结果，最后代入公式计算概率即可，注意不要错算成有放回抽取的情况。
【解析】
我们用列举法列出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果：
所有可能的抽取结果（考虑抽取顺序）为：$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,-1)$、$(1,2)$、$(2,-1)$、$(2,1)$，共6种等可能的结果。
其中两张卡片上的数互为相反数的结果为$(-1,1)$、$(1,-1)$，共2种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片数字恰好互为相反数})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
（也可通过不考虑顺序的组合计算：总共有3种等可能组合$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,2)$，符合条件的仅1种，概率为$\frac{1}{3}$，结果一致）
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；相反数的定义；不放回抽样概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是准确列举出所有不放回抽取的等可能结果，同时正确识别互为相反数的数对，计算时要注意区分放回和不放回抽取的差异，避免算错总情况数。
【难度系数】
0.8
本题是两步不放回试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确等可能事件的概率公式为$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$；接下来我们可以通过列举法找出不放回抽取两张卡片的所有等可能结果，再从中筛选出两张卡片数字互为相反数的结果，最后代入公式计算概率即可，注意不要错算成有放回抽取的情况。
【解析】
我们用列举法列出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果：
所有可能的抽取结果（考虑抽取顺序）为：$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,-1)$、$(1,2)$、$(2,-1)$、$(2,1)$，共6种等可能的结果。
其中两张卡片上的数互为相反数的结果为$(-1,1)$、$(1,-1)$，共2种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片数字恰好互为相反数})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
（也可通过不考虑顺序的组合计算：总共有3种等可能组合$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,2)$，符合条件的仅1种，概率为$\frac{1}{3}$，结果一致）
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；相反数的定义；不放回抽样概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是准确列举出所有不放回抽取的等可能结果，同时正确识别互为相反数的数对，计算时要注意区分放回和不放回抽取的差异，避免算错总情况数。
【难度系数】
0.8
3 新情境游戏活动 甲、乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是
$\frac{1}{3}$
。答案
3. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确“石头、剪子、布”游戏中，甲、乙两人的出手都有3种等可能的选择，我们需要先统计出所有等可能的结果总数，再找出其中甲获胜的结果数，最后根据概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可。
【解析】
首先计算所有等可能的结果总数：甲的出手有石头、剪刀、布3种，乙的出手也有石头、剪刀、布3种，因此总共有 $3 × 3 = 9$ 种等可能的结果。
再统计甲获胜的结果数：甲获胜的情况共3种，分别是①甲出石头、乙出剪刀；②甲出剪刀、乙出布；③甲出布、乙出石头。
根据概率公式可得，甲获胜的概率 $P = \frac{\mathrm{甲获胜的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率公式
【点评】
本题结合生活中常见的游戏情境考查概率的基础计算，解题的关键是准确找出所有等可能的结果以及符合要求的结果，是概率部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确“石头、剪子、布”游戏中，甲、乙两人的出手都有3种等可能的选择，我们需要先统计出所有等可能的结果总数，再找出其中甲获胜的结果数，最后根据概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可。
【解析】
首先计算所有等可能的结果总数：甲的出手有石头、剪刀、布3种，乙的出手也有石头、剪刀、布3种，因此总共有 $3 × 3 = 9$ 种等可能的结果。
再统计甲获胜的结果数：甲获胜的情况共3种，分别是①甲出石头、乙出剪刀；②甲出剪刀、乙出布；③甲出布、乙出石头。
根据概率公式可得，甲获胜的概率 $P = \frac{\mathrm{甲获胜的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率公式
【点评】
本题结合生活中常见的游戏情境考查概率的基础计算，解题的关键是准确找出所有等可能的结果以及符合要求的结果，是概率部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
4 [2024武汉]经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同。
若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆汽车向右转的概率是
若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆汽车向右转的概率是
