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20. 如图所示，在$△ ABC$中，D是BC的中点，$DE⊥ BC$，垂足为D，交AB于点E，且$BE^2 - AE^2 = AC^2$。
(1)求证：$△ ACE$是直角三角形；
(2)若$DE=3$，$BD=4$，求AE的长。
(1)求证：$△ ACE$是直角三角形；
(2)若$DE=3$，$BD=4$，求AE的长。
答案
20.(1)略 (2)AE的长为$\frac{7}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ACE$是直角三角形，需证明其满足勾股定理逆定理，即$AE^2+AC^2=CE^2$。首先利用线段垂直平分线的性质，可得$CE=BE$，再结合题目给出的$BE^2 - AE^2 = AC^2$，等量代换后即可推导出勾股定理逆定理的形式完成证明。
(2) 先在$Rt△ BDE$中用勾股定理求出$BE$的长，即可得$CE$的长，再设$AE=x$，分别在$Rt△ ACE$和$Rt△ ABC$中用勾股定理表示$AC^2$，建立方程求解即可得到$AE$的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$CE$
$\because$ D是BC的中点，$DE⊥ BC$
$\therefore DE$是线段$BC$的垂直平分线
$\therefore CE=BE$
$\because BE^2 - AE^2 = AC^2$
$\therefore CE^2 - AE^2 = AC^2$，即$AE^2+AC^2=CE^2$
根据勾股定理的逆定理，可得$∠ A=90°$
$\therefore △ ACE$是直角三角形。
(2) 解：在$Rt△ BDE$中，$DE=3$，$BD=4$
由勾股定理得：$BE=\sqrt{DE^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\therefore CE=BE=5$，$BC=2BD=8$
设$AE=x$，则$AB=AE+BE=x+5$
在$Rt△ ACE$中，$AC^2=CE^2-AE^2=25-x^2$
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$
将$AC^2=25-x^2$代入得：
$(x+5)^2+25-x^2=64$
展开化简：$x^2+10x+25+25-x^2=64$
$10x+50=64$
解得$x=\frac{7}{5}$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{7}{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是灵活运用垂直平分线性质实现线段等量转换，同时结合勾股定理建立方程求解，体现了几何计算中的方程思想。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$△ ACE$是直角三角形，需证明其满足勾股定理逆定理，即$AE^2+AC^2=CE^2$。首先利用线段垂直平分线的性质，可得$CE=BE$，再结合题目给出的$BE^2 - AE^2 = AC^2$，等量代换后即可推导出勾股定理逆定理的形式完成证明。
(2) 先在$Rt△ BDE$中用勾股定理求出$BE$的长，即可得$CE$的长，再设$AE=x$，分别在$Rt△ ACE$和$Rt△ ABC$中用勾股定理表示$AC^2$，建立方程求解即可得到$AE$的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$CE$
$\because$ D是BC的中点，$DE⊥ BC$
$\therefore DE$是线段$BC$的垂直平分线
$\therefore CE=BE$
$\because BE^2 - AE^2 = AC^2$
$\therefore CE^2 - AE^2 = AC^2$，即$AE^2+AC^2=CE^2$
根据勾股定理的逆定理，可得$∠ A=90°$
$\therefore △ ACE$是直角三角形。
(2) 解：在$Rt△ BDE$中，$DE=3$，$BD=4$
由勾股定理得：$BE=\sqrt{DE^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\therefore CE=BE=5$，$BC=2BD=8$
设$AE=x$，则$AB=AE+BE=x+5$
在$Rt△ ACE$中，$AC^2=CE^2-AE^2=25-x^2$
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$
将$AC^2=25-x^2$代入得：
$(x+5)^2+25-x^2=64$
展开化简：$x^2+10x+25+25-x^2=64$
$10x+50=64$
解得$x=\frac{7}{5}$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{7}{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是灵活运用垂直平分线性质实现线段等量转换，同时结合勾股定理建立方程求解，体现了几何计算中的方程思想。
【难度系数】
0.6
21. 天天和津津放风筝，在试飞风筝的过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度.如图所示，以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离 BD 的长为 8 m；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AC 的长为 10 m；
③牵线放风筝的手离地面的距离 AB 为 1.5 m.
