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7[2024辽宁]一个不透明袋子中装有4个白球、3个红球、2个绿球、1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出1个球，则下列事件发生的概率为$\frac{3}{10}$的是（
A.摸出白球
B.摸出红球
C.摸出绿球
D.摸出黑球
B
）A.摸出白球
B.摸出红球
C.摸出绿球
D.摸出黑球
答案
7. B
解析
【分析】
这道题考查一次试验下的随机事件概率计算，解题思路如下：首先明确等可能事件的概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有可能的总情况数。第一步先计算袋子中球的总个数，第二步分别计算每个选项对应事件的概率，第三步将计算结果和$\frac{3}{10}$对比，即可选出正确答案。
【解析】
首先计算袋子中球的总个数：$4+3+2+1=10$（个），所有球除颜色外均相同，因此每个球被摸到的可能性相等。
分别计算各选项对应事件的概率：
A. 摸出白球的概率：$P(\mathrm{白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，不符合要求；
B. 摸出红球的概率：$P(\mathrm{红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{10}$，符合要求；
C. 摸出绿球的概率：$P(\mathrm{绿球})=\frac{\mathrm{绿球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$，不符合要求；
D. 摸出黑球的概率：$P(\mathrm{黑球})=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{1}{10}$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 简单事件概率计算
2. 等可能事件特征
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的应用，解题时只需准确统计总球数和各颜色球的数量，代入公式计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查一次试验下的随机事件概率计算，解题思路如下：首先明确等可能事件的概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有可能的总情况数。第一步先计算袋子中球的总个数，第二步分别计算每个选项对应事件的概率，第三步将计算结果和$\frac{3}{10}$对比，即可选出正确答案。
【解析】
首先计算袋子中球的总个数：$4+3+2+1=10$（个），所有球除颜色外均相同，因此每个球被摸到的可能性相等。
分别计算各选项对应事件的概率：
A. 摸出白球的概率：$P(\mathrm{白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，不符合要求；
B. 摸出红球的概率：$P(\mathrm{红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{10}$，符合要求；
C. 摸出绿球的概率：$P(\mathrm{绿球})=\frac{\mathrm{绿球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$，不符合要求；
D. 摸出黑球的概率：$P(\mathrm{黑球})=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{1}{10}$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 简单事件概率计算
2. 等可能事件特征
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的应用，解题时只需准确统计总球数和各颜色球的数量，代入公式计算即可得分。
【难度系数】
0.9
8 [2025苏州]一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的概率为$\frac{3}{5}$，则红球的个数为
2
。答案
8. 2
解析
【分析】
本题可根据简单随机事件的概率计算公式建立方程求解。解题思路如下：首先明确摸出白球的概率=白球的个数÷球的总个数，已知白球个数和摸出白球的概率，我们可以设红球的个数为未知数，用含未知数的式子表示出球的总个数，再代入概率公式列方程，最后解方程并检验结果是否符合实际即可得到红球的个数。
【解析】
设袋子中红球的个数为$ x $个，则袋子中球的总个数为$ (3+x) $个。
根据简单随机事件的概率公式，摸出白球的概率为：
$ \frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{3+x} $
由题意可知摸出白球的概率为$ \frac{3}{5} $，因此列方程：
$ \frac{3}{3+x}=\frac{3}{5} $
方程两边同时乘以$ 5(3+x) $去分母得：
$ 15=3(3+x) $
展开括号：$ 15=9+3x $
移项计算：$ 3x=15-9=6 $
解得：$ x=2 $
检验：当$ x=2 $时，$ 3+x=5≠0 $，所以$ x=2 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 分式方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是对概率公式的理解与运用，只需找准对应量建立方程即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
本题可根据简单随机事件的概率计算公式建立方程求解。解题思路如下：首先明确摸出白球的概率=白球的个数÷球的总个数，已知白球个数和摸出白球的概率，我们可以设红球的个数为未知数，用含未知数的式子表示出球的总个数，再代入概率公式列方程，最后解方程并检验结果是否符合实际即可得到红球的个数。
【解析】
设袋子中红球的个数为$ x $个，则袋子中球的总个数为$ (3+x) $个。
根据简单随机事件的概率公式，摸出白球的概率为：