$\frac{5}{9}$
。答案
4. $\frac{5}{9}$
解析
【分析】
这是一道两次试验的等可能概率计算问题，求解“至少有一辆汽车向右转”的概率有两种思路：一是用列表法或树状图法列举出两辆汽车经过路口的所有等可能结果，再统计出至少有一辆右转的结果数，代入概率公式计算；二是利用“对立事件概率和为1”的性质，先计算“两辆汽车都不右转”的概率，再用1减去该概率得到所求结果，第二种方法计算更简便，不容易出错。
【解析】
解法一：对立事件法
已知每辆汽车经过路口有左转、直行、右转3种等可能的选择。
1. 计算总等可能结果数：两辆汽车的行驶方向组合共有 $3×3=9$ 种，每种结果出现的可能性相等。
2. 计算对立事件结果数：“至少一辆向右转”的对立事件为“两辆汽车都不向右转”，此时每辆车只有左转、直行2种选择，共有 $2×2=4$ 种结果。
3. 计算概率：两辆汽车都不右转的概率为 $\frac{4}{9}$，因此至少一辆汽车向右转的概率为 $1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。
解法二：树状图法
画树状图如下：
```
第一辆车： 左 直 右
/ | \ / | \ / | \
第二辆车： 左 直 右 左 直 右 左 直 右
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中至少有一辆向右转的结果有（左，右）、（直，右）、（右，左）、（右，直）、（右，右）共5种，因此所求概率为 $\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率，对立事件概率
【点评】
本题是概率计算的常规题型，处理“至少”“至多”类概率问题时，优先考虑用对立事件简化计算，同时要熟练掌握树状图或列表法枚举所有等可能结果，避免计数时漏算或重复计算。
【难度系数】
0.7
这是一道两次试验的等可能概率计算问题，求解“至少有一辆汽车向右转”的概率有两种思路：一是用列表法或树状图法列举出两辆汽车经过路口的所有等可能结果，再统计出至少有一辆右转的结果数，代入概率公式计算；二是利用“对立事件概率和为1”的性质，先计算“两辆汽车都不右转”的概率，再用1减去该概率得到所求结果，第二种方法计算更简便，不容易出错。
【解析】
解法一：对立事件法
已知每辆汽车经过路口有左转、直行、右转3种等可能的选择。
1. 计算总等可能结果数：两辆汽车的行驶方向组合共有 $3×3=9$ 种，每种结果出现的可能性相等。
2. 计算对立事件结果数：“至少一辆向右转”的对立事件为“两辆汽车都不向右转”，此时每辆车只有左转、直行2种选择，共有 $2×2=4$ 种结果。
3. 计算概率：两辆汽车都不右转的概率为 $\frac{4}{9}$，因此至少一辆汽车向右转的概率为 $1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。
解法二：树状图法
画树状图如下：
```
第一辆车： 左 直 右
/ | \ / | \ / | \
第二辆车： 左 直 右 左 直 右 左 直 右
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中至少有一辆向右转的结果有（左，右）、（直，右）、（右，左）、（右，直）、（右，右）共5种，因此所求概率为 $\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率，对立事件概率
【点评】
本题是概率计算的常规题型，处理“至少”“至多”类概率问题时，优先考虑用对立事件简化计算，同时要熟练掌握树状图或列表法枚举所有等可能结果，避免计数时漏算或重复计算。
【难度系数】
0.7
5 [2025宿迁期末]在一个不透明袋子中装了4个大小、质地都相同的乒乓球，乒乓球球面上分别标有数-1,2,-3,4，搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球.
（1）用树状图法画出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸出的乒乓球球面上数的积为偶数的概率.
（1）用树状图法画出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸出的乒乓球球面上数的积为偶数的概率.
答案
5. (1) 画树状图如图所示
(2) 由树状图,知共有 12 种等可能的结果,其中两次摸出的乒乓球球面上数的积为偶数的结果有 10 种，∴ 两次摸出的乒乓球球面上数的积为偶数的概率为$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$
解析
【分析】
（1）绘制树状图时，首先明确第一次摸球的所有可能：袋中共有4个标有不同数字的球，所以第一次摸球有4种等可能结果；由于是不放回摸球，第一次摸完后剩余3个球，因此对应每个第一次的摸球结果，第二次摸球都有3种等可能结果，按摸球顺序分层绘制即可列出所有可能结果。
（2）求概率时，先通过树状图得到所有等可能的总结果数，再明确“两数乘积为偶数”的判定规则：只要两个乘数中有一个是偶数，乘积就是偶数，既可以直接计数符合条件的结果，也可以用总结果数减去乘积为奇数（两次都摸到奇数）的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）按照不放回摸球的顺序绘制树状图：
（2）由树状图可知，两次摸球共有12种等可能的结果。
逐一判断两数乘积的奇偶性，可得两次摸出的球面上数的积为偶数的结果共有10种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，因此所求概率为$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) 画树状图如图所示
(2) $\frac{5}{6}$
【知识点】
树状图法，概率计算，不放回试验
【点评】
本题是概率的基础常考题，重点考查树状图的绘制方法和概率公式的应用，解题时需注意不放回试验的特征，避免重复计数，判断乘积奇偶性时可灵活使用排除法简化计数过程。
【难度系数】
0.7
（1）绘制树状图时，首先明确第一次摸球的所有可能：袋中共有4个标有不同数字的球，所以第一次摸球有4种等可能结果；由于是不放回摸球，第一次摸完后剩余3个球，因此对应每个第一次的摸球结果，第二次摸球都有3种等可能结果，按摸球顺序分层绘制即可列出所有可能结果。