已知点 A,B,C,D 在同一平面内.
(1)求风筝离地面的垂直高度.
(2)在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩 7.5 m 的情况下，若想要风筝沿射线 DC 方向再上升 9 m，BD 长度不变，能否成功呢？请你帮助他解决提出的问题.
①先测得放飞点与风筝的水平距离 BD 的长为 8 m；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AC 的长为 10 m；
③牵线放风筝的手离地面的距离 AB 为 1.5 m.
已知点 A,B,C,D 在同一平面内.
(1)求风筝离地面的垂直高度.
(2)在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩 7.5 m 的情况下，若想要风筝沿射线 DC 方向再上升 9 m，BD 长度不变，能否成功呢？请你帮助他解决提出的问题.
答案
21.(1)风筝离地面的垂直高度为7.5米；
(2)能成功.
(2)能成功.
解析
【分析】
解决第(1)问时，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形：过点A作AH⊥CD于H，易得四边形ABDH是矩形，由此得到AH与BD相等、HD与AB相等，再在Rt△ACH中利用勾股定理求出CH的长度，将CH与HD相加即可得到风筝离地面的高度。解决第(2)问时，先计算风筝上升9m后新的垂直高度差，再用勾股定理求出此时需要的风筝线总长，和现有的风筝线总长度对比即可判断能否成功。
【解析】
(1) 过点A作AH⊥CD，垂足为H。
∵∠B=∠D=∠AHD=90°，
∴四边形ABDH是矩形，
∴AH=BD=8m，HD=AB=1.5m。
在Rt△ACH中，AC=10m，AH=8m，根据勾股定理：
$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$，
∴风筝离地面的高度$CD=CH+HD=6+1.5=7.5\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝沿DC方向上升9m后，此时风筝与点A的垂直高度差为$CH+9=6+9=15\ \mathrm{m}$，
在新的直角三角形中，水平直角边仍为AH=8m，根据勾股定理，此时需要的风筝线长度为：
$AC'=\sqrt{AH^2+15^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$，
现有风筝线总长度为$10+7.5=17.5\ \mathrm{m}$，
∵$17＜17.5$，因此可以成功。
【答案】
(1)风筝离地面的垂直高度为7.5米；
(2)能成功。
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合实际放风筝的场景考查几何知识的应用，解题核心是通过辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形，再用勾股定理计算边长，需要准确理解题意，区分已放出的线长和剩余线长的关系。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形：过点A作AH⊥CD于H，易得四边形ABDH是矩形，由此得到AH与BD相等、HD与AB相等，再在Rt△ACH中利用勾股定理求出CH的长度，将CH与HD相加即可得到风筝离地面的高度。解决第(2)问时，先计算风筝上升9m后新的垂直高度差，再用勾股定理求出此时需要的风筝线总长，和现有的风筝线总长度对比即可判断能否成功。
【解析】
(1) 过点A作AH⊥CD，垂足为H。
∵∠B=∠D=∠AHD=90°，
∴四边形ABDH是矩形，
∴AH=BD=8m，HD=AB=1.5m。
在Rt△ACH中，AC=10m，AH=8m，根据勾股定理：
$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$，
∴风筝离地面的高度$CD=CH+HD=6+1.5=7.5\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝沿DC方向上升9m后，此时风筝与点A的垂直高度差为$CH+9=6+9=15\ \mathrm{m}$，
在新的直角三角形中，水平直角边仍为AH=8m，根据勾股定理，此时需要的风筝线长度为：
$AC'=\sqrt{AH^2+15^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$，
现有风筝线总长度为$10+7.5=17.5\ \mathrm{m}$，
∵$17＜17.5$，因此可以成功。
【答案】
(1)风筝离地面的垂直高度为7.5米；
(2)能成功。
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合实际放风筝的场景考查几何知识的应用，解题核心是通过辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形，再用勾股定理计算边长，需要准确理解题意，区分已放出的线长和剩余线长的关系。
【难度系数】
0.7
