9 [2025武汉]如图,四边形ABCD的对角线交于点O,AD//BC.若(填序号),则AD=CB.从① OA=OC,② ∠ABC=∠CDA,③ AB=CD中选择一个作为条件,使结论成立,并说明理由.

9. 若选择① 理由:
∵ AD//BC,
∴ ∠DAO=∠BCO.在
△AOD 和 △COB 中,$\begin{cases} ∠DAO=∠BCO,\\ OA=OC,\\ ∠AOD=∠COB, \end{cases}$
∴ △AOD≌△COB(ASA),
∴ AD=CB. 若选择② 理由:
∵ AD//BC,
∴ ∠BCA=∠DAC. 在 △ABC 和 △CDA 中,$\begin{cases} ∠ABC=∠CDA,\\ ∠BCA=∠DAC,\\ AC=CA, \end{cases}$
∴ △ABC≌△CDA(AAS),
∴ AD=CB.

【分析】
要证明AD=CB，可通过证明AD、CB所在的三角形全等来推导。已知AD//BC，根据平行线的性质可得到一组内错角相等，结合补充条件判断是否满足全等三角形的判定条件即可：若选①OA=OC，可结合对顶角相等，用ASA判定△AOD≌△COB；若选②∠ABC=∠CDA，可结合公共边AC，用AAS判定△ABC≌△CDA；若选③AB=CD，无法判定对应三角形全等，不能推出AD=CB，因此可选①或②作为补充条件。
【解析】
方案一：选择①OA=OC
∵ AD//BC，
∴ ∠DAO=∠BCO（两直线平行，内错角相等）。
在△AOD和△COB中：
$\begin{cases} ∠DAO=∠BCO,\\ OA=OC,\\ ∠AOD=∠COB（对顶角相等）, \end{cases}$
∴ △AOD≌△COB（ASA），
∴ AD=CB（全等三角形对应边相等）。
方案二：选择②∠ABC=∠CDA
∵ AD//BC，
∴ ∠BCA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△CDA中：
$\begin{cases} ∠ABC=∠CDA,\\ ∠BCA=∠DAC,\\ AC=CA（公共边）, \end{cases}$
∴ △ABC≌△CDA（AAS），
∴ AD=CB（全等三角形对应边相等）。
【答案】
填①（或②），理由如下：
若选①：
∵AD//BC，
∴∠DAO=∠BCO。在△AOD和△COB中，$\begin{cases} ∠DAO=∠BCO,\\ OA=OC,\\ ∠AOD=∠COB, \end{cases}$
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴AD=CB。
若选②：
∵AD//BC，
∴∠BCA=∠DAC。在△ABC和△CDA中，$\begin{cases} ∠ABC=∠CDA,\\ ∠BCA=∠DAC,\\ AC=CA, \end{cases}$
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴AD=CB。
【知识点】
1.平行线的性质
2.全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于开放性条件补充题，解题的核心是结合已知的平行条件推导等角，再搭配补充条件构造全等三角形，通过全等性质得到对应边相等，解题时需注意全等判定定理的适用条件，避免误选无法证明全等的条件。
【难度系数】
0.7

10 如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠D=90°，BE⊥AC，垂足为F，且交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF。
（1）求证：AF=AD；
（2）若BF=7，DE=3，求CE的长。

10. (1)
∵ ∠D=90°,BE⊥AC,
∴ ∠AFE=∠D=90°.
∵ EA平分∠DEF,
∴ ∠FEA=∠DEA. 在△FAE 和△DAE 中,$\begin{cases} ∠AFE=∠D=90°,\\ ∠FEA=∠DEA,\\ EA=EA, \end{cases}$
∴ △FAE≌△DAE(AAS),
∴ AF=AD
(2)
∵ ∠D=90°,BE⊥AC,
∴ ∠AFB=∠D=90°,
∴ △ABF和△ACD 均为直角三角形. 在 Rt△ABF 和 Rt△ACD 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AF=AD, \end{cases}$
∴ Rt△ABF≌Rt△ACD(HL),
∴ BF=CD=7.
∵ DE=3,
∴ CE=CD-DE=7-3=4