$ \frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{3+x} $
由题意可知摸出白球的概率为$ \frac{3}{5} $，因此列方程：
$ \frac{3}{3+x}=\frac{3}{5} $
方程两边同时乘以$ 5(3+x) $去分母得：
$ 15=3(3+x) $
展开括号：$ 15=9+3x $
移项计算：$ 3x=15-9=6 $
解得：$ x=2 $
检验：当$ x=2 $时，$ 3+x=5≠0 $，所以$ x=2 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 分式方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是对概率公式的理解与运用，只需找准对应量建立方程即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
9 [2025宿城期中]从长度为2,3,5,7的四条线段中任意选取三条,这三条线段能构成三角形的概率为
$\frac{1}{4}$
.答案
9. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要计算三条线段能构成三角形的概率，需分两步思考：第一步先求出从四条线段中任意选取三条的所有等可能情况总数；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）筛选出能构成三角形的情况数，最后用“能构成三角形的情况数÷总情况数”即可得到所求概率。
【解析】
解：从长度为2,3,5,7的四条线段中任意选取三条，所有等可能的结果有：
①2,3,5；②2,3,7；③2,5,7；④3,5,7，共4种。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断：
①中2+3=5，不满足条件，不能构成三角形；
②中2+3=5＜7，不满足条件，不能构成三角形；
③中2+5=7，不满足条件，不能构成三角形；
④中3+5＞7，3+7＞5，5+7＞3，满足条件，可以构成三角形。
因此能构成三角形的情况只有1种，
故所求概率$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
三角形三边关系，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率与三角形知识的结合题，解题的核心是准确列举所有选法，再结合三角形三边关系判断符合要求的情况，需注意两边之和等于第三边时也无法构成三角形，避免判断失误。
【难度系数】
0.7
要计算三条线段能构成三角形的概率，需分两步思考：第一步先求出从四条线段中任意选取三条的所有等可能情况总数；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）筛选出能构成三角形的情况数，最后用“能构成三角形的情况数÷总情况数”即可得到所求概率。
【解析】
解：从长度为2,3,5,7的四条线段中任意选取三条，所有等可能的结果有：
①2,3,5；②2,3,7；③2,5,7；④3,5,7，共4种。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断：
①中2+3=5，不满足条件，不能构成三角形；
②中2+3=5＜7，不满足条件，不能构成三角形；
③中2+5=7，不满足条件，不能构成三角形；
④中3+5＞7，3+7＞5，5+7＞3，满足条件，可以构成三角形。
因此能构成三角形的情况只有1种，
故所求概率$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
三角形三边关系，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率与三角形知识的结合题，解题的核心是准确列举所有选法，再结合三角形三边关系判断符合要求的情况，需注意两边之和等于第三边时也无法构成三角形，避免判断失误。
【难度系数】
0.7
10 在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$是两条对角线. 现有下列关系：① $AB=BC$；② $AC=BD$；③ $AC⊥ BD$；④ $AB⊥ BC$. 现从中随机选出一个作为条件，可推出$□ ABCD$是菱形的概率为________.
答案
10. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解决本题需要分两步思考：第一步，先回忆平行四边形判定为菱形的定理，逐一判断4个条件中哪些能推出平行四边形是菱形；第二步，结合简单概率的计算方法，用符合要求的条件个数除以总条件个数得到最终概率。首先菱形的判定规则为：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。据此逐一分析条件：①AB=BC是邻边相等，可判定菱形；②AC=BD是对角线相等，属于矩形的判定条件，不能判定菱形；③AC⊥BD是对角线互相垂直，可判定菱形；④AB⊥BC是存在直角，属于矩形的判定条件，不能判定菱形。最终符合要求的条件共2个，总共有4个等可能的选择结果，即可算出概率。
【解析】
解：首先明确平行四边形中菱形的判定规则：
1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
对4个条件逐一分析：
① 若$AB=BC$，即平行四边形$ABCD$有一组邻边相等，可推出$□ ABCD$是菱形，符合要求；
② 若$AC=BD$，即平行四边形$ABCD$对角线相等，可推出$□ ABCD$是矩形，无法推出是菱形，不符合要求；
③ 若$AC⊥ BD$，即平行四边形$ABCD$对角线互相垂直，可推出$□ ABCD$是菱形，符合要求；
④ 若$AB⊥ BC$，即平行四边形$ABCD$有一个内角为直角，可推出$□ ABCD$是矩形，无法推出是菱形，不符合要求。
综上，能推出$□ ABCD$是菱形的条件有2个，随机选1个条件共有4种等可能的结果，根据概率公式：
$P=\frac{符合要求的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
菱形的判定；概率公式；平行四边形的性质
【点评】