（2）求概率时，先通过树状图得到所有等可能的总结果数，再明确“两数乘积为偶数”的判定规则：只要两个乘数中有一个是偶数，乘积就是偶数，既可以直接计数符合条件的结果，也可以用总结果数减去乘积为奇数（两次都摸到奇数）的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）按照不放回摸球的顺序绘制树状图：
（2）由树状图可知，两次摸球共有12种等可能的结果。
逐一判断两数乘积的奇偶性，可得两次摸出的球面上数的积为偶数的结果共有10种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，因此所求概率为$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) 画树状图如图所示
(2) $\frac{5}{6}$
【知识点】
树状图法，概率计算，不放回试验
【点评】
本题是概率的基础常考题，重点考查树状图的绘制方法和概率公式的应用，解题时需注意不放回试验的特征，避免重复计数，判断乘积奇偶性时可灵活使用排除法简化计数过程。
【难度系数】
0.7
6 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两个项目，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{12}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{12}$
答案
6. C
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路为：首先明确从4个项目中选2个属于无序选择，先不重不漏地列举出所有等可能的选择结果，再统计出恰好选中“100米”和“400米”的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果总数”的公式计算即可。
【解析】
我们将四个项目分别标记为：①跳高、②跳远、③100米、④400米。
从四个项目中随机选2个，所有不重复的选择结果为：①②、①③、①④、②③、②④、③④，共6种等可能的结果。
其中恰好选中“100米”和“400米”的结果只有③④这1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型 2. 列举法求概率
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题关键是准确列举所有可能的结果，注意两个项目的选择没有顺序要求，避免重复计数出现错误。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路为：首先明确从4个项目中选2个属于无序选择，先不重不漏地列举出所有等可能的选择结果，再统计出恰好选中“100米”和“400米”的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果总数”的公式计算即可。
【解析】
我们将四个项目分别标记为：①跳高、②跳远、③100米、④400米。
从四个项目中随机选2个，所有不重复的选择结果为：①②、①③、①④、②③、②④、③④，共6种等可能的结果。
其中恰好选中“100米”和“400米”的结果只有③④这1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型 2. 列举法求概率
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题关键是准确列举所有可能的结果，注意两个项目的选择没有顺序要求，避免重复计数出现错误。
【难度系数】
0.7
7 新情境 传统文化 [2025 河南]甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.现有正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
7. B
解析
【分析】
本题考查随机抽取类的概率计算，解题思路为：首先明确概率的计算公式为$P=\frac{符合要求的结果数}{所有等可能的总结果数}$；接下来先不重不漏地列出从4张卡片中随机抽取2张的所有等可能结果，再统计出两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果数，最后代入公式计算即可得到答案。
【解析】
将四张卡片分别记为“美”“丽”“山”“河”，从四张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：（美，丽）、（美，山）、（美，河）、（丽，山）、（丽，河）、（山，河），共6种。
其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果只有1种，
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式
【点评】
本题以甲骨文传统文化为命题背景，考查简单随机事件的概率计算，解题核心是准确列举所有等可能的结果，掌握概率的基本计算方法。
【难度系数】
0.8
本题考查随机抽取类的概率计算，解题思路为：首先明确概率的计算公式为$P=\frac{符合要求的结果数}{所有等可能的总结果数}$；接下来先不重不漏地列出从4张卡片中随机抽取2张的所有等可能结果，再统计出两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果数，最后代入公式计算即可得到答案。
【解析】
将四张卡片分别记为“美”“丽”“山”“河”，从四张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：（美，丽）、（美，山）、（美，河）、（丽，山）、（丽，河）、（山，河），共6种。
其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果只有1种，
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式
【点评】
本题以甲骨文传统文化为命题背景，考查简单随机事件的概率计算，解题核心是准确列举所有等可能的结果，掌握概率的基本计算方法。
【难度系数】
0.8