【分析】
（1）要证AF=AD，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。已知∠D和∠AFE均为直角，EA平分∠DEF可得一组对应角相等，再加上公共边EA，满足AAS全等判定条件，证明△FAE≌△DAE即可得到结论。
（2）求CE的长，已知DE=3，只需先求出CD的长度。结合已知AB=AC和（1）中得到的AF=AD，可通过HL判定Rt△ABF≌Rt△ACD，得到CD=BF=7，再用CD减去DE即可算出CE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠D=90°,BE⊥AC,
∴ ∠AFE=∠D=90°.
∵ EA平分∠DEF,
∴ ∠FEA=∠DEA.
在△FAE 和△DAE 中,
$\begin{cases} ∠AFE=∠D=90°,\\ ∠FEA=∠DEA,\\ EA=EA, \end{cases}$
∴ △FAE≌△DAE(AAS),
∴ AF=AD.
(2) 解：
∵ ∠D=90°,BE⊥AC,
∴ ∠AFB=∠D=90°,
∴ △ABF和△ACD均为直角三角形.
在 Rt△ABF 和 Rt△ACD 中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ AF=AD, \end{cases}$
∴ Rt△ABF≌Rt△ACD(HL),
∴ BF=CD=7.
∵ DE=3,
∴ CE=CD-DE=7-3=4.
【答案】
(1) 证明见解析，AF=AD成立；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定及性质的综合应用，解题时要结合已知的垂直、角平分线、等线段条件快速定位全等三角形，通过全等实现边的等量转化，是几何证明的基础典型题型。
【难度系数】
0.7

11 如图，AB⊥DB，AC⊥EC，垂足分别为B，C，AD＝AE，AC＝AB，BD与CE交于点F，连接CD，BE.
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）求证：CD＝BE；
（3）连接AF，则图中共有对全等三角形.

11. (1)
∵ AB⊥DB,AC⊥EC,
∴ ∠ABD=∠ACE=90°.在Rt△ABD 和 Rt△ACE 中,$\begin{cases} AD=AE,\\ AB=AC, \end{cases}$
∴ Rt△ABD ≌Rt△ACE(HL),
∴ ∠ADB=∠AEC
(2)
∵ Rt△ABD≌Rt△ACE,
∴ ∠BAD=∠CAE,
∴ ∠BAD - ∠BAC =∠CAE-∠BAC,即∠CAD=∠BAE.在△ACD 和△ABE 中,$\begin{cases} AC=AB,\\ ∠CAD=∠BAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ABE(SAS),
∴ CD=BE
(3) 5 【解析】全等三角形为△ABD≌△ACE,△ACD≌△ABE,△CFD≌△BFE,△AFD≌△AFE,△ACF≌△ABF.

【分析】
（1）要证∠ADB=∠AEC，观察两角分别在Rt△ABD和Rt△ACE中，已知两组边AD=AE、AB=AC对应相等，且两个三角形均为直角三角形，可通过HL判定两直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
（2）要证CD=BE，可证两条边所在的△ACD和△ABE全等：由（1）的全等可得∠BAD=∠CAE，减去公共角∠BAC即可得到夹角∠CAD=∠BAE，结合已知AC=AB、AD=AE，用SAS判定全等，再由全等对应边相等得证。
（3）计数全等三角形时按有序查找的原则，避免重复或遗漏：先找已证的2对，再推导剩余的3对：由已证全等的对应角、对应边相等，可证△CFD≌△BFE、△AFD≌△AFE、△ACF≌△ABF，共5对。
【解析】
（1）证明：
∵AB⊥DB，AC⊥EC，
∴∠ABD=∠ACE=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
$\begin{cases} AD=AE \\ AB=AC \end{cases}$
∴Rt△ABD ≌ Rt△ACE（HL），
∴∠ADB=∠AEC。
（2）证明：
∵Rt△ABD ≌ Rt△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD - ∠BAC =∠CAE - ∠BAC，即∠CAD=∠BAE，
在△ACD和△ABE中，
$\begin{cases} AC=AB \\ ∠CAD=∠BAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴△ACD ≌ △ABE（SAS），
∴CD=BE。
（3）解：全等三角形分别为△ABD≌△ACE、△ACD≌△ABE、△CFD≌△BFE、△AFD≌△AFE、△ACF≌△ABF，共5对。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）证明见上述解析；（3）$\boldsymbol{5}$
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，直角三角形全等的判定
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，前两问侧重全等判定与性质的直接应用，第三问需要结合已证结论逐层推导，计数时需要思维严谨，按顺序查找避免漏数，能有效考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7