本题将特殊平行四边形的判定与概率计算结合考查，解题的关键是准确区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆，再结合概率公式计算即可，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
解决本题需要分两步思考：第一步，先回忆平行四边形判定为菱形的定理，逐一判断4个条件中哪些能推出平行四边形是菱形；第二步，结合简单概率的计算方法，用符合要求的条件个数除以总条件个数得到最终概率。首先菱形的判定规则为：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。据此逐一分析条件：①AB=BC是邻边相等，可判定菱形；②AC=BD是对角线相等，属于矩形的判定条件，不能判定菱形；③AC⊥BD是对角线互相垂直，可判定菱形；④AB⊥BC是存在直角，属于矩形的判定条件，不能判定菱形。最终符合要求的条件共2个，总共有4个等可能的选择结果，即可算出概率。
【解析】
解：首先明确平行四边形中菱形的判定规则：
1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
对4个条件逐一分析：
① 若$AB=BC$，即平行四边形$ABCD$有一组邻边相等，可推出$□ ABCD$是菱形，符合要求；
② 若$AC=BD$，即平行四边形$ABCD$对角线相等，可推出$□ ABCD$是矩形，无法推出是菱形，不符合要求；
③ 若$AC⊥ BD$，即平行四边形$ABCD$对角线互相垂直，可推出$□ ABCD$是菱形，符合要求；
④ 若$AB⊥ BC$，即平行四边形$ABCD$有一个内角为直角，可推出$□ ABCD$是矩形，无法推出是菱形，不符合要求。
综上，能推出$□ ABCD$是菱形的条件有2个，随机选1个条件共有4种等可能的结果，根据概率公式：
$P=\frac{符合要求的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
菱形的判定；概率公式；平行四边形的性质
【点评】
本题将特殊平行四边形的判定与概率计算结合考查，解题的关键是准确区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆，再结合概率公式计算即可，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
11 “六一”期间，某游乐场举办了一场活动，其中有一个游戏的规则如下：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的袋子中，随机摸1个球，摸到红球就得到1个玩具。已知参加这个游戏的儿童有40 000人，游乐场发放玩具8 000个。
（1）求参加这个游戏得到玩具的概率；
（2）请你估计袋子中白球的个数。
（1）求参加这个游戏得到玩具的概率；
（2）请你估计袋子中白球的个数。
答案
11. (1) $8\ 000÷40\ 000=\frac{1}{5}$. 答:参加这个游戏得到玩具的概率为$\frac{1}{5}$
(2) 由题意,得$8÷\frac{1}{5}=40$(个),$\therefore$ 白球有$40-8=32$(个).答:估计袋子中白球的个数为32
(2) 由题意,得$8÷\frac{1}{5}=40$(个),$\therefore$ 白球有$40-8=32$(个).答:估计袋子中白球的个数为32
解析
【分析】
（1）大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可通过获奖频率估计得到玩具的概率：用发放玩具的数量（获奖频数）除以参加游戏的总人数（试验总次数）即可求解。
（2）已知摸到红球的概率，结合概率公式$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{球的总个数}}$，可先逆推出袋子中球的总个数，再用总个数减去红球个数，即可得到白球的估计数量。
【解析】
（1）参加这个游戏得到玩具的概率为：
$P=\frac{\mathrm{发放玩具数}}{\mathrm{参加游戏总人数}}=\frac{8000}{40000}=\frac{1}{5}$
（2）设袋子中球的总个数为$m$，由摸到红球的概率为$\frac{1}{5}$可得：
$\frac{8}{m}=\frac{1}{5}$
解得$m=8÷\frac{1}{5}=40$
则白球的个数为：$40-8=32$（个）
【答案】
（1）$\frac{1}{5}$；
（2）32个
【知识点】
频率估计概率；概率公式应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查概率的基础应用，解题核心是理解频率与概率的关系，能灵活运用概率公式进行正、逆向计算，题目贴合生活，容易理解。
【难度系数】
0.8
（1）大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可通过获奖频率估计得到玩具的概率：用发放玩具的数量（获奖频数）除以参加游戏的总人数（试验总次数）即可求解。
（2）已知摸到红球的概率，结合概率公式$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{球的总个数}}$，可先逆推出袋子中球的总个数，再用总个数减去红球个数，即可得到白球的估计数量。
【解析】
（1）参加这个游戏得到玩具的概率为：
$P=\frac{\mathrm{发放玩具数}}{\mathrm{参加游戏总人数}}=\frac{8000}{40000}=\frac{1}{5}$
（2）设袋子中球的总个数为$m$，由摸到红球的概率为$\frac{1}{5}$可得：
$\frac{8}{m}=\frac{1}{5}$
解得$m=8÷\frac{1}{5}=40$
则白球的个数为：$40-8=32$（个）
【答案】
（1）$\frac{1}{5}$；
（2）32个
【知识点】
频率估计概率；概率公式应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查概率的基础应用，解题核心是理解频率与概率的关系，能灵活运用概率公式进行正、逆向计算，题目贴合生活，容易理解。
【难度系数】
0.8
12 教材变式题 一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球的个数比白球个数的2倍少5.已知从袋子中摸出1个球是红球的概率是$\frac{3}{10}$.
(1) 求袋子中红球的个数；
(2) 求从袋子中摸出1个球是白球的概率；
(3) 取走10个球(其中没有红球)后，求从剩余的球中摸出1个球是红球的概率.
(1) 求袋子中红球的个数；
(2) 求从袋子中摸出1个球是白球的概率；
(3) 取走10个球(其中没有红球)后，求从剩余的球中摸出1个球是红球的概率.
答案
12. (1) $100×\frac{3}{10}=30$(个).答:袋子中红球的个数为30 （2）设白球有x个,则黄球有$(2x-5)$个.根据题意,得$x+(2x-5)+30=100$,解得$x=25$. $\therefore P$(从袋子中摸出1个球是白球)$=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
(3) $P$(从剩余的球中摸出1个球是红球)$=\frac{30}{100-10}=\frac{1}{3}$
(3) $P$(从剩余的球中摸出1个球是红球)$=\frac{30}{100-10}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
(1) 求红球个数可利用概率公式的变形：对应情况数=总情况数×事件发生的概率，已知总球数和摸出红球的概率，直接代入计算即可。
(2) 要计算摸出白球的概率，需先求出白球的个数。已知黄球与白球的数量关系，且红球个数已求出，可设白球个数为未知数，根据总球数列一元一次方程求解，得到白球个数后再代入概率公式计算。
(3) 取走的10个球不含红球，因此剩余球中红球数量不变，总球数减少10，用红球个数除以剩余总球数即可得到新的摸红球概率。
【解析】
(1) 根据概率公式可得红球个数为：$100×\frac{3}{10}=30$（个）。
(2) 设白球有$x$个，则黄球有$(2x-5)$个，根据三种球总个数为100列方程：
$x+(2x-5)+30=100$
解得$x=25$
因此摸出1个球是白球的概率为：$P=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$。
(3) 取走10个非红球后，剩余总球数为$100-10=90$个，红球个数仍为30个，
因此剩余球中摸出1个红球的概率为：$P=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 30个；(2) $\frac{1}{4}$；(3) $\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率基础应用题，结合了一元一次方程的求解，核心考查对概率计算公式的理解与运用，解题时注意第三问中总球数变化但红球数量不变的隐含条件，避免数值代入错误。
【难度系数】
0.8
(1) 求红球个数可利用概率公式的变形：对应情况数=总情况数×事件发生的概率，已知总球数和摸出红球的概率，直接代入计算即可。
(2) 要计算摸出白球的概率，需先求出白球的个数。已知黄球与白球的数量关系，且红球个数已求出，可设白球个数为未知数，根据总球数列一元一次方程求解，得到白球个数后再代入概率公式计算。
(3) 取走的10个球不含红球，因此剩余球中红球数量不变，总球数减少10，用红球个数除以剩余总球数即可得到新的摸红球概率。
【解析】
(1) 根据概率公式可得红球个数为：$100×\frac{3}{10}=30$（个）。
(2) 设白球有$x$个，则黄球有$(2x-5)$个，根据三种球总个数为100列方程：
$x+(2x-5)+30=100$
解得$x=25$
因此摸出1个球是白球的概率为：$P=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$。
(3) 取走10个非红球后，剩余总球数为$100-10=90$个，红球个数仍为30个，
因此剩余球中摸出1个红球的概率为：$P=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 30个；(2) $\frac{1}{4}$；(3) $\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率基础应用题，结合了一元一次方程的求解，核心考查对概率计算公式的理解与运用，解题时注意第三问中总球数变化但红球数量不变的隐含条件，避免数值代入错误。
【难度系数】
0.8
